سهبعدی، خم، s، REF، گرادیان، دوبعدی

ی تعیین ضریب مناسب جدید به کار گرفته میشود.[4]
سایر روشهاروشهای مختلف دیگری نیز همچون روش موزیک[5]، رادار روزنه ترکیبی[6]، پرتونگاری تفرقی[7]، نیوتنکانتروویچ[8]، معکوس زمانی [9]و … وجود دارد که پارهای براساس بهینهسازی و دستهای در حوزه زمان و دستهای براساس یک الگوی تکراری مناسب به شناسایی جنس و موقعیت و شکل جسم میپردازند.

تئوری روش تنظیم سطح و پیاده سازی آن جهت شناسایی موقعیت و شکل اجسام فلزی دوبعدی برای مد انتشاری TMدر این فصل روش تنظیم سطح که مبنای ریاضی دارد و اولین بار توسط ستیان و اوشر[10] در سال 1988 معرفی گردید و مراحل مختلف آن توضیح داده میشود؛ سپس ارتباط آن با پراکندگی معکوس و روش پیادهسازی آن توضیح داده خواهد شد.
تئوریتابع علامت فاصلهدر حالت دو بعدی، تنظیم سطح اساساً یعنی تعیین خم مورد نظر از یک تابع سه بعدی که از تقاطع آن تابع با یکی از سطوح مختصات کارتزین (صفحه x یا y یا z) حاصل میشود. در حالت خاص با تعریف تابعی برحسب x,y که تابع تنظیم سطح نام دارد و انتخاب سطح z دلخواه که اشتراک با تابع داشته باشد، به یک یا مجموعه ای از چند خم بسته میرسیم. این تابع را میتوان به شکل تابع علامت فاصله تعیین کرد. علامت از آن جهت که در آن هر نقطه خارج خم یا خمهای بسته مختصاتی دارد که این مختصات مقدار تابع را مثبت میکند، نقاط داخل خم مقدار تابع را منفی میکند و نقاط روی خم باعث صفر شدن مقدار تابع میشود. فاصله هم به این مفهوم که جنس تابع از نوع فاصله دو نقطه از هم باشد. تعریف دقیق تابع علامت فاصله نسبت به کانتورسطح صفر یک تابع سهبعدی به این صورت است: مقدار تابع علامت فاصله در هر نقطه عبارت است از کمترین فاصله آن نقطه تا نقاط سطح صفر. بنابراین چون جنس این تابع از جنس فاصله است، اندازه گرادیان آن برابر یک خواهد بود.
در حالت یک بعدی تابع را درنظر بگیرید؛ همانطور که در REF _Ref407530721 شکل ‏3–1 مشخص است، اگر معیار ما برای تعیین نقاط داخل یا بیرونی، محور x باشد با قرار دادن و یافتن ریشه ها به این نتیجه میرسیم که با توجه به شکل، نقاط ریشههای تابع است و بنابراین دامنه نقاطی است که در آن مثبت میشود، درنتیجه این نقاط در خارج منحنی قرار دارند، مجموعه که تابع در آنها منفی است نقاط درون منحنی هستند و نقاط نقاط روی منحنی میباشند.[11] REF _Ref407530721 شکل ‏3–1 را ببینید. یعنی تابع ذکر شده تابع فاصله است. نکتهای که در اینجا قابل ذکر است این است که چون منحنی خود دوبعدی است، مرزی که برای آن متصور است یکبعدی خواهد بود (یک یا چند نقطه متناهی)، درصورتی که اگر منحنی سهبعدی مورد بحث باشد، مرز جداکننده بصورت یک خم بسته تعریف میشود. برای این که بتوان تابع علامت فاصله معادل آن تعیین کرد باید معادلهای بیابیم که نقاط صفر آن با نقاط صفر تابع یکسان و اندازه گرادیان آن نیز یک باشد. به عنوان مثال تابع تابع علامت فاصله معادل تابع فاصله ذکر شده است. چراکه نقاط صفرکننده آن یکسان و اندازه گرادیان آن بهجز در برابر یک است. (مشتقپذیر نبودن در یک نقطه یا یک مسیر در کلیت حل مشکلی ایجاد نمیکند[11]). یک مثال ساده دیگر معادله است. اگر بخواهیم این معادله سهبعدی را رسم کنیم به صورت REF _Ref407531142 شکل ‏3–2 خواهد بود. با توجه به شکل، نقاطی که در آن میشود دایرهای به شعاع یک واحد در دو بعد خواهد بود. این دایره بهسادگی از فصل مشترک صفحه و معادله بدست میآید. REF _Ref407531142 شکل ‏3–2 را ببینید.

شکل STYLEREF 1 s ‏3– SEQ شکل * ARABIC s 1 1: مثالی برای توضیح تابع علامت فاصله در حالت دوبعدینکته مهم و البته واضح در این شرایط، نقاط بیرونی دایره هستند که مقدار را مثبت و نقاط درونی دایره که مقدار آن را منفی میکنند و نقاط روی دایره که ریشه بوده و درنتیجه مقدار آن را صفر مینمایند. بنابراین در حالت سهبعدی مجموعه نقاط صفر کننده مقدار تابع خود یک یا چند منحنی دوبعدی و در حالت چهاربعدی مجموعه نقاط صفرکننده مقدار تابع، تشکیل دهنده سطوح سهبعدی هستند. یک نمونه تابع علامت فاصله برای این تابع، است.
این مورد نیز سطح صفر یکسان با تابع فاصله و اندازه گرادیان برابر یک دارد.
همانگونه که از معنای تحتاللفظی تنظیم سطح برمیآید، اساس این روش، تعیین سطح صفر تابع است که در یک تابع سهبعدی یک یا چند خم بسته، یک یا چند نقطه و یا مجموعه تهی خواهد بود. در حقیقت به کمک اطلاعات از قبل تعیین شده یا طبق فرضیات مسئله تابع مشخصی را از طریق این روش تغییر شکل میدهیم و سپس نقاط صفر کننده را استخراج مینماییم، در صورتی که این نقاط مطلوب باشد، استخراج میشود، وگرنه به عنوان تابع اولیه در حل مجدد مسئله تنظیم سطح به کار برده میشود. روابط ریاضی در ادامه تشریح میشود تا توضیحات روشنتر شود. مهمترین ویژگی که در این روش به چشم میآید این است که براثر تکامل تدریجی که توضیح داده شد منحنی تشکیل دهنده سطح صفر میتواند به مرور زمان و با تکرار تبدیل به چند منحنی سطح صفر و یا چند منحنی سطح صفر میتواند براثر تکرار به هم رسیده تشکیل منحنی بسته واحدی را بدهند، با گریزی به مفهوم پراکندگی معکوس میتوان به این نتیجه رسید که در صورتی که حدس اولیه مثلاً یک منحنی باشد و مطلوب چند جسم مختلف در محیط تحت بررسی باشد، این منحنی واحد این قابلیت را خواهد داشت که بدون اطلاعات اضافی و فقط به کمک میدانهای اطراف جسم، از هم جدا شده و محل اجسام مختلف را شناسایی کند، و نیز میتوانیم با حدس اولیه چند منحنی شروع کنیم و به جسم واحدی که در نقطه دلخواهی از محیط تحت بررسی قرار گرفته است برسیم.

شکل STYLEREF 1 s ‏3– SEQ شکل * ARABIC s 1 2: مثالی برای توضیح تابع علامت فاصله در حالت سه بعدی؛ تابع فاصله
REF _Ref407531558 شکل ‏3–3 مثالی است که بیان میکند با توجه به منحنی سهبعدی میتوانیم به سادگی این انتظار را داشته باشیم که با گذشت زمان منحنی دوبعدی از هم جدا یا به هم وصل شود.
معادله همیلتون-ژاکوبی در این قسمت نگاهی اجمالی به روابط مربوط به روش تنظیم سطح میاندازیم. روابطی که در نهایت تبدیل به معادله دیفرانسیلی همیلتون-ژاکوبی میشود. فرض میکنیم که تابع مورد نظر تنظیم سطح که با z نمایش میدهیم دارای مجموعه نقاطی از x,y باشند و به صورت زیر تعریف میشوند:
(3-1)
(3-2)
درنتیجه این دو تابع را باهم قطع میدهیم. خواهیم داشت:
(3-3)

شکل STYLEREF 1 s ‏3– SEQ شکل * ARABIC s 1 3: با تغییر سطح می توان منحنی های بسته را یکی یا چندگانه کرد[12]بنابراین درصورتی که سطح صفر رابطه (3-3) را پیدا کنیم در واقع به جواب مطلوب رسیدهایم.

(3-3الف)
اما چون این معادله به صورت تدریجی به جواب میرسد، یعنی زمان در حل آن مطرح میشود، پس به طور کاملتر معادله را به صورت رابطه (3-4) مینویسیم:
(3-4)
از تابع رابطه(3-4) نسبت به t مشتق میگیریم، داریم:
(3-5)
میتوان مجموع جمله دوم و سوم سمت چپ تساوی رابطه (3-5) را اندکی تغییر داد و به روابط زیر رسید:
(3-6)
(3-7)
باتوجه به روابط (3-6) و (3-7) و وارد کردن آن در رابطه (3-5) خواهیم داشت:
(3-8)
در رابطه (3-7)، بردار سرعت و جهت حرکت آن عمود بر منحنی در مختصات x,y مشخص است. بنابراین:
(3-9)
بنابراین شکل نهایی معادله (3-8) به صورت زیر خواهد شد:
(3-10)
معادله (3-10) از دسته معادلات همیلتون_ ژاکوبی است که شکل کلی آنها به صورت زیر است:[13]
(3-11)
با مقایسه روابط (3-10) و (3-11) پی میبریم که معادله (3-10) معادله دیفرانسیل همیلتون-ژاکوبی دو بعدی بهازای است و تابع همیلتونیان آن به شکل زیر است:
(3-12)
حل معادله همیلتون-ژاکوبیحل این معادله به کمک تفاضل محدود و با رابطه زیر امکانپذیر است. توضیح چگونگی رسیدن به این رابطه در [11] و [13] بهطور کامل بیان شده است. برای حالت تقریب مرتبه اول رابطه (3-13) پیاده میشود. با فرض این که در ، به ترتیب شماره سلول در صفحه مختصات و نمایشگر گام زمانی ام است.[13]
(3-13)
که در این رابطه:[13]
(3-14)
(3-15)
در روابط بالا بهترتیب تقریب مرتبه اول مشتق از چپ و از راست است:[13]
(3-16)
(3-17)
روابط مشابه برای نیز به کمک الگوی بالا برقرار است.
برای تقریب مرتبه دوم مکانی، روابط به صورت زیر تغییر مییابد:[13]
(3-18)
(3-19)
که در آنها:[13]
(3-20)
(3-21)
(3-22)
(3-23)
در روابط بالا تابع سویچ نام دارد و مطابق زیر تعریف میشود:[13]
(3-24)
در روابط بالا از روابط زیر بدست میآید:
(3-25)
(3-26)
(3-27)
تقریبهای بالاتر را با تعمیم روابط اخیر میتوان بدست آورد.[13]
شرط پایداریشرط پایداری معادله (3-13) با اعمال شرط CFL (کورانت، فردریش، لویی) ارضا میشود. قانونی که بیان میکند: سرعت جابهجایی منحنی سطح صفر تابع تنظیم سطح () نباید از مقدار عددی سرعت موج یا همان یا بیشتر باشد. این شرط به ما کمک میکند که در حل معادله به روش تفاضل محدود، گام زمانی را مناسب انتخاب کنیم. برای تعیین گام زمانی مناسب از رابطه زیر کمک میگیریم.
(3-28)
(3-29)



قیمت: 11200 تومان

Author:

دیدگاهتان را بنویسید

نشانی ایمیل شما منتشر نخواهد شد. بخش‌های موردنیاز علامت‌گذاری شده‌اند *