دانلود نمونه پژوهش - مقاله های ارشد

متن کامل پایان نامه را در سایت منبع fuka.ir می توانید ببینید

به:
آغوش پرمهری که محبتشان آموزگار دوستداشتن است و دستان نوازشگرشان روحبخش جان
پدر و مادر عزیزم

قدردانی:
در این فرصت بر خود واجب میدانم که از زحمات بیدریغ و دلسوزانهی اساتید عزیز و گرانقدرم جناب آقای دکتر شهریار سلیمی و جناب آقای دکتر آرش سروری تشکر و قدردانی نمایم.
همچنین از پدر و مادر عزیزم که همیشه در لحظات سختی پشتیبانم بودند و دعای خیر و دستان گرمشان راهگشای تمام مشکلاتم بودند و از همهی دوستانی که در طول این مدت اوقات خوشی را با آنها سپری کردم کمال تشکر و قدردانی را دارم.
فهرست مطالب
1905027812900 عنوان صفحه
فصل اول (مقدمه) ........................................................................................ 1
1-1پیشینهی تحقیق............................................................................................................................... 1
1-2دور نمای پایاننامه......................................................................................................................... 3 فصل دوم (مقدمهای بر مکانیک کوانتومی و مفاهیم اساسی آن) ...................... 4 2-1مکانیک کوانتومی.......................................................................................................................... 4
2-2مفاهیم اساسی در مکانیک کوانتومی............................................................................................... 6 2-2-1فضای برداری......................................................................................................................... 6
2-2-2ضرب داخلی و اندازه.............................................................................................................. 7
2-2-3پایه.......................................................................................................................................... 7
2-2-4عملگر خطی............................................................................................................................ 8
2-2-5ویژه بردار و ویژه عملگر.......................................................................................................... 8
2-2-6عملگر هرمیتی......................................................................................................................... 9 2-3پیکرنویسی دیراک.......................................................................................................................... 9
2-4اصول موضوعه مکانیک کوانتومی و اصل برهمنهش..................................................................... 11
2-5ضرب تانسوری فضاهای برداری.................................................................................................... 13
2-6ماتریس چگالی............................................................................................................................. 14
2-7ماتریس پاؤلی............................................................................................................................... 15
2-8بیت کلاسیکی و کوانتومی............................................................................................................ 17
فصل سوم (ناهمدوسی کوانتومی، درهمتنیدگی کوانتومی و معیار
اندازهگیری آن)......................................................................................... 19
3-1 ناهمدوسی کوانتومی..................................................................................................................... 19
3-2درهمتنیدگی سامانههای کوانتومی................................................................................................... 19
3-3معیارهای اندازهگیری درهمتنیدگی................................................................................................. 21
3-3-1تلاقی..................................................................................................................................... 21
3-3-2 درهمتنیدگی برای سه کیوبیتیها............................................................................................ 22
3-3-3 کران پایین تلاقی برای سامانههای کوانتومی چند قسمتی......................................................... 23
فصل چهارم (بررسی دینامیک ناهمدوسی کوانتومی تک کیوبیتی در محیطهای مارکوفی وغیرمارکوفی)...................................................... 27
4-1معرفی مدل................................................................................................................................ 27
4-2بررسی تحولات برای حالات اولیه و بدست آوردن رابطهای برای محیط غیرمارکوفی.................. 30
4-3بررسی حالت مخلوط و بدست آوردن رابطهای برای محیط غیرمارکوفی...................................... 33
4-4 عامل خلوص و ناهمدوسی......................................................................................................... 35
4-5 نتایج عددی............................................................................................................................... 36
4-5-1 تأثیر ثابت جفتشدگی ضعیف......................................................................................... 36
4-5-2 تأثیر ثابت جفتشدگی قوی............................................................................................. 38
4-5-3 تأثیر بسامد قطع................................................................................................................. 39
فصل پنجم (بررسی دینامیک درهمتنیدگی دو کیوبیتی در محیط مارکوفی و غیرمارکوفی)........................................................................ 41
5-1مقدمه............................................................................................................................................ 41
5-2معرفی مدل.................................................................................................................................... 42
5-3سازوکار حفظ درهمتنیدگی........................................................................................................... 45
5-4نتایج عددی.................................................................................................................................... 48
5-4-1حالت ابراهمیک..................................................................................................................... 48
5-4-2حالت لورنتز........................................................................................................................... 50
فصل ششم (بررسی دینامیک درهمتنیدگی سه کیوبیتی در محیط مارکوفی و غیرمارکوفی)........................................................................ 52
6-1معرفی مدل.................................................................................................................................... 52
6-2سازوکار حفظ درهمتنیدگی.......................................................................................................... 60
6-3نتایج عددی................................................................................................................................... 61
فصل هفتم (نتیجهگیری)................................................................. 64
پیوست 1 .................................................................................... 66
منابع .............................................................................................68
لیست شکلها
شکل 2.1نمایش یک کیوبیت به وسیلهی الکترون دو ترازه در اتم.................................................18
شکل1.4نمایش تقریب مارکوفی برای ثابت جفتشدگی ضعیف در تک کیوبیت.....................37
شکل 2.4نمایش تقریب غیرمارکوفی برای ثابت جفتشدگی ضعیف در تک کیوبیت..............37
شکل 4.3نمایش تقریب مارکوفی و غیرمارکوفی برای ثابت جفتشدگی قوی در
تک کیوبیت..............................................................................................................................................38
شکل 4.4نمایش تقریب مارکوفی و غیرمارکوفی برای تأثیر بسامد قطع در
تک کیوبیت..............................................................................................................................................39
شکل 1.5نمایش زیر سامانههای A و B برای دو اتم دو ترازه جفتشده به همراه یک
منبع خلاء...................................................................................................................................................42
شکل 2.5نمایش حالت کراندار برای سامانهی دو کیوبیتی در حالت ابر اهمیک..........................48
شکل 3.5 نمایش تقریب مارکوفی و غیرمارکوفی برای سامانهی دو کیوبیتی در حالت
ابر اهمیک.................................................................................................................................................48
شکل 4.5نمایش واپاشی برای سامانهی دو کیوبیتی در ثابت جفتشدگی قوی در حالت
ابر اهمیک.................................................................................................................................................49
شکل5.5نمایش تلاقی برای حالتهای مختلف درهمتنیدگی سامانهی دو کیوبیتی در حالت
ابر اهمیک.................................................................................................................................................49
شکل 5.6نمایش حالت کراندار وتلاقی برای سامانهی دو کیوبیتی در حالت لورنتز با شاخص پهنای طیف................................................................................................................................................50
شکل 5.7نمایش حالت کراندار و تلاقی برای سامانهی دو کیوبیتی در حالت لورنتز با شاخص
ثابت اتصال................................................................................................................................................51
شکل 1.6نمایش حالت کراندار برای سامانهی سه کیوبیتی در حالت ابر اهمیک..........................61
شکل2.6نمایش تقریب مارکوفی برای سامانهی سه کیوبیتی در حالت ابر اهمیک.......................61
شکل3.6نمایش تقریب غیرمارکوفی برای سامانهی سه کیوبیتی در حالت ابر اهمیک.................62
شکل4.6نمایش حالت کراندار برای سامانهی سه کیوبیتی در حالت لورنتز...................................62
شکل 6.5نمایش تلاقی برای سامانهی سه کیوبیتی در حالت لورنتز با شاخص پهنای طیف.........63
چکیده
در این پایاننامه، ابتدا هامیلتونی را برای سامانهی کوانتومی_محیط و برهمکنش بین آنها مشخص کرده و سپس تحول سامانهی کوانتومی و اثر حافظه بر این تحول را مورد بررسی قرار میدهیم. در این راستا ناهمدوسی ایجاد شده در اثر برهمکنش سامانهی تک کیوبیتی با محیط را مطالعه میکنیم. سپس با بدست آوردن معادلهی مادر، ناهمدوسی ایجاد شده را محاسبه کرده و آن را تحت تقریبهای مارکوفی و غیرمارکوفی بررسی میکنیم. همچنین روشی برای حفظ همدوسی و جلوگیری از ناهمدوسی ایجاد شده در سامانهی تک کیوبیتی ارائه میدهیم.
در ادامه تحول سامانهی دو کیوبیتی و درهمتنیدگی ایجاد شده را بررسی میکنیم و حضور اختلالات ناشی از محیط در سامانهی دو کیوبیتی را مورد مطالعه قرار میدهیم. در صورت وجود درهمتنیدگی، تلاش برای حفظدرهمتنیدگی ایجاد شده و جلوگیری از مرگ ناگهانی آن را بررسی میکنیم. در صورت مرگ ناگهانیدرهمتنیدگی، امکان احیایدوبارهی آن و همچنین امکان حفظ درهمتنیدگی را تحت تقریب غیرمارکوفی مورد سنجش قرار میدهیم.
در قسمت آخر نیز تحول سامانهی سه کیوبیتی را با اختلالات ناشی از محیط اطراف بررسی کرده و کران پایین درهمتنیدگی بینکیوبیتها را بدست میآوریم. سپس با محاسبهی کران پایین درهمتنیدگی، برای حفظ درهمتنیدگی و جلوگیری از مرگ ناگهانی آن، راه حلی ارائه میدهیم. در پایان نتایج بدست آمده از هر سه حالت کیوبیت را با شاخصهای مختلف مقایسه میکنیم.
واژههایکلیدی: ناهمدوسی، درهمتنیدگی، مرگ ناگهانی درهمتنیدگی، تلاقی، تقریب مارکوفی و تقریب غیرمارکوفی
فصل اول
مقدمه
1-1 پیشینهی تحقیق
یکی از موضوعات مهم در مکانیک کوانتومی، درهمتنیدگی یا همان آمیختگی حالتهای کوانتومی میباشد که یکی از مباحث مهم نظریهی اطلاعات کوانتومی به شمار میرود. از کاربردهای پدیدهی درهمتنیدگی میتوان به محاسبه کوانتومی ]3-1[، رمزنگاری کوانتومی ]5,4[ و انتقال کوانتومی ]7,6[ اشاره کرد.
امروزه شناخت ساختار و خواص سامانههای درهمتنیدهی کوانتومی توجه بسیاری از محققان را به خود جلب کرده است. به دلیل نوظهور بودن پدیدهی درهمتنیدگی کوانتومی، موضوعات فراوانی پیرامون این پدیده وجود دارند که از مهمترین آنها میتوان به دو موضوع زیر اشاره کرد،
1- تشخیص اینکه سامانههای مورد مطالعه، درهمتنیده میباشند یا خیر،
2- پیدا کردن بهترین معیار برای یافتن مقدار دقیق درهمتنیدگی سامانههای کوانتومی.
برای تعیین مقدار درهمتنیدگی سامانههای کوانتومی، معیارهای مختلفی ارائه شدهاند که از مهمترین این معیارها میتوان به تلاقی] 11-8[، نیمهتلاقی ]12[، منفیگرایی ]15-13[، آنتروپی وان نیومن ]8[، آنتروپی نسبی و ... اشاره کرد. ما در این پایاننامه فقط از معیار تلاقی برای تعیین مقدار درهمتنیدگی استفاده خواهیم کرد.
در مجموع، بررسی دو موضوع فوق فقط در مورد حالتهای محدود صورت گرفته است و تاکنون روش فراگیر و در عین حال ساده برای تعیین درهمتنیده بودن هر سامانهی کوانتومی و همچنین معیاری که مقدار دقیق درهمتنیدگی کوانتومی را نشان دهد یافت نشده است. به عنوان مثال، برای یک سامانهی دو قسمتی که شامل حالتهای خالص میباشد، اکثر معیارهای درهمتنیدگی نتیجه قابل قبولی را از خود نشان میدهند، در صورتیکه برای حالتهای مخلوط، تشخیص درهمتنیدگی و همچنین تعیین مقدار درهمتنیدگی کار بسیار پیچیده و مشکلی است. درهمتنیدگی حالتهای مخلوط از طریق درهمتنیدگی حالتهای خالص مشخص میشود]15[. مشکل اصلی محاسبه درهمتنیدگی حالتهای مخلوط یافتن کمترین مقدار درهمتنیدگی حالتهای خالص میباشد و تعیین مقدار درهمتنیدگی تاکنون فقط روی سامانههای محدودی مطالعه شده است.
رابطهای که توسط ویلیام ووترز و اسکات هیل برای تعیین مقدار درهمتنیدگی سامانههای دو کیوبیتی ارائه شده است، از روابط بسیار مهم در زمینهی درهمتنیدگی سامانههای کوانتومی به شمار میآید]16[.
مسئله مهم دیگر، حفظ درهمتنیدگی ایجاد شده در زیر سامانههای کوانتومی یک سامانه است. هنگامیکه سامانههای کوانتومی با محیط اطراف خود برهمکنش میکنند، محیط اختلالاتی روی سامانهی کوانتومی ایجاد کرده و موجب از بین رفتن درهمتنیدگی بوجود آمده میشود که به آن مرگ ناگهانی درهمتنیدگیمیگویند. همچنین باید روشی برای حفظ درهمتنیدگی ایجاد شده مطرح کرد و تلاش برای جلوگیری از مرگ ناگهانی درهمتنیدگی و امکان احیای دوبارهی آن نیز مورد بررسی قرار گیرد. این مطلب را تحت عنوان تقریب غیرمارکوفی، برای حفظ درهمتنیدگی مطالعه خواهیم کرد.
1-2 دورنمای پایاننامه
در فصل دوم این پایاننامه به مفاهیم اساسی مکانیک کوانتومی اشاره خواهیم کرد و در فصل سوم، به بررسی ناهمدوسی کوانتومی، درهمتنیدگی کوانتومی و معیار اندازهگیری آنها خواهیم پرداخت. ابتدا خواص حالتهای دو کیوبیتی و سه کیوبیتی را مطالعه خواهیم کرد و سپس درهمتنیدگی سامانههای خالص و مخلوط را توضیح خواهیم داد و معیار اندازهگیری درهمتنیدگی برای سامانههای دو کیوبیتی و سه کیوبیتی را معرفی خواهیم نمود.
در فصل چهارم برهمکنش سامانهی تک کیوبیتی و محیط را مورد بررسی قرار داده و ناهمدوسی ایجاد شده تحت اختلالات محیط با سامانهی کوانتومی را مطالعه میکنیم. برای جلوگیری از ناهمدوسی و حفظ همدوسی سامانهی کوانتومی، آن را تحت تقریبهای مارکوفی و غیرمارکوفی بررسی میکنیم.
در فصل پنجم برهمکنش سامانهی دو کیوبیتی را با محیط در نظر گرفته و این بار نیز، درهمتنیدگی ایجاد شده بین آنها را مورد بررسی قرار خواهیم داد. این برهمکنش موجب از بین رفتن درهمتنیدگی و مرگ ناگهانی آن میشود. همچنین روشی برای جلوگیری از مرگ ناگهانی و احیای دوبارهی درهمتنیدگی معرفی خواهیم کرد.
در فصل ششم نیز سامانهی سه کیوبیتی را تحت اثرات محیط در نظر میگیریم و درهمتنیدگی ایجاد شده بین این سامانهها را محاسبه میکنیم. در معرض محیط قرار گرفتن سامانهی کوانتومی موجب از بین رفتن درهمتنیدگی میشود و مشابه آنچه در فصل پنجم آمده است این بار نیز راه حلی برای جلوگیری مرگ ناگهانی درهمتنیدگی در نظر میگیریم.
در مقولهی حفظ همدوسی یا درهمتنیدگی باید از تقریبهایی استفاده کنیم. تقریبهایی که در این پایاننامه مورد استفاده قرار میگیرند، تقریبهای مارکوفی و غیرمارکوفی هستند. این تقریبها را برای جلوگیری از ناهمدوسی و مرگ ناگهانی درهمتنیدگی بکار میبریم و نتایج بدست آمده از این تقریبها را با توجه به شرایط مختلف مقایسه میکنیم و تقریب مناسب را تحت شرایط و حالتهای مختلف انتخاب مینماییم.
فصل دوم
مقدمهای بر مکانیک کوانتومی و مفاهیم اساسی آن
این فصل مروری مختصر بر تاریخچهی مکانیک کوانتومی است که زمینه را برای معرفی نظریهی اطلاعات کوانتومی و درهمتنیدگی کوانتومی مهیا میکند. در ادامه به بیان فضایبرداری، عملگرها، پیکرنویسی دیراک، اصل برهمنهی، بیت کلاسیکی و کوانتومی، ماتریس چگالی و ... میپردازیم.
2-1 مکانیک کوانتومی
هدف اصلی علم فیزیک توصیف تمام پدیدههای طبیعی قابل مشاهده (پدیدههای بزرگ مقیاس) برای بشر است. تا قبل از قرن بیستم، با دستهبندی پدیدههای قابل مشاهده تا آن روز، فرض بر این بود که طبیعت فقط از ذرات مادی تشکیل شده است. بنابراین، فیزیک کلاسیک دو نوع فرمولبندی برای توصیف این پدیدههای طبیعی در اختیار داشت. اولی مکانیک بود که دربارهی پیشبینی دینامیک اجسام بحث میکند؛ دومی نظریهی الکترومغناطیس بود که دربارهی امواج تابشی بکار برده میشود.
این دو رده از پدیدهها هر چند مجزا فرض میشدند اما بوسیلهی معادلهی نیروی لورنتس،
(2.1) F=e E+v B ،
به یکدیگر مربوط میشوند. در رابطهی (2.1)،F نیروی وارد بر ذرهای است که با بار الکتریکی e در میدانهای B و E با سرعتv حرکت میکند]17[.
در اوایل سال1900، علم فیزیک دستخوش دگرگونی عظیمی شد. توصیف کافی و حتی تقریبی تعداد روزافزونی از این پدیدهها و مشاهدات بوسیلهی قوانین فیزیکی که تا آن زمان فرمولبندی شده بودند با شکست مواجه شد. اولین کاستی و ضعف فیزیک کلاسیک، در توصیف پدیدههایی شامل ذرات کوچک نظیر الکترونها، اتمها و برهمکنش آنها با میدان الکترومغناطیسی مشاهده شد]17[.
در ابتدا این نقصها در فیزیک بوسیلهی فرضیات و اصول موضوعهی ویژهی مربوط به آنها توجیه میشد. اما با افزایش تعداد آنها روشن شد که فیزیک سامانههای کوچک نیازمند فرمولبندی کامل میباشد. به عبارت دیگر باید مدلی کوچک مقیاس ارائه میشد که میتوانست تا حد امکان اثرهای بزرگ مقیاس که فیزیک کلاسیک را با چالش مواجه کرده بودند، برطرف کند. نتیجهی تلاشها در این راستا منجر به ارائهی نظریهای به نام مکانیک کوانتومی گردید. برخی از این پدیدهها که در آن زمان فیزیک کلاسیک از توصیف آنها ناتوان بود و منجر به کشف مکانیک کوانتومی گردید عبارتاند از،
1- تابش جسم سیاه،
2- پراکندگی کامپتون،
3- اثر فوتوالکتریک.
ماکس پلانک با عنوان کردن اصل موضوعهی خود در سال 1900 مبنی بر اینکه تبادل انرژی بین اتمها و تابش به صورت مقادیر گسستهای از انرژی است، توانست بسیاری از این پدیدهها را با موفقیت توصیف کند]17[. پلانک نشان داد که به ازای یک بسامد معین ν، کوچکترین مقدار انرژی که میتواند مبادله شود برابر است با،
،E=h ν
که در آن h ثابت پلانک با مقداری معادل با،
(ژول – ثانیه) h=6/62377×10-34 joule-sec
میباشد. این واقعیت باعث گردید که بسیاری از پدیدههای موجود در طبیعت که از دیدگاه فیزیک کلاسیک قابل توصیف نبودند، به وسیلهی نظریهی کوانتومی توجیه شوند]17[.
2-2 مفاهیم اساسی در مکانیک کوانتومی
در این بخش به معرفی برخی از مهمترین مفاهیم موجود در مکانیک کوانتومی میپردازیم که در فصلهای بعدی با آنها سروکار خواهیم داشت.
2-2-1 فضای برداری
مجموعهی V را یک فضای برداری روی میدان F میگویند هرگاه دو عمل جمع و ضرب با خاصیتهای زیر در آن قابل تعریف باشند،
+ : ∀ x , y , z ∈ V; x+y ∈Vx+y=y+xx+y+z=x+(y+z)∃∘ ∈V : ∘+x=x .∃-x ∈V : -x+x= ∘
× : ∀ a , b ∈ F ;ax+y=ax+ay(a+b)x=ax+bxabx=abx=abx.∃ 1 ∈F : 1x=x
بسته به اینکه F میدان اعداد حقیقی R یا میدان اعداد مختلط C باشد فضای برداری V را فضای برداری حقیقی یا مختلط مینامند. به عنوان مثالRn یا مجموعهی nتاییهای مرتب حقیقی و همچنینCn یا مجموعهیn تاییهای مرتب مختلط تشکیل یک فضای برداری میدهند]18[.
2-2-2 ضرب داخلی و اندازه
در فضای برداریV عمل دوتایی V×V→C : , را یک ضرب داخلی مینامیم هرگاه در شرایط زیر صدق کند،
x,y+az = x,y+ax, zx,y= y,x*x,x ≥ ∘ .x,x= ∘ ⇒ x=∘
فضای برداری که به یک ضرب داخلی مجهز شده باشد فضای برداری ضرب داخلی نامیده میشود. در هر فضای برداری ضرب داخلی، اندازهی یک بردار را به صورت،
، x=x,xتعریف میکنند]18[.
2-2-3 پایه
کمترین تعداد بردارهای راست هنجار مستقل خطی که میتوانند فضای برداریV را پوشش دهند، بردارهای پایهی فضا نامیده میشوند V≔ei , i=1,…,N. شرط راست هنجاری به معنی آن است که ei ,ej =δi,j، که δi,j دلتای کرونیکر است. هر بردار x متعلق به فضایV را میتوان بر حسب بردارهای پایه فضا به صورت زیر بسط داد،
.x= i=1Nxiei
که در آن eiها به عنوان مثال بردارهای پایه راست هنجار در فضاهای برداریRn و Cn به شکل زیر هستند،
.e1=1∘⋮∘ e2=∘1⋮∘ … en=∘∘⋮12-2-4 عملگر خطی
یک فضای برداری که دارای خاصیت کاملبودن، خطی و تجزیهپذیر است و ضرب داخلی در آن نسبت به عملهای جمع و ضرب بسته میباشد را فضای هیلبرت مینامند. برای توصیف سامانههای کوانتومی از فضای برداری هیلبرت استفاده میشود. حالت هر سامانهی کوانتومی را با یک بردار در فضای مذکور مشخص میکنند.
در فضای برداری V نگاشت T :V →V را یک عملگر خطی میگویند هرگاه دارای خاصیت زیر باشد،
. Tx+ay= Tx+aTy ∀ a∈F , x,y ∈V
یک عملگر خطی تنها با اثرش روی بردارهای پایه مشخص میشود،
.Tei= j=1NTjiejماتریسT با درایههای Tji را ماتریس مربوط به تبدیل خطیT در پایهی ei مینامند و هرگاه پایه بهنجار باشد، میتوان نوشت]18[،
.ej ,Tei = Tji 2-2-5 ویژه بردار و ویژه مقدار عملگر
برای هر عملگری مانند T :V →V ویژه بردار عبارت است از یافتن بردارهای غیر صفری که تحت اثر این عملگر به مضربی از خود تبدیل شوند،
، Tx= λxبردار x غیر صفر خواهد بود هرگاه ماتریس T-λI وارونپذیر نباشد، برای این منظور لازم است که،
.detT-λI=∘
این معادله یک معادلهی درجهی N است که در حوزهی اعداد مختلط حتماً N جواب دارد که آنها را با λi , i=1,…,N نشان میدهیم. همهی ویژه مقادیر یک عملگر الزاماً از هم متفاوت نیستند، به این مسئله تبهگنی گفته میشود. هرگاه یک ویژه مقدار مانندλi ،gi بار تکرار شود گوییم درجهی تبهگنی آنgi است. بردار مربوط بهλi را که در معادلهیTxi =λi xi صدق میکند ویژه بردار مربوط به آن ویژه مقدار میگویند]18[.
2-2-6 عملگرهای هرمیتی
در یک فضای برداری، اگر عملگرA†، الحاقی A باشد، آنگاه درصورتی عملگرA هرمیتی نامیده میشود،
که،
.A†=Aیک عملگر هرمیتی دارای خواص زیر است،
1) ویژه مقادیر یک عملگر هرمیتی حقیقیاند،
2) ویژه بردارهای یک عملگر هرمیتی متناظر با ویژه مقادیر متفاوت، متعامدند]18[.
2-3 پیکرنویسی دیراک
فضای برداریV را که دارای بعد N است و با پایه بهنجار e1 , e2 , …,eN توصیف میشود در نظر میگیریم. هر بردارv∈V بسطی از بردارهای پایه به شکل زیر است،
.v= i=1Nviei
ضرب داخلی این بردار در خودش به صورت زیر نوشته میشود،
.v,v= i=1Nvi*vi
طبق پیکرنویسی دیراک میتوان به ازای هر چنین برداری یک بردار ستونی با نماد v و یک بردار سطری با نماد v به شکل زیر تعریف کرد،
.v=v1v2⋮vN ، v=v1*v2*…vN* در این پیکرنویسی بردار v را کت و بردار v را برا مینامند. ضرب این دو بردار درهم به صورت زیر خواهد بود،
.vv= i=1Nvi*vi=v,vدر رابطهی بالا عبارت سمت راست یک ضرب داخلی است اما عبارت سمت چپ ضرب دو ماتریس است. مزیت پیکرنویسی دیراک این است که با استفاده از این پیکرنویسی انواع عملیاتی که روی بردارها انجام میدهیم به انجام عملیات روی ماتریسها تقلیل مییابند. بردارهای پایه e1 , e2 , …,eN نیز در پیکرنویسی دیراک دارای نمایش کت و برا به صورت زیر خواهند بود،
e1 =1∘⋮∘ ، e2 =∘1⋮∘ ، eN =∘∘⋮1
.e1 =1∘…∘ ، e2 =∘1…∘ ، eN =∘∘…1 بنابراین از این پس با استفاده از این پیکرنویسی هر بردار را به شکل زیر خواهیم نوشت،
.v≔ i=1Nvii ، v≔ i=1Nvi* iدر این پیکرنویسی ضرب داخلی یک بردار کت مانند v در یک بردار برا مانند w به صورت زیر خواهد بود،
،wv= i=1Nwi*vi
که در واقع همان ضرب داخلی دو بردار w و v است. میتوان یک بردار کت مانند v را در یک بردار برا مانند w به صورت زیر در هم ضرب کرد و یک ماتریس بدست آورد،
.vw= v1w1*v1w2*v2w1*v2w2*…v1wN*…v2wN*⋮⋮vNw1*vNw2*⋮⋮…vNwN*دو خاصیت مهم در رابطه با کتها و براها که به ترتیب خاصیتهای راست هنجاری و کامل بودن نامیده میشوند، عبارتند از،
،ij= δij
.ii i=Iنمایش یک عملگر مانند T در این پیکرنویسی به صورت زیر است،
،T=(jj j)Tii i)=i,jTjij iکه بسط عملگرT بر حسب عملگرهای پایه j i است.
2-4 اصول موضوعه مکانیک کوانتومی و اصل برهم نهش
فرمولبندی مکانیک کوانتومی مبتنی بر تعدادی اصول موضوعه است که بخش اعظمی از مفاهیم پایهای کوانتومی را شامل میشود. در این بخش به صورت اجمالی به این اصول اشاره میکنیم،
اصل موضوعه اول (توصیف حالت یک دستگاه): در یک زمان مشخص t∘، حالت یک دستگاه فیزیکی با مشخص کردن یک کت ψ(t∘) متعلق به فضای حالت H تعیین میشود.
اصل موضوعه دوم (توصیف کمیتهای فیزیکی): هرکمیت فیزیکی قابل اندازهگیری ???? توسط یک عملگر هرمیتی که درH عمل میکند، توصیف میشود.
اصل موضوعه سوم (اندازهگیری کمیتهای فیزیکی): تنها نتیجهی ممکن اندازهگیری یک کمیت فیزیکی ???? یکی از ویژه مقادیر عملگر متناظر با آن، A است.
اصل موضوعه چهارم (یک طیف گسسته ناتبهگن): وقتی کمیت فیزیکی ????ی دستگاهی که در حالت بهنجار شده ψ قرار دارد اندازهگیری میشود، احتمال p(an) برای بدست آوردن ویژه مقدار ناتبهگن an مشاهدهپذیر Aی متناظر برابر است با،
، p(an)=unψ2که در آن un عبارت است از ویژه بردار بهنجار شده A متناظر با ویژه مقدار an.
اصل موضوعه چهارم (یک طیف گسسته تبهگن): وقتی کمیت فیزیکی ????ی دستگاهی که در حالت بهنجار شده ψ قرار دارد اندازهگیری میشود، احتمال p(an) برای بدست آوردن ویژه مقدار an مشاهدهپذیر Aی متناظر برابر است با،
، pan= i=1gn|<uniψ|2که در آن gn درجهی تبهگنی an و {uni} (i=1,2,…,gn) مجموعه بردارهای راست هنجاری هستند که در ویژه فضای Hn متناظر با ویژه مقدار an عملگر A، تشکیل یک پایه میدهند.
اصل موضوعه چهارم (یک طیف پیوسته ناتبهگن): وقتی کمیت فیزیکی ????ی دستگاهی که در حالت بهنجار شده ψ قرار دارد اندازهگیری میشود، احتمال dp(α) برای یافتن نتیجهای بین α+dα و α برابر است با،
، dpα=ναψ2dαکه در آن να عبارت است از ویژه بردار متناظر با ویژه مقدار αی متعلق به مشاهده پذیر Aی وابسته به ????.
اصل موضوعه پنجم: اگر اندازهگیری کمیت فیزیکی ???? روی دستگاهی که در حالت ψ است نتیجه an را بدهد، حالت دستگاه بلافاصله بعد از اندازهگیری عبارت است از،
، PnψψPnψ
یعنی تصویر بهنجار شده ψ روی ویژه فضای متناظر با an. تصویرگر Pn به صورت زیر تعریف میشود،
.Pn=i=1gnuni uniاصل موضوعه ششم (تحول زمانی دستگاهها): تحول زمانی بردار حالت ψ(t) از معادله شرودینگر،
(2.2) iħddtψ(t) =H(t)ψ(t)،
بدست میآید، که خطی و همگن است و H(t) مشاهدهپذیر وابسته به انرژی کل دستگاه است. از خواص عمومی معادله شرودینگر اصل برهم نهش است.
معنای فیزیکی اصل موضوعه اول باید مورد رسیدگی قرار گیرد. برطبق این اصل موضوعه، حالتهای یک دستگاه فیزیکی به یک فضای برداری تعلق دارند که بطور خطی قابل برهم نهش هستند. فرض کنید ψ1 و ψ2 دو حالت بهنجار شده متعامد باشند، داریم،
، ψ1ψ1=ψ2ψ2=1 .ψ1ψ2 =∘ψ1 و ψ2 میتوانند به عنوان مثال دو ویژه حالت یک مشاهدهپذیر B، متناظر با دو ویژه مقدار متفاوت b2 و b1 باشند.
اگر دستگاه در حالت ψ1 باشد، میتوانیم تمام احتمالهای مربوط به نتایج اندازهگیری یک مشاهدهپذیر معین A را محاسبه کنیم. به عنوان مثال، اگر un یک ویژه بردار (بهنجار شده) A متناظر با ویژه مقدار گسسته an (که فرض میشود ناتبهگن است) باشد، احتمال p1(an) برای یافتن an، در اندازهگیری A، وقتیکه دستگاه در حالت ψ1 است عبارت است از،
.p1an=|unψ1|2یک کمیت مشابه، p2an، برای حالت ψ2 میتواند تعریف شود،
.p2an=|unψ2|2اکنون یک حالت بهنجار شدهی ψ را که برهم نهش خطی از ψ1 و ψ2 است درنظر بگیرید،
،ψ=λ1ψ1+λ2ψ2 .λ12+λ22=1غالباً گفته میشود وقتی سامانه درحالت ψ است، احتمال یافتن آن در حالت ψ1 برابر با λ12 و احتمال یافتن آن در حالت ψ2 برابر با λ22 است]19[.
2-5 ضرب تانسوری فضاهای برداری
ضرب تانسوری روشی برای ساخت فضاهای برداری با ابعاد بزرگتر است. این گونه فضاها در توصیف مکانیک کوانتومی سامانههای بس ذرهای اهمیت بسیار دارند. فرض کنید که V فضای برداری با ابعاد n و پایه راست هنجاری به صورتii=1n باشد و W نیز یک فضای برداری با ابعاد m و پایه راست هنجار jj=1m باشد. در این صورت فضای تانسوریV⊗W یک فضای mn بعدی است که پایه راست هنجار آن به صورتi⊗j=i,ji=1,j=1n,m تعریف میشود. اگر A و B عملگرهای خطی باشند که به ترتیب در فضاهایV وW عمل میکنند. v و w به ترتیب بردارهایی در این دو فضا باشند، عملگر خطی A⊗B را به صورت زیر تعریف میکنیم،
.A⊗B(v⊗w)=Av⊗Bwاز خطی بودن A⊗B میتوان نتیجه گرفت که،
.A⊗Biaivi⊗wi= iaiAvi⊗Bwi2-6 ماتریس چگالی
در تمامی مواردی که سامانهی کوانتومی جزئی از یک سامانهی بزرگتر است، حالت سامانه به وسیلهی یک ماتریس چگالی توصیف میشود. فرض کنید که یک سامانه از دو زیر سامانهی A و B تشکیل شده باشد. بنابر اصول موضوعهی مکانیک کوانتومی فضای هیلبرت این سامانهی دو جزئی، HAB= HA⊗HB است. چنانچهii=1M پایه زیر فضای HA و μμ=1N پایه زیر فضای HB باشند آنگاه یک حالت کلی از سامانه ABتوسط بردار حالت زیر توصیف خواهد شد،
.ψAB= i,μψiμi,μماتریس چگالی توصیف کنندهی سامانهی ABعبارت است از،
(2.3) ،ρABt=ψAB ABψ= i,j,μ,vψiμψj,v*i,μj,vو اثر هر عملگری مانند MA روی زیر سامانهی A معادل است با اثر عملگر MA⊗I روی سامانهی AB.
در نتیجه خواهیم داشت،
MA=ψMAψ =TrAB(MA⊗Iψ⟨ψ) =TrAtrBMA⊗Iψ⟨ψ= TrA(MA ρA) که در آن ρA=TrB(ψ⟨ψ) ماتریس چگالی زیر سامانهی A نامیده میشود. به طریق مشابه ماتریس چگالی زیر سامانهی B نیز با رابطهی ρB=TrA(ψ⟨ψ) مشخص میشود. با توجه به رابطهی (2.3) داریم که ماتریس چگالی به صورت زیر است،
.ρA=i,jρijij ، ρB=μ,vρμvμvبنابراین میتوان ویژه مقادیر و ویژه بردارهای آن را محاسبه کرد و این عملگر را بر حسب آنها به صورت زیر بسط داد،
، ρ=i=1Nλiiiدر این رابطه λi ویژه مقدار iام و i ویژه بردار متناظر و N بعد فضای هیلبرت یا بعد ماتریس چگالی است. رابطهی بالا را میتوانیم چنین تفسیر کنیم که حالت ρ مخلوطی از حالتهای i که هر کدام با ضریبی از λi است.
در این پایاننامه سامانهی مورد کاربرد ما به صورت اتمهای دو ترازه میباشد، برای بدست آوردن آن از ماتریسهای پاؤلی استفاده میکنیم که به صورت مختصر در ذیل آنها را معرفی میکنیم.
2-7 ماتریسهای پاؤلی
ابتدا مشاهدهپذیر Sz و فضای حالتهای اسپین را معرفی میکنیم. ماتریس Szدارای دو ویژه مقدار +ћ2 و -ћ2 است، که این دو ویژه مقدار تبهگن نیستند. ما ویژه بردارهای راست هنجار متناظر آنها را با + و - نشان میدهیم،

متن کامل در سایت امید فایل 

،Sz+=+ћ2+ ،Sz-=-ћ2-
با
،++ = -- =1 .+- = ∘
پس Sz به تنهایی یک مجموعهی کامل مشاهدهپذیر جابهجاییپذیر تشکیل میدهد و فضای حالتهای اسپین، فضای دو بعدی HS است که توسط ویژه بردارهای + و - بیان میشود. این واقعیت که این دو بردار در HS تشکیل یک پایه میدهند، با رابطهی بستاری زیر بیان میشود،
.+⟨++-⟨-=Iکلیترین بردار (بهنجار شده)HS یک برهم نهش خطی از + و - است،
. ψ=α++β- .α2+β2=1
روشن است که ماتریس نمایندهی Sz در پایهی + و - قطری است و چنین نوشته میشود،
(2.4) .Sz=ћ21∘∘-1مشاهدهپذیرهای Sxو Sy در پایهی + و - با ماتریسهای هرمیتی 2⨉2 نشان داده میشوند،
(2.5) Sx=ћ2∘11∘،
(2.6) .Sy=ћ2∘-ii∘ویژه بردارهای عملگرهای S xوSy، را به ترتیب با ±y و ±x نشان میدهیم (علامت داخل کت همان علامت ویژه مقدار متناظر است). بسط آنها بر حسب پایهی متشکل از ویژه بردارهای عملگر Sz چنین است،
، ±x=12 +± - .±y=12 +±i -حال به بررسی ماتریسهای پاؤلی میپردازیم. ماتریسهای نمایش سه مولفهی Sx، Syو Sz با اسپین Sدر پایهی + و - (ویژه بردارهای Sz) نشان داده شده است. اغلب مناسب است که در مکانیک کوانتومی، عملگر بدون بعد σ را که با S متناسب است و با رابطهی،
(2.7) S=ћ2 σ ،
تعریف میشود وارد کنیم. ماتریسهای نمایش مولفههای σ در پایهی + و - ماتریسهای پاؤلی نامیده میشوند.
به معادلههای (2.4)، (2.5)، (2.6) باز میگردیم. با بکار بردن رابطهی (2.7) دیده میشود که تعریف ماتریسهای پاؤلی چنین است،
(2.8) σx=∘11∘ σy=∘-ii∘ .σz=1∘∘-1این ماتریسها هرمیتی هستند که هر سه دارای یک معادلهی سرشت نمائی به صورت،
λ2-1=∘ ،
هستند. پس ویژه مقادیرσz و σ y ،σ x عبارتند از،
.λ=±1به سادگی از تعریف (2.8)، ویژه بردارهای σz و σ y ،σ x را بدست میآوریم،
، σx±x=±±x ، σy±y=±±y .σz±z=±±zبا،
، ±x=12+±- .±y=12+±i-خواص ساده ماتریسهای پاؤلی به صورت زیر هستند،
det σi=-1 ، i=xو y یا z ، Trσi=∘ (I ماتریس یکه 2⨉2 است)σx2=σy2=σz2=I ،
.σxσy=-σyσx=iσz2-8 بیت کلاسیک و کوانتومی
بیت مفهومی بنیادی در محاسبات و اطلاعات کلاسیک است. مفهوم متناظر در محاسبات و اطلاعات کوانتومی، بیت کوانتومی یا همان کیوبیت است.
ما قصد داریم کیوبیتها را به عنوان اشیاء ریاضی با برخی از خصوصیات خاص نشان دهیم. کیوبیتها در اصل، مانند بیتها، اشیائی فیزیکی هستند و به عنوان یک سامانهی فیزیکی واقعی شناخته میشوند. با این حال، برای اکثر موارد ما کیوبیتها را به عنوان موجودات انتزاعی ریاضی بحث میکنیم. زیبایی بحث کردن کیوبیتها به عنوان موجودی انتزاعی این است که به ما یک آزادی عمل برای ساختن یک نظریهی عمومی از محاسبات و اطلاعات کوانتومی میدهد. یک بیت کلاسیکی دارای یک حالت ∘ یا 1 است همچنین دو حالت ممکن برای کیوبیت حالتهای ∘ و 1 هستند، که متناظر با حالتهای ∘ و 1 برای یک بیت کلاسیکی است]1[.
تفاوت بین بیتها و کیوبیتها این است که کیوبیتها میتوانند در حالت دیگری غیر از ∘ یا 1 باشند، یعنی به شکل ترکیب خطی از این دو حالت باشند، که برهم نهی خطی نامیده میشود،
.ψ=α∘+β1مقادیرα و β در حالت کلی اعداد مختلط هستند، هر چند برای بسیاری از اهداف، آنها را به عنوان اعداد حقیقی در نظر میگیریم. به عبارت دیگر، یک کیوبیت یک بردار حالت در فضای برداری دو بعدی است. حالتهای ویژه ∘ و 1 به عنوان حالتهای پایهی محاسباتی شناخته میشوند که پایه راستهنجار برای این فضای برداری هستند. ما میتوانیم یک بیت، که در حالت ∘ یا 1 است را بررسی کنیم. به عنوان مثال: رایانهها این کار را در کل زمانیکه مطالب را از حافظهی خود بازیابی میکنند انجام میدهند.]1[.
کیوبیت درحالت برهم نهش، برای درک درستی از دنیای فیزیکی اطراف ما نشان داده میشود. تا زمانیکه کیوبیت اندازهگیری میشود، میتواند در یک زنجیره از حالتهای بین ∘ و 1 وجود داشته باشد. هنگامی که یک کیوبیت اندازهگیری میشود همیشه احتمال آن روی ∘ یا 1 است.
به عنوان مثال کیوبیت میتواند در حالت زیر باشد،
، 12 ∘+ 12 1زمانیکه اندازهگیری میشود، احتمال پنجاه درصد ∘ (122)، و احتمال پنجاه درصد 1 (122) را میدهد.
با وجود نبود شناخت کافی از کیوبیتها، آنها قطعاً واقعی هستند و وجود رفتار خود را بوسیلهی آزمایشات معتبر ساختهاند]20[. بطور مثال برای پی بردن به مفید بودن کیوبیت در درک سامانههای مختلف فیزیکی، دو قطبش مختلف از فوتون را بررسی میکنیم؛ که دو حالت از یک الکترون در مدار تک اتم که مانند شکل 2.1 نشان داده شده، وجود دارد. در مدل اتم، الکترون میتواند در هر دو حالت یعنی حالت پایه ∘ یا حالت برانگیخته 1 وجود داشته باشد.
با تابانیدن نور بر اتم، با انرژی مناسب و به فاصله زمانی مناسب ممکن است الکترون از حالت ∘ به حالت 1 و بر عکس حرکت کند. اما جالبتر از آن این است که بوسیلهی کاهش زمان تابانیدن نور بر اتم، الکترونی که در ابتدا در حالت ∘ بوده، در نیمه راه بین ∘ و 1 منتقل میشود.
319468513716010012823845182880002943225160020002889885113665002048510292100023031454000500
3386455120650023234651270000018180056985∘00∘
شکل 2.1 نمایش یک کیوبیت به وسیلهی الکترون دو ترازه در اتم
بطور طبیعی تفسیر این رخداد که ممکن است حالت برهم نهش باشد توجه زیادی را به خود جلب کرده است و بطور ذاتی یک احتمال طبیعی از مشاهدات بر روی سامانههای کوانتومی میباشد]1[.
فصل سوم
ناهمدوسی کوانتومی، درهمتنیدگی کوانتومی و معیار اندازهگیری آن
3-1 ناهمدوسی کوانتومی
اصل برهم نهش در حالت کوانتومی، یکی از اصول بنیادی در مکانیک کوانتومی به شمار میرود و به سامانهی کوانتومی امکان میدهد که به صورت خطی و همچنین به صورت یک برهم نهی همدوسی در حالتهای کوانتومی باشد]20[. همدوسی کوانتومی نه تنها در فهمیدن قوانین پایهای در مکانیک کوانتومی بلکه در دانش اطلاعات کوانتومی نیز اهمیت دارد]1[.
هر سامانهی کوانتومی به ناچار فعل و انفعالاتی با محیط اطراف خود دارد، که منجر به اتلاف همدوسی کوانتومی (ناهمدوسی) در سامانهی کوانتومی میشود. در شرایطی که سامانهی تک کیوبیتی به صورت اطلاعات یا انرژی باشد، ناهمدوسی به این معنی است که اطلاعات یا انرژی از سامانهی کوانتومی بطور تغییر ناپذیر به محیط جریان پیدا میکند]21[.
3-2 درهمتنیدگی سامانههای کوانتومی
نظریهی درهمتنیدگی کوانتومی یا همان آمیختگی سامانههای کوانتومی یکی از مباحث اساسی در نظریه اطلاعات کوانتومی به شمار میرود. پدیدهی درهمتنیدگی سامانههای کوانتومی که به عنوان یک پدیدهی غیرکلاسیکی شناخته میشود، برای اولین بار در سال 1935 توسط اینشتن، پودولسکیو روزن در مقالهای که بعدها به مقالهی EPR شهرت یافت، معرفی گردید]22[. بنیانگذاران این نظریه وجود چنین پدیدهای را دلیل بر نقص مکانیک کوانتومی دانستند و معتقد بودند که با استفاده از یک متغیر نهانی میتوان نظریهی کاملتری را بوجود آورد. اما در سال1964، بل با ارائهی یک نامساوی که به نامساوی بل شهرت یافت نشان داد مفروضاتی که در مقالهی EPR در نظر گرفته شدهاند با مبانی مکانیک کوانتومی همخوانی ندارند. بل نشان داد که وجود مدلی بر پایهی متغیر نهانی مستلزم برقراری یک نامساوی است، درحالیکه در مکانیک کوانتومی حالتهایی وجود دارند که به وضوح منجر به نقض این نامساوی میشوند. این پدیده توجه بسیاری را به خود جلب کرد، به طوریکه امروزه نقش بسیار مهمی را در شاخههای مختلف نظریهی اطلاعات کوانتومی از قبیل: رمزنگاری، ارتباط و محاسبات کوانتومی ایفا میکند.
در این بخش ابتدا به تعریف درهمتنیدگی میپردازیم و سپس معیارهای اندازهگیری آن از قبیل: تلاقی (دوکیوبیت) و کران پایین تلاقی (سه کیوبیت) را بررسی خواهیم کرد.
یکی از شرطهای مهم برای انتقال اطلاعات توسط سامانههای کوانتومی، در ارتباط بودن زیرسامانههایی است که در سامانه مورد نظر وجود دارند. به زبان بسیار ساده، در ارتباط بودن زیرسامانههای یک سامانه با یکدیگر را آمیختگی یا درهمتنیدگی کوانتومی مینامند.
درهمتنیدگی کوانتومی از همبستگی کوانتومی بین زیرسامانههای جدا از هم بوجود میآید. در واقع، حالتهای کوانتومی درهمتنیده به حالتهایی اطلاق میشوند که اجزاء تشکیل دهندهی آنها نتوانند مستقل از یکدیگر باشند و قرار گرفتن یکی از اجزاء در یک حالت خاص به جزء دیگر بستگی دارد. حال به بررسی درهمتنیدگی حالتهای خالص و مخلوط میپردازیم. بنا به تعریف، اگر نتوان حالت خالص یک سامانه را به صورت ضرب تانسوری حالت خالص هر یک از زیرسامانهها نوشت، حالت مفروض را درهمتنیده مینامند. برای مثال، حالت زیر درهمتنیده است،

پاسخ دهید

نشانی ایمیل شما منتشر نخواهد شد. بخش‌های موردنیاز علامت‌گذاری شده‌اند *