*381

467550544526200045231054300220004370705414782000421830539954200047205904389120

باسمه تعالی
36504496540500

5311140460375
54032151797050052508152730500
تعهدنامه اصالت اثر
اینجانب دیدار اسمعیل وندی متعهد می شوم که مطالب مندرج در این پایان نامه حاصل کار پژوهشی اینجانب است. دستاوردهای پژوهشی دیگران که در این پژوهش از آنها استفاده شده است، مطابق مقررات ارجاع ودر فهرست منابع و ماَخذ ذکر گردیده است. این پایان نامه قبلا برای احراز هیچ مدرک هم سطح یا بالاتر ارایه نشده است. در صورت اثبات تخلف در هر زمان مدرک تحصیلی صادر توسط دانشگاه از اعتبار ساقط خواهد شد.
کلیه ی حقوق مادی و معنوی این اثر متعلق به دانشگاه تربیت دبیر شهید رجایی می باشد.
دیدار اسمعیل وندی
185674017716500
دانشکده علوم پایه
بررسی خصوصیت یک مدل گرانش با ثابت ساختار ریز متغییر
نگارش
دیدار اسمعیل وندی
استاد راهنما: دکتر یوسف فرزان نهاد
استاد مشاور:دکتر رضا رشیدی
پایان نامه برای دریافت درجه کارشناسی ارشد
در رشته فیزیک شاخه گرانش
اسفند 92

تقدیر و تشکرسپاس و ستایش مخصوص خدایی است که کیهان را طوری پایه گذاری کرد که عظیم ترین دوربین ها از رسیدن به عمق کیهان و کیهانشناسان در درک آن ناتوانند. بی شک دانش و معرفت و رسیدن به جایگاه والای انسانی ارزشمند ترین هدف انسان و تنها تفاوت انسان با دیگر حیوانات است. در این میان نقش اساتید و دانشمندان آگاه از نقش پیامبران کمتر نیست. این جانب بر خود واجب می دانم از کلیه ی عزیزانی که در طی این دو سال مرا تحمل کرده و با روی باز پذیرای کاستی هایم بوده اند تقدیر و تشکر نمایم. به ویژه استاد گرانقدر و فرهیخته جناب آقای دکتر یوسف فرزان نهاد که زحمت استاد راهنمای این پایان نامه را بر عهده داشتند و با راهنمایی های دقیق و بجا مرا یاریگر بودند. همچنین از استاد دکتر رضار رشیدی که زحمت استاد مشاوری را بر عهده داشتند و با صبر و حوصله پاسخگوی مشکلات بوده اند ممنون و سپاسگزارم.

چکیدهما چگونگی تغییرات زمانی ثابت ساختار ریز در طی مرحله ی اولیه عالم و زمان های پایانی سلطه ی انرژی جنبشی میدان نرده ای، تابش، غبار، خمیدگی و ثابت کیهانشنای را مورد بحث و بررسی قرار می دهیم و نشان می دهیم که در مرحله اولیه خلا تا زمان کنونی ثابت ساختار ریز چگونه تغییر کرده است. در جهانی همانند جهان ما ثابت ساختار ریز در طی عصر تابش ثابت می ماند و در عصر غبار به آرامی و متناسب با یک قاعده ی لگاریتمی با زمان کیهانی افزایش می یابد. اگر عالم پس از آن دارای یک خمیدگی ثابت و منفی و یا دارای یک ثابت کیهانشناسی ثابت و مثبت باشد ثابت ساختار ریز به سرعت به یک مقدار ثابت میل می کند. وجود یک دوره تورم دسیتری یا تورم با قاعده ی توانی باعث می شود تا ثابت ساختار ریز به یک مقدار ثابت برسد..
واژگان کلیدی: ثابت های بنیادی –نظریه های تانسوری-نرده ای-کیهانشناسی-– ثابت ساختار ریز- معادلات اینشتین.
21583653841750259715038989000الف
فهرست TOC o “1-3” h z u
فصل اولمقدمه ای بر تغییر ثابت های بنیادی فیزیک PAGEREF _Toc371715247 h 11-1 فرضیه اعداد بزرگ PAGEREF _Toc371715248 h 21-2 نظریه ی برنز-دیک PAGEREF _Toc371715249 h 6فصل دوم1-2نسبیت عام وکیهانشناسی102-2تانسور انرژی- تکانه PAGEREF _Toc371715252 h 132-3 قانون پایستگی انرژی PAGEREF _Toc371715253 h 162-4 معادلات اینشتین PAGEREF _Toc371715254 h 172-5 کیهان شناسی استاندارد PAGEREF _Toc371715255 h 22فصل سومارائه ی یک مدل گرانشی برای تغییرات ثابت ساختار ریز PAGEREF _Toc371715257 h 293-1بررسی تغییرات ثابت ساختار ریز PAGEREF _Toc371715258 h 303-2 عصر سلطه ی غبار: PAGEREF _Toc371715259 h 383-3 عصر سلطه تابش PAGEREF _Toc371715260 h 42ب
3-4 دوره ی سلطه ی خمیدگی PAGEREF _Toc371715261 h 483-5عصر ی ثابت سلطه کیهانشناسی PAGEREF _Toc371715262 h 513-6جهان های تورمی PAGEREF _Toc371715263 h 533-7 مراحل اولیه ی عالم PAGEREF _Toc371715264 h 55فصل چهارمبحث و نتیجه گیری و مشاهدات PAGEREF _Toc371715266 h 584-1 بحث و بررسی نتایج مراحل پنجگانه ی فصل سوم PAGEREF _Toc371715267 h 594-2 اثرات تغییرات ثابت ساختار ریز بر پایداری مولکول ها ،اتمها و هسته ها PAGEREF _Toc371715268 h 624-3 نتایج مشاهدات تلسکوپ VLT برای تغییرات ثابت ساختار ریز PAGEREF _Toc371715269 h 654-4حدود تغییرات ثابت ساختار ریز با پتانسیل گرانشی در طیف کوتوله های سفید PAGEREF _Toc371715270 h 67پیوست الف PAGEREF _Toc371715271 h 71محاسبه ی ضرایب کریستوفل: PAGEREF _Toc371715272 h 71پیوست ب 77جدول تغییرات α PAGEREF _Toc371715275 h 74مراجع و ماخذ PAGEREF _Toc371715276 h 75

جفهرست شکل و جدول
شکل2-1دسته بندی معادلات فریدمن…………………………………………………………………………………………….26
شکل 3-1نمودار تحول عددی درعصرغبار…………………………………………………………………………………42
شکل3-2نمودار تحول عددی در عصر تابش………………………………………………………………………………48
شکل3-3 نمودار تحول عددی در عصر درخمیدگی………………………………………………………………..51
شکل3-4 نمودار تحول عددی در عصر ثابت کیهانشناشی………………………………………………………52
شکل4-1 نمودار تحول عددی بر جسب زمان کیهانی در عصر غبار………………………………………..64
شکل2-4 نمودار بر حسب ………………………………………………………………………………………..70
جدول تغییرات α…………………………………………………………………………………………………………………………..74
فهرست پیوستها
پیوست الف: محاسبه ی ضرایب کریستوفل……………………………………………………………………………….70
پیوست ب: جدول تغییرات α…………………………………………………………………………………………………….74
د
مقدمه
ثابت های فیزیکی مفاهیم ناشناخته ای برای ما نیستند. در هنگام مطالعه ی قانون های طبیعت ما به اعداد ثابت و بدون یکایی که با این قوانین در ارتباط هستند بر می خوریم. یکی از سوالات مهم که در حوزه ی فیزیک نظری حائز اهمیت می باشد این است که آیا ثابت های بنیادی در مراحل تحول عالم ثابت هستند یا این که در طول تحول عالم تغییر یافته اند. نظریه های مختلفی مانند نظریه ابر ریسمان هستند که این تغییرات را پیش بینی می کنند. بنابراین اراِئه ی مدل هایی که این تغییرات را بررسی می کنند در حوزه ی فیزیک نظری حائز اهمیت می باشند. یکی از مسائلی که کیهانشناسان در تلاش های خود برای بررسی نتایج نجومی تغییرات زمانی ثابت ساختار ریز با آن مواجه شده اند عدم وجود یک نظریه دقیق بوده است که مدل های کیهانشناسی در حضور تغییر ثابت ساختار ریز را توضیح دهد. تا همین اواخر امکان تجزیه و تحلیل رفتار تغییر α کیهانی در روشی که بتواند جهان را همانند تغییر ثابت گرانشی در نظریه برنز- دیک یا بیشتر نظریه های تانسوری- نرده ای در گرانش توضیح دهد وجود نداشته است.
مشاهدات اخیر انگیزه ای برای تدوین و بررسی جزئیات تغییر ثابت ساختار ریز کیهانی را ایجاد کرده است. مشاهدات چندگانه ای که در نقاط مختلف زمین روی انتقال به سرخ کوازارها انجام شده است. در این مشاهدات برای اولین بار شواهدی ارائه داده است که نشان می دهد ثابت ساختار ریز ممکن است با زمان کیهانی تغییر کند.
در سال 1999 شواهدی از طیف جذبی کوازارها بدست آمد. که نشان می داد ثابت ساختار ریز ممکن است در گذشته مقدار کمتری داشته باشد.
ه
البته این ایده که ثابت ساختار ریز با زمان کیهانی تغییر می کند اولین بار درسال 1948 مطرح شد. جورج گاموف همانند دیراک که نشان داد ثابت گرانشی با زمان کیهانی رابطه ی عکس دارد و پیشنهاد کرد که تغییر ثابت ساختار ریز با زمان کیهانی به صورت است.
در این نوشتار بار الکتریکی را با یک میدان نرده ای بدون جرم را در نظر می گیریم سپس چگونگی تغییر این میدان نرده ای را در دوره های غبار، تابش،خمیدگی، ثابت کیهانشناسی مورد بحث و بررسی عددی قرار می دهیم. در فصل اول مقدمه ای بر کار هایی که در زمینه ی تغییرات ثابت های مختلف فیزیکی شده است آورده ایم. در فصل دوّم مروری داریم بر نسبیت عام و کیهانشناسی استاندارد، در فصل سوم با توجه به مدل گرانشی ارائه شده معادلات کیهانشناسی مدل را بدست آورده و به بحث و بررسی این معادلات در دوره های مختلف کیهانشناسی پرداخته ایم. در فصل چهارم به بررسی نتایج بدست آمده از مدل و مشاهدات صورت گرفته پرداخته ایم.
1945005819023000و
فصل اولمقدمه ای بر تغییر ثابت های بنیادی فیزیک2006600204787500482790545212000111379042906951-1 فرضیه اعداد بزرگفیزیک پر از یکاهای مختلف وکمیت های با اندازه های متفاوت است. که بطور تجربی تعیین شده اند بعضی از ثابت ها مانند ثابت گرانشی ( G) بار الکترون (e) و غیره در شکل گیری قوانین فیزیک اهمیت خاصی دارند. اندازه ی این اعداد به یکای مورد استفاده بستگی دارد. بدیهی است که خود این اعداد اهمیت خاصی را بیان نمی کنند. اما ترکیب بعضی از این ثابت های فیزیکی یکا ندارند و اهمیت ویژه ای در فیزیک دارند. مانند ترکیب بار الکترون، سرعت نور در خلا و ثابت پلانک که به صورت زیر نوشته می شود:

در این رابطه ثابت پلانک، cسرعت نور در خلا وe بار الکتریکی الکترون است. این کمیت در تمام یکاهای فیزیکی مقدار یکسانی دارد، پس بایستی دارای اهمیت ویژه ای باشد. عکس این عدد به ثابت ساختار ریز (α) معروف است. این عدد شدت برهمکنش الکترومغناطیسی نشان می دهد. حال اعداد بدون یکای دیگری را بررسی می کنیم.

نیروی الکتریکی بین الکترون و پروتون، نیروی گرانشی بین الکترون و پروتون است. به ترتیب جرم پروتون، جرم الکترون ثابت گرانشی گذردهی الکتریکی خلا، فاصله ی بین الکترون و پروتون است. این ثابت شدت نسبی نیروهای الکتریکی و گرانشی بین الکترون و پروتون را بیان می کند و همانند ثابت ساختار ریز بیان کننده یکی دیگر از ویژگی های طبیعت است. عدد بدون بعد دیگری را در نظر می گیریم، این عدد نسبت مقیاس طول مربوط به عالم(R) و طول وابسته به الکترون(r) است.

در این رابطه ثابت هابل است. سومین عدد بزرگ که اهمیت ویژه ای در فیزیک ذرات وکیهانشاسی دارد برابر تعداد نوکلئون های موجود در عالم است. اگر چگالی بحرانی باشد تعداد ذرات در کره ای به شعاع برابر است با:

با مقایسه این سه عدد می توانیم بنویسیم:

دیراک در سال 1937 بیان کرد که و حاوی ثابت هابل هستند. پس اندازه هایی که از این فرمول ها بدست می آید بر حسب زمان کیهانی تغییر می کند. اما حاوی ثابت هابل نیست پس تساوی، و بایستی تصادفی و مربوط به عصر حاضر باشد، مگر اینکه ثابت به گونه ای تغییر کند که این تساوی در تمام زمان ها برقرار باشد. این ایجاب می کند که یکی از ثابت های و در با زمان کیهانی تغییر کند. این استدلال بعداً به فرضیه ی اعداد بزرگ معروف شد.
برای درک بهتر این فرضیه را به صورت مقیاس زمانی وابسته به عالم و زمان لازم برای آنکه نور شعاع الکترون را طی کند در نظر می گیریم در فرضیه اعداد بزرگ هر عدد بدون بعد بزرگ در دوره ی کنونی را می توان به صورت بیان کرد که در آن از مرتبه ی یک است. مساوی قرار دادن و با شرط فوق بیان می کند که با تغییر می کند دیراک بین و تفاوت قائل شد. زیرا گروه اول () اتمی ولی G به ساختار بزرگ مقیاس عالم مربوط می شود. بنابراین طبق فرض دیراک اگر از یکای اتمی استفاده کنیم کمیت های اتمی ثابت هستند. در این صورت ثابت و تغییر خواهد کرد یعنی بر حسب یکای اتمی ثابت گرانشی باید بر حسب زمان کیهانی تغییر کند تغییرات زمانی ثابت گرانشی را می توان به صورت زیر نشان داد:

بدیهی است که تغییرات پیش بینی شده ثابت گرانشی در فرضیه اعداد بزرگ خلاف نظریه ی نسبیت عام اینشتین است که در آن G ثابت می باشد. پس بایستی معادلات نسبیتی را اصلاح کرد تا بتواند حاوی G متغیر باشد. دیراک دو مقیاس اندازه گیری یکی اتمی و دیگری مقیاس کیهانی که در گرانش معتبر است، پیشنهاد کرد. اگر سیستم اتمی را انتخاب کنیم ثابت هستند اما در این سیستم G متغییر است. زیرا این کمیت مربوط به فیزیک گرانش است. اما اگر از یکای گرانشی استفاده کنیم G ثابت و کمیت های اتمی متغییر خواهند بود. در فیزیک گرانشی پدیده های گرانشی با معادله ی زیر بیان می شوند:

معرفی و بحث در مورد این معادله را به فصل دوم موکول می کنیم. در بیان دیراک می توان این دو یکا را با دو متریک فضا زمان مختلف نوشت. این دو متریک را (متریک اتمی) و(متریک گرانشی) برای سیستم های اتمی و گرانشی بر می گزینیم. به گفته ی دیراک در این دو متریک، و ثابت هستند. در حالیکه، و متغییر هستند. دراینجا E زیروند متریک اینشتین و A زیروند متریک اتمی می باشند. با نگاه به آزمون های نسبیت عام مشخص می شود که جرم جسم گرانشی که در حل شوارتس شیلد وجود دارد بایستی بر حسب یکاهای گرانشی ثابت باشد. این جرم را با نشان می دهیم در هر اندازه گیری که روی زمین انجام می شود از سیستم های اتمی مانند طیف سنج ها و ساعت های اتمی استفاده می شود. قبل از آنکه هر نتیجه ای را تفسیر کنیم باید مطمئن باشیم که تمام کمیت های قابل مشاهده به یکای اتمی تبدیل شده اند. پس بایستی نسبت تبدیل دو یکا را بدانیم یعنی بدانیم که تبدیل هر کمیت فیزیکی از یک دستگاه به دستگاه دیگر چگونه انجام می شود. اگر فرض کنیم جرم جسم نجومی ما دارای N نوکلئون باشد و جرم هر نوکلئون برابر باشد پس جرم کل جسم نجومی برابر است با:

در این رابطه ثابت ولی متغییر است. بنابراین N تعداد ذرات تشکیل دهنده ی جسم نجومی بایستی قابل تغییر باشد پس بحث دیراک به آفرینش و یا نابودی ذرات در جسم نجومی نیاز دارد.
1-2 نظریه ی برنز-دیک
نظزیه ی نسبیت عام یک نظریه تانسوری است به این معنی که تانسور متریک به تنهایی به عنوان یک میدان دینامیکی در معادلات میدان اینشتین ظاهر می شود. در نظریه های نرده ای – تانسوری این نقش بین تانسور متریک و یک میدان نرده ای تقسیم می شود در این گونه نظریه ها هندسه فضا-زمان توسط متریک فضا-زمان و یک میدان نرده ای توصیف می شود مهمترین این نظریه ها نظریه ی است که در در سال 1961 ارائه شد. این نظریه به عنوان تعمیمی بر مبنای اصل ماخ برای نظریه ی نسبیت عام اینشتین است. کنش این نظریه به شکل زیر نوشته می شود.

که در آن کنش ماده و یک پارامتر بدون بعد است. در کنش فوق ماده به طور مستقیم با جفت نشده است چون لاگرانژین مستقل از است. اما به طور مستقیم با تابع ریچی جفت می شود میدان گرانشی به وسیله ی تانسور و تابع نرده ای توصیف می شود. این و دمای مربوط به سیستم دینامیک سیستم را تشکیل می دهد. تابع ، تعمیم طبیعی ثابت کیهانشناسی است و ممکن است مقدار ثابت یا یک جمله ی جرمی را تشکیل دهد.
در فیزیک کمیت های دارای بعد در یکاهای مختلف مقادیر متفاوتی دارند بنابراین و با توجه به فرضیه ی اعداد بزرگ مبنایی برای ثابت ماندن جرم ذرات در عالم در حال تحول وجود ندارد. بنابراین چگونه می توان دو جرم که در نقاط مختلف فضا که درحال تحول هستند را با هم مقایسه کرد. بایستی به دنبال یکای مستقلی باشیم تا بتوانیم افزایش و کاهش جرم را نسبت به آن اندازه گیری کنیم. این یکا را یکای گرانی یعنی جرم پلانک تعریف می کنیم.

کمیّت که یک کمیّت بدون یکا است و در تمام یکاهای اندازه گیری دارای مقدار یکسانی است. اگر از یکای اتمی استفاده کنیم تغییر تعیین می کند که ثابت گرانشی در حال تغییر است. این نتیجه گیری است که برنز-دیک در رهیافت به اصل ماخ به آن رسیدند. آنها در پی چارچوبی بودند که در آن ثابت گرانشی ناشی از ساختار عالم باشد بطوریکه متغییر پیامد یک عالم ماخی متغییر باشد. اگر به صورت عکس میدان نرده ای تغییر کند یعنی باشد در این صورت در یک معادله ی موج نرده ای صدق کند که چشمه ی این موج تمام ماده ی موجود در عالم است.

در این رابطه تریس تانسور انرژی-تکانه، عملگر موج است. آنها به معادله ی موج نرده ای که با چشمه های مادی برای انتظار می رفت رسیدند.
اگر در معادله ی 1-16 ثابت جفت شدگی خیلی زیاد شود( ) نظریه ی برنز-دیک به نظریه ی نسبیت عام تبدیل می شود. چون این نظریه علاوه بر تنسور حاوی میدان نرده ای نیز می باشد به آن نظریه ی نرده ای-تانسوری گرانش می گویند.
فصل دومنسبیت عام وکیهانشناسی216789011518902482215179006517868902451100
2-1 نسبیت عام و اصول آن
نسبیت عام که در سال 1915توسط آلبرت اینشتین ارائه شد، کاملترین نظریه ای که در حال حاضر برای توصیف نیروی گرانش وجود دارد. در مقایسه این نظریه با مکانیک نیوتونی باید گفت که در مکانیک نیوتونی، ماده در یک ساختار فضا و زمانی ثابت قرار داشته و حرکت آن مورد مطالعه قرار می گیرد این بدان معنی است که حضور و حرکت ماده تحت تاثیر فضا و زمان نبوده و همچنین آن را تحت تاثیر قرار نمی دهد.
اما نسبیت عام(که تعمیم نظریه نسبیت خاص می باشد) نظریه ای در باره ی ساختار هندسه فضا-زمان است. حضور و حرکت ماده در این نظریه تحت تاثیر متقابل فضا – زمان می باشد. نسبیت عام بر مبنای اصول پایه گذاری شده است.
اصل ماخ
اصل هم ارزی
اصل جفت شدگی کمینه
اصل هموردایی عام
2-1-1 بیان های مختلف اصل ماخ
هندسه بدون ماده معنی ندارد بلکه فاصله ی بین اجسام است که این مفهوم را انتزاعی می-کند البته این بیان اصل ماخ با نسبیت عام ناسازگار است زیرا اگر تانسور انرژی-تکانه صفر باشد، معادلات اینشتین قابل حل هستند و هندسه های متفاوتی را توصیف می کنند.
2- لختی هر ذره ناشی از یک نوع برهمکنش میان آن ذره و بقیه ی جرم های موجود در عالم است. یعنی لختی ویژگی ماده و زمینه ای است که بقیه ی عالم را به وجود آورده است. در دیدگاه نیوتونی لختی از ویژگی های ماده است اما طبق این بیان اصل ماخ لختی به وجود زمینه بستگی دارد اگر زمینه ای وجود نداشته باشد این معیار از بین می رود.
یک جسم در فضای کاملاً تهی هیچ خاصیت هندسی به خود نمی گیرد.
توزیع ماده چگونگی هندسه را تعیین می کند، نسبیت عام با این بیان اصل ماخ سازگار است.
2-1-2 اصل هم ارزی
یکی از اصول اساسی نسبیت عام، اصل هم ارزی است این اصل به دو صورت زیر بیان می شود.
الف) اصل هم ارزی ضعیف: در فیزیک وجود دو جرم و برابری آنها سالها در نظریه گرانش مورد مورد بحث بوده است یکی از این دو جرم، جرم لختی است که در قانون دوم نیوتون به صورت نسب نیرو به شتاب تعریف می شود و میزان مقاومت جسم در برابر شتاب را اندازه می گیرد. نوع دیگر جرم گرانشی است که در معادله ی نیروی گرانشی بین دو جسم بکار می رود. اصل هم ارزی ضعیف برابری این دو جرم را بیان می کند طبق این بیان همه ی ذرات در میدان گرانشی دارای شتاب یکسانی هستند. بنابراین مسیر حرکت ذرات در یک میدان گرانشی مستقل از نوع ذرات است.
ب) اصل هم ارزی قوی: طبق این بیان قوانین فیزیک در نسبیت عام در هر ناحیه از فضا-زمان که به اندازه ی کافی کوچک باشد باید به قوانین نسبیت خاص تبدیل شوند. به بیان دیگر نمی توان وجود میدان گرانشی را با آزمایش های موضعی آشکار کرد. یا هیچ آزمایشی موضعی وجود ندارد که بتواند تفاوت سقوط آزاد غیر چرخان در یک میدان گرانشی را از حرکت یکنواخت در نبود میدان گرانشی در فضا مشخص کند.
می توان گفت که ایده اصلی این اصل از جهانی بودن گرانش گرفته شده است. به عبارت دیگر گرانش روی تمام اجسام به یک طریق و به طور یکسان مؤثر است(آزمایش معروف گالیله را یادآور می شویم). این ویژگی جهانی بودن، اینشتین را به یک ایده انقلابی راهنمایی کرد چیزی که ما در طبیعت به شکل نیروی گرانشی تجربه می کنیم در حقیقت چیزی به جزء انحنای فضا-زمان نیست.
2-1-3 اصل جفت شدگی کمینه
این اصل بیان می کند که اگر بخواهیم قوانین فیزیک را در هندسه خمیده بنویسیم باید ابتدا شکل آن قوانین را در نسبیت خاص و در یک دستگاه لخت در نظر بگیریم. سپس شکل تانسوری آن قوانین را به گونه ای بنویسیم که تحت تبدیلات مختصات هموار باشند. اگر قوانین فیزیکی را در یک هندسه تخت در نظر بگیریم، طبق این اصل بایستی به جای متریک مینکوفسکی متریک نسبیت عام و به جای مشتقات جزئی از مشتقات هموردا استفاده کنیم. به عنوان مثال در نسبیت خاص قانون پایستگی انرژی – تکانه به صورت که با توجه به اصل جفت شدگی کمینه تعمیم این قانون در نسبیت عام به صورتاست.
2-1-4 اصل هموردایی عام
تمام نا ظرها اعم از لخت و نالخت هم ارز هستند. به عبارتی ناظرهای همه ی چارچوب های لخت و نالخت قوانین فیزیک را یکسان می بینند. این امر مستلزم آن است که معادلات فیزیکی به گونه ای نوشته شوند تا شکل ریاضی آنها از دید تمام ناظرها، یکسان باشد. این ابزار ریاضی تانسور است پس معادلات فیزیک بایستی شکل تانسوری داشته باشند. ثابت ماندن کمیت های نرده ای مهمترین نکته -ای است که در این اصل به حساب می آید. در نسبیت عام عنصر جهان خط یک کمیت ناوردا است، پس طبق این اصل همواره و تحت تمام تبدیلات ثابت می ماند. البته این بیان تا زمانی اعتبار دارد که متریک ویژه ی چارچوب مورد نظر تغییر نکند.
2-2تانسور انرژی- تکانه
باتوجه به فرم کلی معادله ی ایشتین این معادله از بخش هندسی و مادی تشکیل شده است. در این قسمت به بررسی بخش مادی این معادله می پردازیم. توزیع ماده در جهان را می توان به کمک یک تانسور انرژی-تکانه تعریف کرد. اگر یک ابر سطح سه بعدی که توسط چهار بردار نرمال مشخص می شود در نظر بگیریم در این صورت کمیت چهاربردار تکانه وابسته به این ابر سطح برابر است:

بسته به انتخاب بردار نرمال می توان مولفه های مختلف محاسبه کرد به عنوان مثال:

اگر چگالی تکانه را به صورت تعریف کنیم داریم:

در حالت کلی مولفه های این تانسور را می توان به شکل ماتریس زیر نوشت:

برای درک بهتر مولفه های تانسور انرژی-تکانه بایستی توجه کنیم که برابر شار تکانه ای است که در جهتاز سطح ثابتعبور می کند.
اگر از یک چهارچوب مرجع همراه ذره استفاده کنیم در این صورت مجموع تکانه های فضایی سیستم صفر است. هنگامی که در سیستم هیچگونه شارش گرمایی وجود نداشته باشد
پس در یک سیال بدون ویسکوزیته و شارش گرمایی در یک چهار چوب مرجع همراه ذره تانسور انرژی-تکانه به شکل زیر نوشته می شود:

برای یک سیال کامل معادله ی حالت به شکل زیر است. در این رابطه مقدار ثابتی است
2-2-1 تانسور انرژی- تکانه غبار
بر اساس اصل موضوع وایل کهکشان های تشکیل دهنده ی جهان شبیه ذرات یک سیال هستند. این ذرات در فضا-زمان روی ژئودزیک های زمان گونه حرکت می کنند. اگر این سیال را به صورت غبار یعنی ذراتی بدون برهمکنش و غیر نسبیتی در این صورت می توان نوشت: بنابراین و طبق رابطه 2-7 تانسور انرژی-تکانه برابر است با:

2-2-2 تانسور انرژی- تکانه تابش
جهانی با سلطه ی تابش شامل امواج الکترومغناطیس ذرات مادی با انرژی بالا (این ذرات دارای سرعتی نزدیک به سرعت نور می باشند به طوری که می توان از انرژی سکون این ذرات در مقابل انرژی جنبشی آنها صرف نظر کرد) می باشد. تانسور انرژی- تکانه تابش به صورت زیر نوشته می شود:

رد این تانسورا به صورت زیر بدست می آید:

این رد بایستی با رد تانسور انرژی- تکانه 2-38 برابر باشد پس:

2-3 قانون پایستگی انرژی
طبق قانون پایستگی انرژی، انرژی یک سیستم منزوی همواره ثابت است و با گذشت زمان و تغییر مکان سیستم انرژی جسم تغییر نمی کند این بیان را در نسبیت عام به شکل زیر نوشته می شود:

برای مولفه های صفر رابطه ی بالا می توان نوشت:

با استفاده از ضرایب متریک رابرتسون- واکر و ضرایب کریستوفل در پیوست الف داریم:

در این روابط که پارامتر هابل است.
در جهانی با سلطه ی غبار است:

یعنی با انبساط عالم چگالی انرژی کاهش می یابد.
در جهانی با سلطه تابش است:
در این حالت چگالی انرژی تابشی با انبساط عالم سریع تر از سلطه ی غبار کاهش می یابد.
2-4 معادلات اینشتین
در مکانیک کلاسیک، شتاب یک جسم با رابطه زیر به پتانسیل میدان گرانشی (یعنی ) مربوط می شود.

همچنین معادله ی اساسی این نظریه، معادله ی دیفرانسیل پواسون برای بررسی پتانسیل گرانشی بر حسب چگالی ماده یعنی می باشد.

که عملگر لاپلاسین، چگالی جرم است و ثابت گرانشی نامیده می شود. در سمت چپ این معادله عملگر لاپلاسین وجود دارد که روی پتانسیل گرانش اثر می کند. در سمت راست این معادله مقیاس توزیع جرم وجود دارد. در نسبیت عام رابطه ی مشابهی وجود دارد که توضیح می دهد چگونه انحنا و فضا-زمان روی رفتار ماده اثر گذاشته و به طور متقابل حضور و حرکت ماده و یا توزیع انرژی در تغییر هندسه فضا زمان مؤثر است.
طبق اصول موضوعه ی نسبیت عام که در بخش 2-1 بیان شد، تعمیم رابطه ی 2-21 بایسی یک رابطه ی تانسوری باشد تا در حد کلاسیکی به این رابطه ختم شود. پس سمت راست معادله رابطه ی به جای چگالی جرم( ) بایستی تانسور انرژی-تکانه باشد. از آنجایی که مفهوم تانسور متریک بایستی جایگزین پتانسیل گرانشی گردد، پس در سمت چپ این معادله تانسوری قرار می گیرد که بر حسب تانسور متریک می باشد. با توجه به شکل معادله پواسون معادله ی اینشتین باید به گونه ای باشد که تانسور انرژی-تکانه متناسب با تانسوری قرار گیرد که این تانسور بر حسب مشتقات مرتبه ی دوّم متریک فضا-زمان نوشته شود. در نسبیت عام این تانسور یک تانسور مرتبه ی چهار است و نمی توان آن را متناسب با یک تانسور مرتبه ی دوّم قرار داد. اما می توان آن را با تانسور مرتبه دوّم (تانسور ریچی) متناسب قرار داد یعنی؛

اگر تانسور ریچی را متناسب با تانسور انرژی-تکانه قرار دهیم داریم:

در رابطه ی بالا ضریب تناسب است. اما این رابطه با رابطه ی پایستگی انرژی سازگار نیست. زیرا

اما تانسوری که اینشتین معرفی کرد دارای خصوصیات مورد نظر است و مشتق هموردای آن نیز صفر است.

بنابراین معادلات اینشتین بایستی به شکل زیر باشند.

معادله ی فوق تمام شرایط مورد نظر را داراست. طرف راست آن که توزیع ماده و انرژی را مشخص می کند به شکل یک تانسور مرتبه دو و متقارن بیان می شود. طرف چپ آن نیز یک تانسور مرتبه دو و متقارن است که از مشتقات مرتبه ی اول و دوم متریک ساخته می شود. تنها چیزی که باقی می ماند ثابت تناسب است. این کمیت را باید به گونه ای مشخص کرد که معادله ی 2-25 طبق اصل همخوانی در حد نیوتونی معادلعه ی اساسی مکانیک کلاسیک را به دست دهد. برای این کار معادله ی 2-25 را به شکل زیر می نوسیم:
و به دست می آوریم:

با استفاده از این رابطه معادله ی 2-25 به شکل زیر در می آید.

حال بایستی حد نیوتونی این معادله را بررسی کنیم یعنی هنگامی که میدان گرانشی ضعیف و مستقل از زمان باشد و سرعت ذرات نسبت به سرعت نور بسیار ناچیز باشد. برای این کار تانسور انرژی- تکانه غبار یعنی معادله 2-9 همچنین دستگاه مختصاتی در نظر می گیریم که چار بردار سرعت غبار به صورت زیر باشد

از ضعیف بودن میدان گرانشی استفاده کرده و می نوسیم:

بنابراین تا تقریب مرتبه اول و شرط بهنجارش داریم:

و به دست می آوریم:

بنابراین با تقریب های بالا نتیچه ی زیر به دست می آید.

در این حد مولفه خیلی بزرگتر از دیگر مولفه ها در پس توجه خود را به مولفه ی معطوف خواهیم کرد. رد تانسور انرژی- تکانه برابر خواهد بود

اگر این رابطه را در معادله ی 2-27 قرار دهیم نتیجه می شود:

این معادله مشتقات متریک در داخل را به چگالی انرژی مربوط می کند. برای آنکه عبارت مشخصی بر حسب متریک به دست آوریم باید ابتدا را حساب کنیم در حقیقت فقط به نیاز خواهیم داشت زیرا است. پس

جمله ی دوم سمت راست برای میدان های ایستا و مستقل از زمان صفر است. جمله ی سوم و چهارم نیز به صورت می باشند که در تقریب رتبه سه سهم خواهند داشت. و در تقریبی که ما به کار برده ایم از آنها صرف نظر می شود. بنابراین خواهیم داشت:

و بنابراین

با مقایسه این رابطه با معادله ی 2-37 می توان دریافت که مولفه معادله ی اینشتین در حد نیوتونی برابر است

از طرفی بنابراین و با توجه به معادله ی 2-21 داریم پس معادلات اینشتین به شکل کامل می توان به صورت زیر نوشت.

در اینجا ثابت کیهانشناسی است. در زمان ارائه ی معادلات نسبیت عام تصور عمومی بر این بود که جهان ایستا است. البته معادلات با این تصور سازگار نیستند. اینشتین برای رفع مشکل جمله ی را در معادلات خود وارد کرد. می توان نشان داد معادلات اینشتین در کیهانشناسی با حضور جمله ی ، شامل جواب های ایستا نیز خواهند بود گرچه این جواب ها پایدار نیستند. اما هنگامی که در سال 1929 ادوین هابل به طور تجربی نشان داد که جهان در مقیاس بزرگ در حال انبساط است، به نظر می رسید که نیازی به این جمله ی اضافی نیست. اما بعدها معلوم شد که کمیت ، ارتباط نزدیکی با چگالی انرژی خلأ در فیزیک ذرات بنیادی دارد.
معادله 2-44 رفتار متقابل انحنای فضا- زمان و توزیع ماده را مشخص می کند. این معادله را می توان از وردش کنش زیر نیز به دست آورد، که قسمت گرانشی آن به کنش اینشتین- هیلبرت معروف است.

در این رابطه دترمینان و کنش ماده است.
2-5 کیهان شناسی استاندارد
کیهانشناسی استاندارد براساس سه فرض اصل کیهان شناسی، اصل موضوع وایل و نسبیت عام پایه گذاری شده است.
2-5-1 اصل کیهانشناسی
یکی از فرض های اساسی کیهانشناسی که با مشاهدات تجربی نیز سازگار می باشد. این است که کهکشان ها در ابعاد بزرگ (پارسک) به طور یکنواخت در جهت های مختلف توزیع شده اند. در این ابعاد، کهکشان ها یک توزیع همگن دارند یعنی در هر لحظه از زمان تمام نقاط فضا یکسان و شبیه یکدیگرند. منظور از همگن بودن این است که اگر یک خانواده تک پارامتری از ابر سطح های فضاگونه وجود داشته باشند به طوری که در هر لحظه ی برای دو نقطه دلخواه یک ایزومتری نقطه را به نقطه تبدیل می کند. همچنین جهان در ابعاد بزرگ همسانگرد است یعنی اگر مجموعه ای از بردارهای زمان گونه که فضا-زمان را پر کرده اند، ( اگر بردار سرعت مماس بر این منخنی ها را u نمایش دهیم) وجود داشته باشند به طوریکه یک نقطه ی دلخواه مانندp و دو بردار مطعلق به فضای مماسی باشند. اگریک ایزومتری بگونه ای وجود داشته باشد که p و را ثابت نگه داشته و را به تبدیل کند می گوییم فضا همسانگرد است.
در واقع اصل موضوع کیهانشناسی بیان می کند که:
الف) یک نقطه مرجح در جهان وجود ندارد، یعنی جهان همگن است.
ب) هیچ جهت ویژه ای در جهان وجود ندارد، یعنی جهان همسانگرد است.
2-5-2 اصل موضوع وایل
بر اساس این اصل کهکشان های تشکیل دهنده ی جهان شبیه ذرات یک سیال هستند. این ذرات در فضا-زمان روی ژئودزیک های زمان گونه حرکت می کنند که از نقطه ای در گذشته واگرا می شوند. این اصل موضوع ایجاب می کند که ژئودزیک ها یکدیگر را قطع نکنند، مگر در یک نقطه تکین در گذشته یا آینده. بنابراین از هر نقطه از فضا-زمان، تنها یک ژئودزیک عبور می کند، در نتیجه ماده در هر نقطه سرعتی یکتا دارد. پس سیالی که جهان را فرا گرفته، می تواند یک سیال کامل در نظر گرفته شود. این نکته اساسی در اصل موضوع وایل است.
2-5-3متریک رابرتسون- واکر
اگر فضا-زمان را به مجموعه ای از ابر سطح های فضاگونه تقسیم کنیم، هر ژئودزیک بر این سطوح عمود خواهد بود. اگر مختصات را به گونه ای معرفی کنیم که ابر سطوحی که توسط سطوح (ثابت=t) داده می شوند به طوری که مختصات در طول این ژئودزیک ها ثابت بماند چنین مختصاتی را، مختصات همراه می نامند. بنابراین می توان پارامتر را به گونه ای انتخاب کرد که در متریک فضا-زمان به شکل زیر وارد شود.

در این رابطه متریکی است که هندسه ابر سطح را تعین می کند. در چنین چهارچوبی، نقاط با یک فاکتور زمانی معین از یکدیگر دور می شوند. بنابراین می توان فاکتور زمانی را به صورت زیر از بخش فضایی جدا کرد:

در این رابطه فاکتور مقیاس و ضریبی است که تحول هندسی ابر سطح های (ثابت=t) را تعیین می کند و زمان کیهانی است. البته باید توجه داشت که هر برش فضاگونه باید همگن، همسانگرد و مستقل از زمان باشد. این بدان معنی است که انحنای ابر سطح ها در هر نقطه باید ثابت باشد. از نظر ریاضی فضای انحنای ثابت با رابطه ی زیر مشخص می شود:

در این رابطهمقدار ثابتی است که انحنای فضا را مشخص می کند. اگر رابطه ی 2-27 را در ضرب کنیم بدست می آوریم:

این فضای سه بعدی باید حول هر نقطه ای همسانگرد باشد، یا به عبارتی دارای تقارن کروی باشد پس متریک مربوط به این فضا را می توان به صورت زیر نوشت:

در این رابطه فقط تابعی از است. برای این متریک مولفه های تانسور ریچی عبارتند:
با استفاده از روابط بالا و شرط 28-2 داریم:

پس متریک به صورت زیر در می آید

در این رابطه پارامتر خمیدگی است که می تواند دارای مقادیرو باشد. مولفه های هموردا و پادوردا این متریک عبارتند از:

با استفاذه از مولفه های این متریک ضرایب کریستوفل را در پیوست (الف) محاسبه کرده و با جایگذاری در معادلات 2-42 معادله های زیر به دست مآیند

این معادلات برای مقادیر مختلف k و ثابت کیهانشناسی حل شده است، تغییرات زمانی فاکتور مقیاس در شکل ها زیر رسم شده است.

شکل2-1:دسته بندی جواب های مدل فریدمن
مورد
الف) اگر در این مدل عالم به طور نامحدود انبساط می یابد البته برای یک دوره ی کوتاه عالم دارای خمیدگی است در این خمیدگی آهنگ انبساط کند می شود سپس به طور مجانبی به نزدیک می شود و در نهایت مانند تمام مدل های انفجار بزرگ آهنگ انبساط به سمت مدل اینشتین-دسیتر یعنی نزدیک می شود.
ب) اگر باشد در این حالت سرنوشت عالم به تخریب بزرگ می انجامد و عالم در هم فرو می ریزد. البته این مدل نوسانی است و بعد از هر تخریب جهان جدیدی ایجاد می شود.
پ) اگر در این حالت عالم بدون هیچ پیچیدگی به طور نامحدود منبسط می شود و به طور مجانبی آهنگ انبساط با زمان متناسب می شود.
مورد
الف) اگر باشد مانند مورد جهان به طور نامحدود انبساط می یابد
ب)اگر باشد جهان نوسانی است.
پ) اگر باشد همان مدل اینشتین دوسیتر است که در آن جهان با منبسط می شود.
مورد
تمام مدل های با دارای توپولوژی بسته ای هستند. در این مورد به دلیل وجود یک مقدار حدی برای ثابت کیهانشناسی امکان های بیشتری وجود دارد.
الف) اگر باشد سه وجود دارد.
1)برای این مدل، مدل لمیتر نام دارد و مانند یا به طور نامحدود انبساط می یابد. اما هنگامیکه به نزدیک می شود آهنگ انبساط کند می شود.
2) . سه امکان در این حالت وجود دارد.
2-1) مدل ایستای اینشتین در این حالت جاذبه گرانشی با دافعه ی کیهانی برابر می شوند. و فاکتور مقیاس مقدار ثابتی دارد.
2-2) این مدل انفجار بزرگ است که با گذشت زمان به طور مجانبی به مدل ایستای اینشتین نزدیک می شود.
مدل ادینگتون-لمیتر که اگر زمان را به عقب برگردانیم به طور مجانبی به مدل ایستای اینشتین نزدیک می شود.
2-3) . در این حالت دو امکان وجود دارد. یک مدل نوسانی و مدلی دیگر که در ابتدا فاز تراکمی سپس به دنبال آن یک فاز انبساطی دارد.
ب) که یک مدل نوسانی است.
پ) که یک مدل نوسانی است

فصل سومبررسی خصوصیات یک مدل گرانشی برای ثابت ساختار ریز متغییر
12439656572253-1 بررسی تغییرات ثابت ساختار ریز اولین قدم برای بررسی تغییرات ثابت ساختار ریز پذیرش این واقعت است که الکترومغناطیس ماکسول بایستی اصلاح شود. ابتدا یک توصیف کلاسیکی برای برهمکنش الکترومغناطیسی با ماده را انتخاب می کنیم با در نظر گرفتن رابطه ی ثابت ساختار ریز با بار الکتریکی می بینیم که تغییر پذیری مستلزم تغییر پذیری بار الکتریکی است و یا برعکس. البته در یکایی که و ثابت باشند. گفته ی فوق به نظر می رسد که با قانون پایستگی بار و معادلات ماکسول هم خوانی نداشته باشد. اگر پایستگی بار با وجود تغییر پذیری برقرار باشد آشکارا چیزی در تصویر پذیرفته شده ی الکترومغناطیس ماکسولی بایستی اصلاح شود. برای این کار ما نیاز به پیش فرض هایی داریم که با شیوه ای منطقی در جهت اصلاح معادلات ماکسول راهنمایمان باشد. این شرایط و پیش فرض ها بایستی مدلی مستقل از چارچوب برای تغییر پذیری ارائه دهد. به طوریکه اصول و قوانین فیزیکی پذیرفته شده محترم شمرده شوند. این پیش فرض ها عبارتند از
برای ثابت الکترومغناطیسی و جفت شدگی پتانسیل برداری با ماده کمینه است. این فرض براساس اصل همخوانی است. این فرض تضمین می کند در صورت ناچیز بودن جفت شدگی معادلات دینامیکی نظریه به شکل اصلی و پذیرفته شده ی قبلی تبدیل شوند.
تغییر نتیجه ی دینامیک است. اگر تغییر کند تغییرات آن تحت نفوذ ماده ی بار دار است و ماده ی باردار نیز به نوبه ی خود تحت نفوذ تغییرات است. فقط دینامیک می تواند این ویژگی مهم را نشان دهد.
دینامیک الکترومغناطیس از یک کنش ناوردا به دست می آید.
کنش دارای ناوردایی پیمانه ای موضعی است. اهمیت اصل پیمانه ای در فیزیک اقرار آمیز نیست به کمک این اصل پیمانه ای است که تصویر کاملی از بر همکنش های میکروسکوپ وجود دارد. اگر این اصل را در نظر نگیریم بایستی روش نامعقولی برای اصلاح معادلات ماکسول اتخاذ کنیم.
الکترومغاطیس علّی است و هیچ آزمایشی برای نقض علّی بودن آن وجود ندارد.
کنش الکترومغاطیسی دارای ناوردایی معکوس زمان است.
کمترین طولی که می تواند وارد نظریه ی فیزیکی شود طول پلانک-ویلر است که به صورت است. برای طول های کمتر میدان های الکتریکی و مغناطیسی هموار نیستند و ذرات در سیاه چاله هایی که خود ایجاد می کنند به دام می افتند.
گرانش به کمک متریک فضا زمانی که معادلات اینشتین را بر آورد می کند توصیف می شود. اهمیت توصیف هندسی گرانش امروزه به اندازه ی کافی روشن است. معادلات اینشتین نمونه ای از دینامیک متریک است که آزمایش های زیادی را به چالش کشیده است.
یکاهای طول، زمان و جرم را طوری انتخاب می کنیم که و ثابت باشند. از آنجایی که تغییر پذیری به این معنی است که بار نقطه ای به یک نقطه از فضا-زمان وابسته می شود. و انتظار داریم بار تمام گونه های ذرات باردار(الکترون پروتون…) به یک شیوه ای تغییر کند. زیرا اگر تعییر بار الکترون با پروتون متفاوت باشد در این صورت اتم خنثی نمی توانست وجود داشته باشد. با این فرضیات بار هر ذره را به صورت زیر در نظرمی گیریم:

در این رابطه e بار الکتریکی الکترون یا پرتون که با تغییر میدان نرده ای و بدون بعد تغییر می کند. مقدار کنونی بار الکتریکی است. میدان بایستی تحت تبدیل ناوردا باشد.
از طرف دیگر بار ذرات جمع روی تمام بار کنونی ذرات است. بنابراین این جمع از جمع بار ذرات که با پتانسل در کنش جفت می شود متمایز است. پس قانون پایستگی بار با فرض ما سازگار است. به دلیل وجود الکترون یک پتانسیل الکتریکی و یک پتانسیل مغناطیسی ایجاد می شود که با میدان نرده ای جفت می شود که این جفت شدگی به صورت می باشد. اگر یک پتانسل نرده ای باشد طبق تبدیلات پیمانه ای می توان نوشت:

تانسور میدان الکترومغناطیسی برابر است با:

در این رابطه اگر ثابت باشد طبق فرض یک معادله ی 3-3 به شکل اصلی تانسور میدان الکترومغناطیسی در می آید.

کنش الکترومغناطسی به شکل زیر نوشته می شود.

کنش میدان نرده ای را به شکل زیر در نظر می گیریم.

مقیاس طول در نظریه است، که به دلایل ابعادی معرفی می شود. این مقیاس ثابت طول کمترین فاصله ای را در اطراف بار نقطه ای مشخص می کند که میدان الکتریکی اطراف بار دقیقاً از قانون کولن پیروی کند. (طبق فرض هفت) تجربیات آزمایشگاهی و ژئوفیزیکی نشان می دهد که در مقیاس های طولی تا متر قانون عکس مجذوری صادق است. در فاصله های کوچک تر بایستی کمتر به دنبال مدرکی که اغلب شامل فرض های اضافی است باشیم. به عنوان مثال تجزیه وتحلیل پراکندگی ذرات آلفا توسط رادرفور با ورقه های نازک، قانون کولن را تا فواصلی از مرتبه ی متر، به طور اساسی اثبات می کند، به شرط اینکه بتوان ذره ی آلفا و هسته را به صورت بارهای نقطه ای کلاسیکی که بصورت ایستا برهمکنش می کنند، (یعنی از ابر الکترونی بتوان چشم پوشی کرد) در نظر گرفت. در فواصل باز کوچکتر، مکانیک کوانتمی نسبیتی ضروری است و اثرات برهمکنش قوی وارد بحث می شوند. آزمایش های پراکندگی الاستیک با الکترونهای مثبت و منفی در اانرژی های مرکز جرمی تا نشان داده شده است که الکترودینامیک کوانتمی (نظریه ی نسبیتی الکترون های نقطه ای برهمکنش کننده با فوتون های بدون جرم ) برای فواصلی از مرتبه ی متر، صادق است. مقیاس انرژی است و در بین چند ده مگا الکترون ولت و مقیاس انرژی پلانک می باشد، تقریباً معادل است
با فرض دراین صورت بدست می آید پس می توان چگالی لاگرانژی را برای میدان نرده ای به صورت زیر نوشت.

حال می توان یک کنش کلی به صورت زیر تعریف کرد.

این کنش از دو قسمت هندسی و مادی تشکیل شده است. قسمت اول کنش هندسی و قسمت دوم کنش مادی و شامل ، که به ترتیب لاگرانژی الکترومغناطیسی، میدان نرده ای و قسمت مادی کنش هستند. که در این کنش ، ثابت کیهانشناسی و تانسور نرده ای خمش هستند. اگر از این کنش وردش بگیریم داریم:
که درآن است. اگر قسمت هندسی کنش را در ضرب کنیم.

و با توجه به رابطه زیر داریم.

با وردش از لاگرانژی، تانسور انرژی-تکانه و معادله ی دینامیکی میدان نرده ای داریم:

اکنون می توانیم تانسور اینشتین را به شکل زیر بنویسیم

با استفاده از کنش می توانیم معادلات دینامیکی بدست آوریم

معادله ی 3-20 دینامیک را مشخص می کند. در اینجا ثابت جفت شدگی تعریف می کنیم این ثابت تقریباً از مرتبه یک است. برای ساختن کمیت های قابل پیش بینی احتیاج به دانستن ویژگی های ماده ی غیر نسبیتی در معادله ی 3-20 داریم. پارامتری که با مشخص می شود و برابر چگالی الکترومغناطیسی به چگالی ماده ی باریونی است این مقدار در فرضیه ی های قبلی در حدود یک درصد تخمین زده شده است. اگر ما مدلی برای ماده در نظر بگیریم که پروتون به صورت پوسته ی باری با شعاع معادل شعاع پروتون باشد بر اساس این مدل کسر ماده ی باریونی موجود در عالم حدود 19/0 درصد کل ماده موجود در عالم خواهد شد. بنابراین مقدار نیاز به وجود کسری از ماده دارد که غیر باریونی است، نکته ای که در در فرضیه های قبلی در نظر گرفته نشده است. پس، وابستگی قوی به طبیعت ماده ی تاریک دارد. فرضیه ی سنتز هسته ای انفجار بزرگ مقدار تقریبی برای چگالی ماده باریونی پیش بینی می کند که به صورت. است. اگر پارامتر هابل را برابر بگیریم، چگالی ماده ی باریونی تقریباً برابر 03/ درصد کل ماده ی موجود در عالم است. از طرفی باور بر این است که چگالی ماده ی موجود در عالم در حدود است این بدان معنی است که حدود یک دهم ماده ی موجود در عالم باریونی است که می تواند با بار الکتریکی جفت شود البته اگر ماده ی تاریک سرد مقادیر کمی داشته باشد یا این ماده مولفه ی الکترواستاتیک کولنی نداشته باشد. اگر این گفته درست نباشد بایستی مقدار خیلی بیشتری داشته باشد.
از تانسورهای انرژی-تکانه 3-14، 3-15 و 3-16مولفه ی به صورت زیر به دست می آیند:

حال اگر این مولفه ها را در معادله ی 3 -17 قرار دهیم معادله اول یا به صورت زیر به دست می آید

اگر پایستگی انرژی را در معادله ی 3-24 اعمال کنیم داریم:

بنابراین معادلات پایستگی برای تابش و قسمت مادی به صورت زیر بدست می آیند.

در حالت کلی قادر به حل معادله های بالا به جزء در چند مورد خاص نیستیم ، با آنکه معادلات عام فریدمن امکان تعیین چند الگوی تحول کیهانشناسی در حضور ماده، تابش، خمیدگی و ثابت کیهانشناسی مثبت را به طور تقریبی دارد. ما بایستی حل هایی از این معادلات را تا زمانی که جهان پیوسته با انرژی جنبشی میدان نرده ای ، غبار، تابش، خمیدگی خاص منفی و ثابت کیهانشناسی مثبت غالب می شود بررسی کنیم.
2-3 عصر سلطه ی غبار:اگر فرض کنیم در این عصر باشد معاد له ی 3-24 به صورت زیر در می آید.

در حالتی که جهان فقط شامل غبار باشد معادله 3-34 به صورت زیر در می آید.

ما به دنبال جوابی برای معادله ی 3-31هستیم که در شرایط حدی با جواب معادله ی 3-35 سازگار باشد . معادله ی 3-31 را می توان به صورت زیر نوشت :

که در آن N یک ثابت مثبت و به صورت زیر تعریف می شود.

تغییر متغیر را در نظرمی گیریم بنابراین:

معادله ی 3-38 برای زمان های اولیه رفتاری دارد که برای هیچ قاعده ی توانی با رفتار فاکتور مقیاس معادله ی3-35 سازگار نیست. اما در زمان های پایانی یعنی هنگامیکه سیستم می خواهد به حالت جدید برود جواب معادله ی3-35 و معادله ی 3-38 که شکل دیگر معادله ی 3-36 است به طور مجانبی به هم نزدیک می شوند در زمان های پایانی رفتار مجانبی معادله ی3-38 به صورت سری برگشتی زیر در می آید:

اگر این معادله را در معادله ی 3-38 جایگذاری کنیم داریم:

حال اگر را مرتب کنیم برای اریم:

بنابر این داریم:

برای مقادیر خیلی بزرگ می توانیم بنویسیم:

اگر را جایگذاری کنیم برای زمان های پایانی داریم :

با جایگذاری در رابطه ی برای وقیکه داریم

بطور تقریبی داریم :

این رفتار مجانبی که به کمک حل عددی معادلات3-24، 3-31و 3-34 برای با استفاده از مقادیر اولیه ی که در شکل 3-1 رسم شده است تأیید می شود. می توان را برحسب تابع انتگرال لگاریتمی زیر نیز نوشت:

حال بایستی فرض اصلی را در معادله های فریدمن(معادله ی3-34) بررسی کنیم تا این جواب خود سازگار باشند یعنی جواب معادله ی 34-3 در زمان های پایانی به حل نزدیک شود. هنگامی که در معادله ی 34-3 زمان (یعنی در زمانهای پایانی دوره ی غبار) عبارت مقدار ناچیزی خواهد داشت که می توان از آن صرف نظر کرد از طرفی عبارت سریعتر افت می کند. پس معادله ی 34-3 به شکل زیر در مآید.

از طرفی وقتی جهان فقط شامل غبار تنها باشد جواب معادله فریدمن به شکل زیر است.

پس جواب در زمان های پایانی عصر غبار یک رفتار همه جایی دارد و با 3-34 سازگار است. اگر شکل معادله ی 3-43را بررسی کنیم مشاهده می کنیم که با زمان افزایش می یابد البته تا زمانی که این رشد برای عبارت هایی نمایی سمت راست معادله ی 3-34 اثر قابل توجهی داشته باشد. آهنگی که α با آن رشد می کند با چگالی نهایی ماده که رابطه ی مستقیمی با دارد کنترل می شود. مقادیر بیشتر چگالی ماده (و بنابراین) باعث رشد بیشتر α می شود. اما به خاطر تغییرات زمانی لگاریتمی وابستگی به و ضعیف است.

شکل3-1 نمودار تغییرات برحسب رسم شده است که در زمان های پایانی دوره ی غبار با را رابطه ی سازگاری دارد. 3-3 عصر سلطه تابشاگر فرض کنیم در عصر تابش و وابستگی زمانی فاکتور مقیاس به صورت باشد. این فرضیات ما را به حل معادله ی 3-31هدایت می کند.

برای معادله 3-53 یک جواب حدسی به صورت زیردر نظر می گیریم.

این جواب را امتحان در معادله ی 3-53 می کنیم

پس جواب 3-54 یک جواب دقیق برای 3-53 است. برای بررسی پایداری این جواب یک اختلال به صورت به این جواب اضافه می کنیم.

برای اختلال های بزرگ است. بنابراین می توان از آن صرف نظر کرد در این صورت معادله 3-59 به شکل زیر در می آید.

که در آن یک ثابت اختیاری است. هنگامیکه افزایش یابد جواب این معادله به نزدیک می شود که همان مشتق جواب ویژه با علامت مخالف است. پس برای مقادیر بزرگتر از این، جواب صفر است یعنی ثابت است مگر اینکه اختلال کوچک باشد و به جواب حل دقیق 3-54 نزدیک شود.
برای ایجاد پایداری جواب حل دقیق نیاز به بررسی اختلال های کوچک در اطراف آن داریم.

برای حل معادله ی61-3 با تغییر متغیر داریم:

جواب معادله ی 3-64 به صورت زیر است.

جواب و در نهایت ثابت ساختار ریز α به صورت زیر است

هنگامی که جواب 3-67 به شکل زیر در می آید:

بایستی چک کنیم هنگامی که زمان به سمت بی نهایت میل می کند عبارت غالب نباشد. ابتدا فرض می کنیم جهان فقط تحت سلطه ی تابش است و میدان نرده ای وجود ندارد در این صورت داریم:

هنامیکه میدان نرده ای را نیز در نظر می گیریم با بدست آودرن داریم:

وقتی که خیلی زیاد می شود عبارت تقریب نزدیکی از چگالی تابشی می شود . اگر فرض کنیم برای چگالی مادی داریم

که به دلیل تغییرات α از مرتبه ی عبارت چگالی تابشی است، پس فرض هنوز تقریب خوبی است.
یک ثابت جبری در معادله ی فریدمن وجود دارد اگر در این معادله به جای قرار دهیم داریم:

اگر است در این صورت داریم:

دوباره رفتار مجانبی معادله های 3-65 و 3-66 به حل دقیق معادله ی 3-24 نزدیک می شود این مطلب توسط حل های عددی معادله ها ی 3-26 و 3-31 در مرحله ی تابش را تایید می کند. این حل عددی برای مقادیر و و همان مقادیر برای در شکل 3-2 رسم شده است. در این شکل مشاهده می کنیم که هر چه مقدار اولیه ی بیشتر از باشد ثابت می ماند تا زمانیکه به مقدار جواب پیش بینی شده در بالا برسد.

شکل 3-2حل عددی برای و همان مقادیر برای
3-4 دوره ی سلطه ی خمیدگیاگر عالم باز و تحت سلطه ی یک خمیدگی منفی خاص باشد به طوری که از جمله های معادله ی 3-24در مقابل (ثابت خمیدگی) چشم پوشی کنیم در این صورت معادله به شکل زیر در می آید.

دوباره بایستی معادله ی 3-31را برای این حالت حل کنیم. با توجه به 3-76 بایستی ثابت باشد، بنابراین نیز بایستی ثابت باشد پس به دنبال جوابی به شکل زیر هستیم.

را به این دلیل اضافه کرده ایم تا پایداری جواب را برای مقادیر کوچک بررسی کنیم.
برای مقادیر کوچک داریم:
اگر تغییر متغیر را در نظر بگیریم داریم:

برای حل این معادله ابتدا جواب معادله کمکی زیر را بدست می آوریم:

جواب این معادله به شکل زیراست.

که در آن یک مقدار ثابت می باشد و چون مثبت است قسمت حقیقی آن از معادله حذف می شود.

که ومقدار ثابتی است. در این مورد نیز بایستی عبارت را برای عصر خمیدگی چک کنیم تا معلوم شود که این عبارت غالب نیست. برای در زمان های پایانی () متناسب با تغییر می کند در صورتیکه برای سلطه ی خمیدگی در زمان های پایانی به صورت است. می بینیم که سریعتر از افت می کند به خاطر اینکه است . پس تقریبی که استفاده کرده ایم خوب است. ما نشان دادیم در جهان های باز فریدمن وقتی جهان تحت یک سلطه ی خمیدگی خاص باشد α به سرعت به یک مقدار ثابت نزدیک می شود. آهنگ نزدیک شدن به مقدار ثابت به کمک چگالی ماده از طریق کنترل می شود. این رفتار دوباره به کمک راه حل های عددی که در شکل3-3 رسم شده است تایید می شود
77637718421000
شکل 3-3نمودار بالایی تحول α از سلطه ی تابش تا سلطه ی غبار و سلطه خمیدگی جایی که تغییرات α به پایان می رسد نشان می دهد. در نمودار پایانی تابش را با نقطه چین ، ماده را با خط پر و خمیدگی را با خط چین نشان داده ایم.
3-5 عصر سلطه ی ثابت کیهانشناسیدر این حالت ثابت کیهانشناسی بر تمام جمله های سمت راست معادله ی3-24 غالب است پس می توانیم بنویسیم

در رابطه 3-90 حال با جایگذاری معادله ی 3-90در معادله ی 3-31 داریم:

که جواب معادله برابر است با:

که در آن و مقادیر ثابتی هستند. معادله ی 3-92 نشان می دهد که مقدار (چگالی میدان نرده ای) وقتی زمان به اندازه ی کافی در عصر سلطه ی ثابت کیهانشناسی افزایش می یابد بسیار ناچیز است. ثابت ساختار ریز در این دوره به سرعت و با توان نمایی به مقدار ثابت نزدیک می شود.
714375-16002000
شکل 3-4 نمودار بالایی تحول α از سلطه ی تابش تا سلطه ی غبار و سلطه ثابت کیهانشناسی جایی که تغییرات α به پایان می رسد را نشان می دهد. در نموداردوم تابش را با نقطه چین، ماده را با خط پر و سلطه ثابت کیهانشناسی را با خط چین نشان داده ایم.
3-6 جهان های تورمی رفتاری که برای جهان های تحت سلطه ی در بحث بالا پیدا شد ما را قادر به درک این مطلب می کند که جهان چگونه از طریق یک عصر تورم دسیتری مراحل تغییر α کیهانی را طی کرده است. واضح است که این محاسبات را برای هر کیهانشناسی که تحت قاعده ی تورم توانی باشد می توان به کار برد. برای بررسی تغییر α فرض می کنیم که مدل فریدمن شامل یک گاز کامل با معادله ی حالت ، است و ضریب مقیاس به شکل افزایش می یابد. در این صورت چون غالب است می توان نوشت

در رابطه ی 2-95 و 2-96 و ثابت های اختیاری هستند و بنابراین و α با انبساط سریع از طریق هر دوره ی تورم با قاعده ی توانی به مقدار ثابت نزدیک می شوند. بایستی نشان دهیم که در معادله فریدمن بسیار ناچیز است.

و از آنجایی که پس در معادله فریدمن بسیار ناچیز است. از طرف دیگر بایستی بررسی کنیم که جواب بدست آمده برای ، معادله ی بقای انرژی (3-94) را برآورد می کند.
دوباره بایستی بررسی کنیم که تقریب خوبی باشد.

این نشان می دهد هنگامیکه می رود فرض تقریب خوبی برای جهان تورمی است. همین رفتار می توان برای یک میدان کوانت اسنس نیز می توان نشان داد. در این حالت افزایش ثابت ساختار ریز همانند دوره ی ثابت کیهانشناسی، خمیدگی و گاز کامل بحث شده در بالا، به سرعت متوقف می شود.
3-7 مراحل اولیه ی عالم هنگامی که میل می کند انتظار داریم مانند نظریه ی برنز – دیک با وضعیتی روبرو شویم که انرژی جنبشی بر تحول غالب می شود. این گفته معادل این است که حل معادلات 3-24 و 3-31 به حل خلأ نزدیک می شود یعنی هنگامیکه میل می کند است. و ثابت کیهانشناسی را نیز معادل صفر می گیریم چون موارد و در بالا بررسی شد و برای آنها جواب به دست آمد.

از معادله ی1-100داریم:

با جایگذاری معادله ی 3-102 در معادله ی3-101 بدست می آوریم:

از حل معادله ی 3-103 داریم:

اگر از معادله ی 3-104 نسبت به زمان مشتق گرفته و در معادله ی 2-100 قرار دهیم داریم:

حال به بررسی ثابت ساختار ریز در مراحل اولیه ی عالم می پردازیم:

رابطه ی 3-108نشان می دهد که در مراحل اولیه ی عالم، ثابت ساختار ریز با یک قاعده ی توانی با افزایش زمان کیهانی افزایش می یابد.
دوباره بایستی بررسی کنیم که برای مراحل اولیه ی عالم تقریب مناسبی باشد.

پس فرض تقریب مناسبی برای مراحل اولیه ی عالم می باشد. عبارت های چگالی تابشی و ماده کندتر از و هنگامی که میل می کند کاهش می یابند آنها در نهایت بر تقریب خلأ غالب می شوند. این نتایج با نتایج نظریه ی برنز-دیک یکسان است یعنی در نظریه ی برنز-دیک هنگامیکه میل مکند انتظار داریم که حل معادله های کیهانشناسی به حل خلأ نزدیک شوند و در زمان های پایانی حل معادله های کیهانشناسی به حل های بحث شده در بالا نزدیک شوند.
فصل چهارمبحث و نتیجه گیری و مشاهدات1945005151765020916902150745
4-1 بحث و بررسی نتایج مراحل پنج گانه ی فصل سوم
1) در نزدیک تکینگی قسمت انرژی جنبشی میدان نرده ای غالب است، عالم رفتاری همانند جهان فریدمنی در نسبیت عام را دارد و شامل یک میدان نرده ای بدون جرم یا یک گاز کامل با فاکتور مقیاس را دارد. طی این فاز خلأ ثابت ساختار ریز با قاعده ی توانی در زمان افزایش می یابد.

2) در عصر سلطه ی تابش ثابت ساختار ریز به حل ویژه و تقریبی نزدیک می شود البته اگر مقدار اولیه ی α بیشتر از حل ویژه باشد مدت زمان طولانی تری ثابت ساختار ریز ثابت می ماند (شکل 3-2)به طوری که ممکن است عالم تحت سلطه ی غبار در آید اما α هنوز ثابت باشد.
3) پس از سلطه ی غبار α به آرامی به حل تقریبی زیر نزدیک می شود

اگر عالم دارای خمیدگی صفر و ثابت کیهانشناسی نیز نداشته باشیم در این صورت α به حل تقریبی نزدیک می شود.
4) در صورتی که عالم باز باشد یعنی دارای خمیدگی منفی باشد افزایش α به پایان می رسد، اگر عالم تحت سلطه ی یک خمیدگی فضایی مثبت باشد جهان پس از رسیدن به یک انبساط بیشینه در نهایت در هم فرو می ریزد. البته تا زمانی که شاره ای وجود نداشته باشد که شرایط قوی انرژی را نقض کند.
5)در صورتیکه ثابت کیهانشناسی مثبتی وجود داشته باشد، هنگامیکه که ثابت کیهانشناسی شروع به شتاب دادن جهان می کند، تغییرات ثابت ساختار ریز متوقف می شود. همین شرایط می تواند در صورت وجود یک گاز کامل بدون جرم با معادله ی حالت نیز بدست آید.
برای بدست آوردن یک تصویر کلی و واقعی بهتر است این مراحل و اجزاء بحث شده در بالارا به هم ربط دهیم. برای داشتن یک تقریب خوب از زمان خلأ تا زمان پلانک داریم:

یعنی در عصر خلأ ثابت ساختار ریز با قاعده ی توانی در زمان افزایش می یابد. در عصر تابش ثابت ساختار ریز ثابت است تا هنگامیکه زمان رشد شروع شود در این صورت ثابت ساختار ریز به صورت افزایش می یابد تا رسیدن به زمان یعنی زمانیکه عصر تابش به پایان می رسد و عصر غبار شروع می شود، در عصر غبار ثابت ساختار ریز به صورت قاعده ی لگاریتمی با زمان تغییر می کند. هنگامی عصر خمیدگی یا ثابت کیهانشناسی شروع شود ( یا ) بعد از آن تا زمان حال α ثابت می ماند. اگر مراحل تحول α را کنار هم قرار دهیم می توانیم رابطه ی فشرده برای بر حسب بدست آوریم.

که در اینجا فرمول لگاریتمی را بر حسب یکای پلانک بیان کرده ایم.
اما هنگامی که عالم تخت و ثابت کیهانشاسی مثبت باشد رابطه ی به صورت زیردر می آید

در این رابطه به جای نشسته است.
در عصر تابش ما دو مرحله را بررسی می کنیم یک قسمت که و یک قسمت هنگامی که زمان رشد از طریق عصر تابش به به عصرخلأ مربوط می شود.
به عنوان نمونه اگر

در مورد اول برای تحول ثابت ساختار ریز در عصر تابش داریم :
برای مورد دوم یعنی داریم :

Author:

دیدگاهتان را بنویسید

نشانی ایمیل شما منتشر نخواهد شد. بخش‌های موردنیاز علامت‌گذاری شده‌اند *