sdf143

دانشکده علوم پایه
پایان نامه دوره کارشناسی ارشد در رشته فیزیک گرایش اتمی و مولکولی
موضوع:
اثرات میدان مغناطیسی محوری و کانال یونی بر انتشار امواج در لیزر الکترون آزاد با ویگلر پیچشی
استاد راهنما:
دکتر تقی محسن پور
استاد مشاور:
دکتر سعید میرزانژاد
اساتید داور:
دکتر خدیجه علوی
دکتر فرشاد صحبت زاده
نام دانشجو:
مونا احمدی
بهمن ماه 1392
سپاسگزاری:
سپاس خدایی را که سخنوران، در ستودن او بمانند و شمارندگان، شمردن نعمت های او ندانند و کوشندگان، حق او را گزاردن نتوانند.
به رسم ادب بر خود لازم می دانم از استاد بزرگوار و محترم خود، جناب آقای دکتر محسن پور که در کمال سعه صدر، با حسن خلق و فروتنی، از هیچ کمکی در این عرصه بر من دریغ ننمودند و زحمت، راهنمایی این پایان نامه را بر عهده گرفتند، کمال تشکر و قدردانی را داشته باشم.
باشد که این خردترین، بخشی از زحماتشان را سپاس گوید.
این پایان نامه را ضمن تشکر و سپاس بیکران و در کمال افتخار؛ تقدیم می نمایم به:* محضر ارزشمند پدر و مادر عزیزم به خاطر همه ی تلاشهای محبت آمیز‌‌ی که در دوران مختلف زندگی ام انجام داده اند و با مهربانی چگونه زیستن را به من آموخته اند؛
* برادر و خواهرم، همراهان همیشگی و پشتوانه های زندگیم؛
* به استادان فرزانه و فرهیخته ای که در راه کسب علم و معرفت مرا یاری نمودند؛
* به آنان که در راه کسب دانش راهنمایم بودند؛
* به آنان که نفس خیرشان و دعای روح پرورشان بدرقه ی راهم بود؛
* به تمامی رهپویان راه علم و معرفت که به حکایت ن وقلم و آنچه می‌نگارد، معترفند.
چکیده
در این پایان نامه ناپایداری امواج الکترومغناطیس پلاریزه راستگرد و چپگرد و امواج الکترواستاتیک در لیزر الکترون آزاد با ویگلر پیچشی و ترکیب کانال یونی و میدان مغناطیسی محوری بررسی می‌کنیم. ترکیب کانال یونی و میدان مغناطیسی محوری به عنوان عامل عدم واگرایی کانال یونی بکار می رود. با استفاده از معادلات سیالی رابطه پاشندگی امواج الکترومغناطیس و الکترواستاتیک بدست می‌آوریم. این رابطه پاشندگی به منظور مطالعه برهم کنش ناپایدار امواج به طور عددی برای مدارهای گروه I و II حل می‌کنیم. حل عددی نشان می‌دهد که نرخ رشد در مدارهای گروه I در حضور کانال یونی و میدان مغناطیسی محوری افزایش می یابد و برای مدارهای گروه II کمی کاهش می یابد.
واژه های کلیدی:
لیزر الکترون آزاد، ویگلر پیچشی، کانال یونی، میدان مغناطیسی محوری، رابطه پاشندگی، نرخ رشد.
فهرست مطالب
عنوان صفحه
فصل اول- مقدمه ای بر لیزر الکترون آزاد
1-1- مقدمه……………………………………………………………………………. 2
1-2- اجزاء لیزر الکترون آزاد ……………………………………………………………..4
1-3- اصول کار لیزر الکترون آزاد ……………………………………………………….. 7
1-4- رژیم های عملیاتی لیزر الکترون آزاد………………………………………………………11
1-5- مقدمه ای بر لیزر الکترون آزاد با کانال یونی……………………………………………. 12
فصل دوم – دینامیک الکترون‌ها در لیزر الکترون آزاد با کانال یونی و میدان مغناطیسی محوری
2-1- مقدمه ………………………………………………………………………………….. 17
2-2- دینامیک الکترون‌ها در لیزر الکترون آزاد ………………………………………………. 18
2-3- شرط پایداری مدارها ………………………………………………………………….. 22
2-4- حل عددی ………………………………………………………………………………26
فصل سوم- اثرات میدان مغناطیسی محوری و کانال یونی بر انتشار امواج در لیزر الکترون آزاد با ویگلر پیچشی
3-1- مقدمه …………………………………………………………………………………. 36
3-2- معادلات پایه ………………………………………………………………………….. 37
3-3- نتایج حل عددی……………………………………………………………………… 54
3-3-1- حل عددی برای مدارهای گروه I ………………………………………………….. 54
3-3-2- نتایج حل عددی برای مدارهای گروه II با Φ>0 ……………………………….. 57
3-3-3- نتایج حل عددی برای مدارهای گروه II با Φ<0 ……………………………… 60
فصل چهارم- نتیجه گیری
1-4- مقدمه …………………………………………………………………………………. 64
4-5- پیشنهادات…………………………………………………………………………….. 66
منابع و ماخذ …………………………………………………………………………………. . 67
فهرست اشکال
عنوان صفحه
فصل اول:
شکل(1-1)- نمایی کلی از لیزر الکترون آزاد ……………………………………………………. 5
شکل(1-2)- نمایی کلی از ویگلر پیچشی …………………………………………………………6
شکل(1-3)- طیف تقریبی طول موجی که توسط هر یک از شتابدهنده ها حاصل می گردد ……7
شکل(1-4)- شرط تشدید زمانی رخ می دهد که الکترون پس از طی کردن یک پریود ویگلر به اندازه یک طول موج تابشی از پالس لیزری عقب بیفتد و تا زمانی که این تفاوت سرعت بین باریکه الکترونی و موج الکترومغناطیس تنظیم شود همواره انرژی از باریکه به موج نوری منتقل می‌شود…………………………………………………………………………………………… 10
شکل(1-5)- یک باریکه الکترونی نسبیتی که از یک پلاسمای یونیزه شده منتشر می شود الکترون های پلاسما توسط راس باریکه به بیرون رانده می شوند و یک کانال یونی غیر خنثی از یون های مثبت با کانال یونی باقی می‌ماند که سبب تمرکز الکترون های باریکه می‌شود …………………13
فصل دوم:
شکل (2-1)- v||c بر حسب ωikwc وقتی Ω0=0 …………………………………. 27
شکل (2-2)- v||c بر حسب Ω0kwc وقتی ωi=0 …………………………………. 28
شکل(2-3)- v||c بر حسب ωi=Ω0kwc ………………………………………….29
شکل (2-4)- تابع Φ زمانی که v||c بر حسب ωikwc وقتی Ω0=0 ……………… 30
شکل(2-5)- تابع Φ برای حالت v||c بر حسب ωi=Ω0kwc …………………. 31
شکل (2-6)- تابع Φ زمانی که v||c برحسبΩ0kwc وقتی ………………ωi=032
شکل(2-7)- v||c بر حسب Ω0kwc وقتی ωi دارای مقادیر مختلفی باشد…………… 33
شکل (2-8)- v||c بر حسب ωikwc وقتی Ω0 دارای مقادیر مختلفی باشد………… 34
فصل سوم:
شکل (3-1)- نمودار نرخ رشد امواج راست و بار-فضا به ازای 2/0Ω0kwc= ، منحنی a به ازای0 ωikwc= ، منحنی b به ازای 1/0 ωikwc=، منحنی c به ازای2/0 ωikwc= و منحنی d به ازای 3/0ωikwc= ………………………………………………………………….. 55
شکل (3-2)- نمودار نرخ رشد امواج راست و بار-فضا به ازای 3/0ωikwc= ، منحنی a به ازای0 Ω0kwc= ، منحنی b به ازای 1/0 Ω0kwc=، منحنی c به ازای2/0Ω0kwc= و منحنی d به ازای 3/0Ω0kwc= ………………………………………………………….. 56
شکل (3-3)-Imωkwc بر حسب kkw برای مدارهای گروهII با Φ>0 ………….. 58
شکل (3-4)- Imωkwc بر حسب kkw برای مدارهای گروهII با Φ>0 ………… 59
شکل (3-5)- Imωkwc بر حسب kkw برای مدارهای گروهII با Φ<0 ………….. 60
شکل (3-6)- Imωkwc بر حسب kkw برای مدارهای گروهII با Φ<0 ………….. 61
علایم اختصاری
FEL ……………………………………………….. …………………. free electron laser
فصل اول- مقدمه ای بر لیزر الکترون آزاد
1-1- مقدمه
لیزر الکترون آزاد (FEL) طرحی کلاسیکی است که می تواند تابش همدوس با توان بالا در ناحیه وسیعی از طیف الکترومغناطیس بسازد. در حالی که لیزرهای گازی و لیزر های حالت جامد فقط در طول موج‌های تابش دارند که در اصطلاح مکانیک کوانتمی معادل با گذار الکترون از یک تراز انرژی به تراز دیگر باشد. لیزرهای رنگ نیز، دریک محدوده طیفی محدود کوک پذیر هستند و نیاز به یک لیزر گازی برای پمپاژ دارند و به طور نسبی در ترازهای توان پایین به فعالیت واداشته می شوند. علاوه بر این، لیزر معمولی به طور متداول تنها چند درصد انرژی دریافتی به نور تبدیل می‌کند، محاسبات نظری نشان می‌دهد که لیزر الکترون آزاد قادر است به بازده بالای 65٪ دست یابد در حالی که راندمان آن 40٪ در آزمایشگاه نشان داده شده است. در یک لیزر معمولی موج الکترومغناطیس در یک تشدید کننده با عبورهای متوالی از محیط فعال و با بهره گیری از فرآیند گسیل القایی تقویت می‌شود اما در لیزر الکترون آزاد مبادله انرژی از طریق برهمکنش موج الکترومغناطیسی با باریکه الکترونی که در میدان حرکت می‌کند، صورت می‌گیرد.
در سال 1951 هانز ماتس از دانشگاه استنفورد به طور تحلیلی نشان داد که موج تابشی می‌تواند همراه باریکه الکترونی عبور کننده از میان موجبر مغناطیسی تقویت شود[3-1]. که این تحلیل، بعدها پایه تئوری عملکرد لیزر الکترون آزاد شد. ماتس و همکارانش در مدت کوتاهی با انجام آزمایشات، موفق به تولید دو تابش ناهمدوس در بخش آبی- سبز طیف و انتشار همدوس در طول موج‌های میلیمتری طیف شدند. استفاده از میدان‌های مغناطیسی متناوب در میزر (تقویت مایکروویو از طریق گسیل القائی تابش) برای توان‌های بالاتر، توسط تیوپ‌های مایکروویو قابل دسترس، به طور مستقل توسط رابرت فیلیپس در سال 1957 انجام شد[4،5]. واژه یوبیترون در این زمان به عنوان مخفف برای برهمکنش باریکه نوسانی مورد استفاده قرار گرفت. با این حال، استفاده از لیزر الکترون آزاد به رسمیت شناخته نشده بود، برنامه یوبیترون در سال 1964 به علت یک تغییر کلی در استفاده از خلاء در فیزیک حالت جامد و فیزیک کوانتومی، متوقف شد. ظهور مجدد علاقه به این مفهوم، در اواخر سال 1970 هنگامی که میدی و همکارانش دستگاه لیزر الکترون آزاد را که در طول موج‌های مادون قرمز عمل می‌کرد، تولید کردند، روز افزون گشت[6]. اصطلاح لیزر الکترون آزاد در سال 1975 توسط جان میدی برای توصیف یک آزمایش در دانشگاه استنفورد، استفاده شد[8،7]. در این آزمایش با استفاده از باریکه الکترونی شتاب‌دهنده خطی فرکانس رادیویی، یک گسیل القایی با طول موج mμ 6/10 در محدوده فروسرخ طیف تولید شد[11-9]. اولین لیزر نوری الکترون آزاد اپتیکی با استفاده از حلقه‌های ذخیره سازی انباشتی در دانشگاه پاریس ساخته شده است که روی بیش از یک طیف گسترده تنظیم پذیر بود[15-12].
طرح‌های کاربردی از لیزر الکترون آزاد در این زمانه، طیف وسیعی از آزمایشات فیزیک حالت جامد تا زیست شناسی مولکولی را در بر می‌گیرد و طرح‌های جدید گوناگونی برای اهداف ارتباطاتی، راداری و … در حال توسعه هستند. علاوه بر کارهای پژوهشی، لیزر الکترون آزاد در زمینه های چون گرم کردن پلاسمای محصور شده به طریق مغناطیسی و برای گداز هسته ای کنترل شده، استفاده می‌شود. لیزرهای الکترون آزاد بخصوص برای جراحی مناسب‌اند. کاربرد بحث انگیز لیزرهای الکترون آزاد با توان زیاد و تپ بلند در امور نظامی از جمله در انهدام موشکهای بالستیکی است. در آزمایش‌های اولیه پژوهشگران از یک ویگلر صفحه ای به طول 15 متر با دوره ثابت و دامنه یکنواخت استفاده کردند، از آن موقع تا کنون طول ویگلر به 25 متر رسانده اند و برای بالا بردن بازه تبدیل انرژی، کارهای در جهت دوکی شکل کردن ویگلر در جریان است. در حال حاضر، لیزر الکترون آزاد تا حد زیادی به آزمایشگاه محدود شده است. هم اکنون، اصول بنیادی لیزر الکترون آزاد به خوبی درک شده و هدف پژوهش‌ها در مرحله اول توسعه و تکامل چشمه‌های باریکه الکترون و طرح‌های ویگلر است[16].
1-2- اجزاء لیزر الکترون آزاددر شکل (1-1) نمایی کلی از لیزر الکترون آزاد نشان داده شده است، همانطور که می‌بینیم لیزر الکترون آزاد از 2 بخش اساسی تشکیل شده است:
الف) میدان مغناطیسی دوره ای: به وسیله تعدادی آهنربا ( دائمی یا الکتریکی) که موسوم به ویگلر یا آندیولیتری است، ایجاد می‌شود که توسط آن انرژی جنبشی الکترون‌ها به موج الکترومغناطیسی منتقل شده و سبب تقویت موج الکترومغناطیس می شود. این میدان ویگلر باعث حرکت تناوبی در الکترون‌ها می شود.

شکل(1-1)- نمایی کلی از لیزر الکترون آزاد
نکته دیگر در طراحی ویگلر، انتخاب ویگلر تخت و یا مارپیچی می باشد. ویگلر پیچشی در اثر عبور جریان از سیم پیچ مارپیچی ایجاد می‌شود و در این نوع ویگلر میدان مغناطیسی از محور تقارن به سمت خارج افزایش می‌یابد و این افزایش میدانی عاملی است که از دور شدن الکترون‌ها از محور تقارن در اثر نیروی دافعه بینشان جلوگیری می‌کند و باریکه الکترون را در مسیری حلزونی هدایت می‌کند. در ساخت ویگلر تخت از آهنرباهای دائمی استفاده می‌شود که ساخت آن ساده تر و کم هزینه تر از ویگلر مارپیچی هست و تنظیمش ساده‌تر می‌باشد و قابل تنظیم بودن شدت میدان مغناطیسی و طول موج ویگلر مزیت ویگلر تخت هست که از آن برای ساخت ویگلرهای دوکی شکل (ویگلر باریک شونده) می‌توان استفاده کرد.[16]
میدان ویگلر تخت از ترکیب آهنرباهای دائمی ساخته می شود، تک بعدی می باشد و به صورت زیر می‌باشد:
Ɓw=Ɓw sinkwzyمیدان ویگلر پیچشی سه بعدی در تقریب یک بعدی ، به صورت زیر نوشته می شود:
Ɓw=Ɓwxcoskwz+ysinkwzکه به این ویگلر مارپیچی ایده آل می گویند[17،16].

شکل(1-2)- نمایی از ویگلر مارپیچی
ب) شتابدهنده: الکترون ها در شتاب دهنده سرعت می‌گیرند و با سرعتی نزدیک به سرعت نور به داخل میدان مغناطیسی ویگلر فرستاده می‌شوند. هر نوع شتاب‌دهنده طیف محدودی از طول موج تابشی مورد استفاده را تولید می‌کند، که در شکل (1-3) طیف تقریبی طول موجی که هر شتاب‌دهنده تولید می‌کند را نشان داده ایم :

شکل(1-3)- طیف تقریبی طول موجی که توسط هر یک از شتاب‌دهنده ها حاصل می گردد.
1-3- اصول کار لیزر الکترون آزاد
موج الکترومغناطیس تقویت شده خروجی، در لیزر الکترون آزاد، توسط برهمکنش بین سه گزاره به وجود می‌آید: باریکه الکترونی که با سرعت نسبیتی در حال حرکت است، یک موج الکترومغناطیسی تابش که راستای انتشار آن در جهت حرکت باریکه الکترونی است و میدان مغناطیسی ویگلر.
لیزر الکترون آزاد در ساده‌ترین شکل همانند تقویت کننده ای عمل می‌کند که توان موج الکترومغناطیس گذرنده از میدان مغناطیسی ویگلر را افزایش می‌دهد. الکترون با انرژی γi وارد موجبر می‌شود و با انرژی γf از موجبر خارج می‌شود و موج الکترومغناطیسی با توان اولیه pi به موجبر وارد می‌شود و آن را با توان pf ترک می‌کند.
γf<γi ، pf>piاز آنجائیکه انرژی کل سیستم موج ذره باید ثابت بماند بنابراین انرژی که الکترون از دست می‌دهد را موج دریافت می‌کند و بدین صورت موج نوری که در داخل ویگر عبور می‌کند با انرژی الکترون تقویت می‌شود[18].
هنگامی که عبور نور از یک میدان مغناطیسی متناوب مانند ویگلر رخ دهد، ترکیب تغییرات فضایی میدان ویگلر و موج الکترومغناطیسی تولید یک موج زنش می‌کند، که در اصل یک الگوی تداخل می‌باشد. تعامل بین الکترون‌ها و این موج زنش است که منجر به گسیل القایی در لیزر الکترون آزاد می‌شود. این موج زنش دارای همان فرکانس موج نور است اما عدد موج آن ، مجموع عدد موج الکترومغناطیسی و موج میدان مغناطیسی ویگلر است. موج زنش به دلیل داشتن همان فرکانس، ولی با یک عدد موج بزرگتر (و در نتیجه طول موج کوتاهتر) و بسیار آهسته تر از موج نور حرکت می‌کند؛ به این دلیل، موج پاندرماتیو نامیده می شود. چون موج زنش ترکیب موج نوری و موج ویگلر است، الکترون هنگام عبور از ناحیه برهمکنش لیزر الکترون آزاد تحت تاثیر میدان موثر موج زنش قرار می‌گیرد که سرعت انتشار آن به صورت زیر است:
vb=ωbkb=ωkf+kw (1-1)
علاوه بر این از انتشار موج پاندرماتیو با سرعت کم تر از سرعت نور در خلاء است که می‌تواند در انطباق با الکترون‌هایی باشدکه به وسیله همان سرعت محدود شده اند، صورت گیرد. الکترون‌های در حال حرکت، با موج هایی که به تشدید صورت گرفته‌اند و میدان های پایدار را تجربه کرده‌اند که قسمتی از آن ها با موج‌هایی که انتقال یافته اند، می‌توانند ‌انطباق داده شوند. در این شرایط بیان می‌شود که الکترون‌های همگام با موج رزونانس با آن هستند.
یک قیاس خوب برای برهمکنش بین الکترون‌ها و موج پاندرماتیو را می‌توان به صورت یک گروه موج سواران و موج نزدیک ساحل مثال زد. اگر موج سواران در آب ثابت باقی بمانند، تفاوت سرعت بین موج و موج سواران زیاد است. موج دریافتی صرفا موج سواران را اندکی بالا و پایین برده و سپس آنها را به سطح قبلی خود بازگشت می دهد. در این حالت حرکت انتقالی یا تبادل انرژی بین موج سواران و موج وجود ندارد. اما اگر موج سواران با موج حرکت کنند، زمانی که سرعت‌شان با موج تطابق یابد آنها می‌توانند به بیشترین اندازه حرکت از موج دست یابند و به ساحل نزدیک شوند. این اساس فیزیکی برهمکنش رزونانس در یک لیزر الکترون آزاد است. هر چند در یک لیزر الکترون‌ آزاد، الکترون ها باعث تقویت موج زنش می‌شوند، به طوری که، شبیه هل دادن موج سوار بر روی موج و افزایش دادن دامنه‌ی آن است.
میدان الکتریکی موج الکترومغناطیس و سرعت باریکه الکترونی در صورت عدم حضور میدان ویگلر، بر یکدیگر عمودند، بنابراین موج الکترومغناطیس و باریکه الکترونی برهمکنشی ندارند
dwdt=F.v=-eE.v ⟹ dwdt=-eE.v , v||x.z=0 (1-2)
میدان مغناطیسی ویگلر بر باریکه الکترونی سرعت عرضی القاء می‌کند بنابراین باعث تبادل انرژی بین باریکه الکترونی و میدان مغناطیسی ویگلر می‌شود، اکنون اگر باریکه الکترونی از میان ویگلر عبور کند مولفه عرضی vx پیدا می‌کند و در تشدید در موج نوری قرار می‌گیرد با قرار گرفتن در این حالت اگر -eE.v<0 باشد در این صورت انرژی همواره از الکترون به موج نوری منتقل می‌شود و اگر -eE.v>0 باشد انرژی از موج نوری به الکترون منتقل می‌شود، بنابراین اگر بخواهیم انتقال انرژی از موج نوری به الکترون باشد باید همواره این رابطه -eE.v>0 برقرار باشد و این شرط تشدید زمانی اتفاق می افتد که الکترون پس از طی کردن یک دوره تناوبی ویگلر، به اندازه یک طول موج تابشی از موج نوری عقب بیفتد و اگر این تفاوت سرعت از بین برود دیگر عمل تقویت رخ نخواهد داد.

شکل(1-4)- شرط تشدید زمانی رخ می دهد که الکترون پس از طی کردن یک پریود ویگلر به اندازه یک طول موج تابشی از پالس لیزری عقب بیفتد و تا زمانی که این تفاوت سرعت بین باریکه الکترونی و موج الکترومغناطیس تنظیم شود همواره انرژی از باریکه به موج نوری منتقل می‌شود.
ترکیبی از رابطه پاشندگی در خلاء یک رابطه ی استانداردی را برای طول موج نور خروجی تقویت شده برحسب تابعی از انرژی باریکه الکترون و دوره تناوب میدان ویگلر می دهد که به آن شرط همگانی یا شرط تشدید لیزر الکترون آزاد می‌گویند.
c-v||t=λs , t=λwv|| β||=1 λs≅λw2γz2 (1-3)
که در آن γz=11-vz2c2 را فاکتور نسبیتی مربوط به باریکه الکترون و λw=2πkw طول موج ویگلر است. بنابراین، نسبت مستقیم با طول موج دوره تناوبی ویگلر و نسبت عکس با مربع انرژی جریان دارد. این نتایج به لیزر الکترون آزاد در یک محدوده گسترده ای اجازه می‌دهد که طول موج‌ها را تقریبا در سراسر طیف الکترومغناطیسی تولید و تقویت کند.
همانطور که دیدیم فقط در شرط همگام بودن، تبادل انرژی بین الکترون و موج الکترومغناطیس صورت می‌گیرد. در انتقال انرژی بین باریکه و موج الکترومغناطیس، انرژی الکترون کاهش می‌یابد و با کاهش انرژی الکترون ها γz کاهش می‌یابد و در نتیجه سرعت محوری باریکه کاهش می‌یابد و نهایتا انتقال انرژی بین الکترون و موج الکترومغناطیس به سمت صفر می‌رود. برای حفظ سرعت محوری باریکه لازم است که دامنه یا دوره ویگلر دوکی وار کاهش یابد. باریکه الکترون در ابتدای ورودش به میدان ویگلر به صورت خط راست می‌باشد یعنی کل سرعتش در امتداد محور است. میدان ویگلر باعث می‌شود، باریکه سرعت عرضی بگیرد. البته این مولفه محوری سرعت است که باید با سرعت موج زنش تطبیق کند. کاهش تدریجی شدت میدان ویگلر و یا دوره آن بین دو سر کاواک، سرعت عرضی الکترون را کم و دوباره به سرعت محوری تبدیل می‌کند. بدین ترتیب باریکه الکترون به موج نور انرژی می‌دهد و آن را تقویت می‌کند. در این صورت گردش‌های عرضی الکترون‌ها کوچکتر خواهد شد بنابراین سرعت محوری لازم برای همگامی با پیشرفت موج زنش، حتی وقتی الکترون کاهش می‌یابد، حفظ می‌شود.
1-4- رژیم های عملیاتی لیزر الکترون آزاد
الف) رژیم کامپتون:
در این ناحیه از لیزر الکترون آزاد جریان باریکه الکترونی کم و انرژی باریکه الکترونی بالاست. از آنجایی که چگالی الکترون ها به قدر کافی زیاد نمی‌باشد، برای انرژی های بالای MW2، الکترون‌ها به صورت منفرد با میدان ویگلر برهمکنش می‌کنند. رژیم عملیاتی کامپتون مربوط به کار در محدوده طول موج‌های کوتاه (مادون قرمز تا مرئی) می‌باشد.
ب) رژیم رامان:
هرگاه چگالی الکترون ها به قدر کافی زیاد باشد و برای انرژی های پایین تر از MW1، الکترون‌ها به صورت جمعی با میدان ویگلر بر همکنش دارند. این رفتار جمعی باعث ایجاد امواج طولی بار-فضا در درون پرتو می‌شود بصورتیکه الکترون ها در حین حرکت، نوسانات طولی در داخل پرتو خواهند داشت. چگالی الکترون‌ها باعث رشد امواج بار-فضا شده و در نتیجه ضریب بهره افزایش می‌یابد علاوه بر این رشد امواج بار-فضا باعث انتقال طول موج نور خروجی به طول موج های بالاتر نیز می‌شود. لیزرهای الکترون آزادی که باریکه الکترونی مورد نیاز آن‌ها توسط شتاب دهنده های خطی القائی و پالس خطی تامین می‌شود مربوط به کار در این رژیم عملیاتی می باشند. ما در این پایان نامه در رژیم رامان نرخ رشد امواج را بررسی می‌کنیم.
1-5- مقدمه ای بر لیزر الکترون آزاد با کانال یونی
در رژیم رامان به علت بالا بودن جریان باریکه الکترونی و پایین بودن انرژی آن، بار منفی باریکه باعث واگرائی آن می‌شود، برای جلوگیری از این اتفاق می توان از روش‌هایی کانون‌سازی استفاده کرد. دو روش متدوال الف) میدان مغناطیسی محوری ب) کانال یونی است.
کانال یونی در سال 1985 برای انتقال باریکه نسبیتی الکترون در طول چند متر به کار گرفته شد[19]. در سال 1987 برای اولین بار کانال یونی را در یک لیزر الکترون آزاد بکار گرفتند. برای اولین بار این روش در آزمایشگاه توسط اوزکی و همکارانش انجام پذیرفت[20]. اولین بار استفاده از کانال یونی برای همگرایی در لیزر الکترون آزاد توسط تاکایاما و هیراماتسو پیشنهاد شد[21]. این روش با استفاده از شبیه سازی عددی کامپیوتری بطور جداگانه توسط یا و همکارانش و جها و همکارانش بررسی شد[22،23]. کانال یونی کاربردهای مهمی در توسعه شتابدهندهای پیشرفته، لیزرهای الکترون آزاد، مولد اشعهX و… دارد.
روال کار بدین صورت است که کانال یونی را می توان با تزریق یک باریکه الکترونی نسبیتی به داخل پلاسمایی غیر خنثی تولید کرد[24،25]، نیروی دافعه الکتریکی ناشی از باریکه الکترون، الکترون های پلاسما را به صورت شعاعی از محیط پلاسما خارج می‌کند و به خاطر اینکه جرم الکترون نسبت به یون مثبت کوچکتر است، هسته های سنگین یون مثبت باقی می مانند. در نهایت نیروی کانون ساز ناشی از میدان مغناطیسی باریکه به همراه نیروی جانب به مرکز ناشی از یون‌ها بر نیروی دافعه الکتریکی غلبه می‌کند و بدین صورت کانون سازی یونی روی می‌دهد.
در نظر داشته باشیم برای اینکه الکترون‌های نسبیتی بتوانند محیط پلاسما را به کانال یونی تبدیل کنند باید چگالی الکترون های نسبیتی باریکه (nb) خیلی بیشتر از چگالی پلاسما (ni) باشد. nb ≫ni [26].

شکل(1-5)- یک باریکه الکترونی نسبیتی که از یک پلاسمای یونیزه شده منتشر می شود الکترون های پلاسما توسط راس باریکه به بیرون رانده می شوند و یک کانال یونی غیر خنثی از یون های مثبت با کانال یونی باقی می ماند که سبب تمرکز الکترون های باریکه می شود.
یون‌ها یک میدان الکترواستاتیک شعاعی در اطراف خود به وجود می‌آورند و این میدان نیرویی در خلاف جهت خود به الکترون‌ها وارد می کند که این نیرو سبب همگرایی باریکه الکترونی می‌باشد و از واگرایی الکترون‌های نسبیتی جلوگیری می‌کند. الکترون‌های نسبیتی نیز در اطراف خود، میدان الکتریکی که در خلاف جهت میدان یون‌ها است بوجود می‌آورند که این میدان نیز نیرویی در خلاف جهت خود، بر یون‌ها ایجاد می‌کند که این میدان از طریق قانون گاوس به صورت زیر محاسبه می‌شود:
E.ds=endv ⟹ E=2πenr (1-4)
با توجه به این که چگالی یون‌ها خیلی کمتر از چگالی الکترون‌های نسبیتی است پس نتیجه می‌گیریم که نمی توان از اثر این نیرو بر روی الکترون های پلاسما که اثر همگرایی را کم کرده و باعث واگرایی می‌شود، چشم پوشی کرد اما در عمل خواهیم دید که چنین نیست، الکترون‌های نسبیتی بخاطر سرعت بالای نسبیتی که دارند، سبب ایجاد میدان مغناطیسی در اطراف خود می‌شوند و این میدان مغناطیسی، نیروی مغناطیسی تولید می کند. این میدان را می‌توان از قانون آمپر محاسبه کرد که به صورت زیر است:
B.dl=J.A ⟹ B=12enνθ (1-5)
بنابراین نیروی لورنس ناشی از باریکه الکترونی عبارتنست از:
F=-qE+1cv×B=-2πn0r1-v2c2 F=-2πn0γ2r (1-6)
که γ2=11-vc2 و γ>1 می‌باشد.
که در رابطه (1-5) مشاهده می‌کنیم که نیروی لورنس توسط عامل1γ2 تضعیف شده است. بنابراین γ را به گونه ای انتخاب می‌کنیم که شرط بادکر و همگرایی یونی را به صورت زیر ایجاد کند:
ni≫nbγ2بنابراین هرگاه رابطه (1-6) برقرار بود کانال یونی از واگرایی باریکه الکترونی در لیزر الکترون آزاد جلوگیری می کند.
فصل دوم- دینامیک الکترون ها در لیزر الکترون آزاد با کانال یونی و میدان مغناطیسی محوری
2-1- مقدمه
لیزر الکترون آزاد یک منبع نوری بسیار مناسب است که می تواند تابش همدوس با شدت بالا در ناحیه وسیعی از طیف الکترومغناطیس تولید کند، هنگامی که عبور باریکه الکترونی نسبیتی با انرژی بالا از یک میدان مغناطیسی متناوب مانند ویگلر رخ دهد، باعث ایجاد تابش همدوس می‌شود. همانطور که می‌دانیم میدان مغناطیسی ویگلر باعث ایجاد سرعت عرضی در باریکه الکترون می‌شود و اگر میدان مغناطیسی محوری نیز در کنار میدان مغناطیسی ویگلر قرار دهیم ترکیب این دو میدان تاثیر زیادی بر روی معادله پاشندگی مشخصه های موج بار-فضا دارد و اگر کانال یونی نیز به مسئله اضافه شود، تاثیرات آن بر روی معادله پاشندگی امواج بار-فضا و الکترمغناطیس زیاد است. بخاطر اینکه میدان مغناطیسی محوری و کانال یونی اعمال می‌شود مانع واگرایی باریکه الکترونی می‌شود. در لیزرهای الکترون آزاد بسته به نوع میدان مغناطسیسی ویگلر حرکت نوسانی در صفحه یا پیچشی بدست می‌آورند که باعث انتقال انرژی از باریکه به موج الکترومغناطیس می‌شود. ما در این فصل می خواهیم مسیرهای حالت پایا در لیزر الکترون آزاد و در میدان مغناطیسی ویگلر پیچشی در حضور میدان مغناطیسی محوری و کانال یونی را بیان کنیم.
2-2- دینامیک الکترون‌ها در لیزر الکترون آزاد[27]
الکترون نسبیتی را با جرم سکون m، بار الکتریکی e و سرعت v در نظر بگیرید. که در جهت z در یک لیزر الکترون آزاد با میدان مغناطیسی ویگلر حرکت می‌کنند. میدان مغناطیسی ویگلر به صورت زیر توصیف می شود:
Bω=Bω(excoskwz+eysinkwz) (2-1)
در اینجا kw=2π/λw عدد موج ویگلر است. میدان الکترواستاتیک عرضی که توسط کانال یونی به وجود می آید به صورت زیر نوشته می‌شود: Ei=2πeni(xex+yey) (2-2)
در اینجا ni چگالی یون‌های مثبت است که بار الکتریکی مثبت e دارد. معادله حرکت الکترون به صورت زیر است:
dpdt=-e(Ei+1cv×B) (2-3)
در اینجا
B=Bω+B0 (2-4)
و B0=B0 ez میدان مغناطیسی محوری می باشد.
با استفاده از فرمول های (2-1) تا (2-4) مولفه های معادله حرکت نیروی لورنس به صورت زیر خواهد شد:
d(mγvx)dt=-2πe2nix+eBωcvzsinkwz-eB0cvy (2-5)
d(mγvy)dt=-2πe2niy+eBωcvzcoskwz-eB0cvx (2-6)
d(mγvz)dt=eBωc(vycoskwz-vxsinkwz) (2-7)
در اینجا γ فاکتور نسبیتی است. جابه‌جایی عرضی باریکه الکترونی با جوابهای پیشنهادی
x=Rsinkwzy=-Rcoskwzبدست می آید. مشتقات x و y را حسا‌‌ب کرده و در رابطه (2-5) تا (2-7) قرار می دهیم که در نهایت داریم:
x=Ωωβ||ωi2-β||2+Ω0β||sinkwz (2-8)
y=-Ωωβ||ωi2-β||2+Ω0β||coskwz (2-9)
دراینجا Ωω≡eBωγmc ,β||≡v||c ,ωi≡ωickw , ωi2≡2πe2ni/γm وΩω≡Ωωckw است. مسیر حرکت الکترون کاملاً مارپیچ و محور آن بر محور لیزر الکترون آزاد منطبق است.
با استفاده از معادلات (2-8) و (2-9) سرعت‌های عرضی الکترون به صورت زیر بدست می‌آید:
βx=Ωωβ||2ωi2-β||2+Ω0β||coskwz (2-10)
βy=Ωωβ||2ωi2-β||2+Ω0β||coskwz (2-11)
در اینجا βx≡vx/c و βy≡vy/c این مدارها افزایش شدیدی در مقدار سرعت های عرضی نشان می‌دهند به ازای ωi2-β||2+Ω0β||≅0 (2-12)
جواب بدست آمده را در سه حالت می توان طبقه بندی کرد:
1- اگرΩ0 برابر صفر گرفته شود (با حذف میدان مغناطیسی محوری ) سرعت عرضی خواهد شد:
βx=Ωωβ||2ωi2-β||2coskwz (2-13)
βy=Ωωβ||2ωi2-β||2sinkwz (2-14)
و تشدید به ازای ωi≅β|| رخ می دهد.
2- اگر ωi برابر صفر گرفته شود. (با حذف کانال یونی) سرعت ها عرضی می‌شود:
βx=Ωωβ||Ω0-β||coskwz (2-15)
βy=Ωωβ||Ω0-β||sinkwz (2-16)
که تشدید به ازای Ω0≅β|| رخ می‌دهد.
3- وقتی که هر دو کانال یونی و میدان مغناطیسی محوری وجود داشته باشند، این یک لیزر الکترون آزاد ویگلر مارپیچ با کانال یونی و یک میدان مغناطیسی محوری است. زمانی که هر دو نوع هدایت وجود داشته باشند، vw می‌شود:
vw=β||2Ωωωi2+β||Ω0-β|| این رابطه شامل سه نوع است:
الف: دو فرکانس کانال یونی و میدان مغناطیسی محوری برابرگرفته شود Ω0=ωi.
ب :فرکانس کانال یونی، ثابت گرفته شده باشد و فرکانس میدان مغناطیسی محوری متغیر باشد.
ج: فرکانس میدان مغناطیسی محوری ثابت گرفته شده باشد و فرکانس کانال یونی متغیر باشد.
با قرار دادن رابطه های سرعت های عرضی و طولی در رابطه فاکتور نسبیتی خواهیم داشت:
β||21+Ωω2β||2(ωi2-β||2+Ω0β||)2=1-γ-2 (2-17)
اگر این معادله را مرتب کنیم به یک معادله درجه 6 بر حسب β|| می‌رسیم که با حل عددی آن، سه جواب فیزیکی (حقیقی و مثبت) آن را به دو گروه می‌توان تقسیم کرد. مدارهای گروه I به ازای vω<0 و مدارهای گروه II به ازای vω>0 تعریف می شود. این تغییر علامت به معنای تغییر چرخش نبوده و تنها اختلاف فاز 180 درجه ای را با میدان ویگلر نشان می‌دهد.
پارامتر دیگری که تعریف آن در لیزر الکترون آزاد مفید می باشد تابع Φ است. تابع Φ متناسب است با نسبت تغیرات سرعت محوری به تغییرات فاکتور نسبیتی:
dβ||dγ=1γγ||2β||Φ
Φ =1-Ωω2β||2Ω0β||+ωi2γ||2+ωi2ωi2-β||2+Ω0β||3+Ω||2β||2(Ω0β||+2ωi2) (2-18)
تابع Φ برای برخی نواحی مدار گروهII ، منفی است. این بیانگر این است که با افزایش انرژی سرعت طولی در حال کاهش می باشد یعنی سرعت عرضی در حال افزایش است.
اگر میدان مغناطیسی محوری نادیده گرفته شود رابطه (2-18) تبدیل خواهد شد به:
(2-19) Φ=1-(1+γ||2)Ωω2ωi2β||2(ωi2-β||2)3+2Ωω2ωi2β||2و در صورتی که کانال یونی نادیده گرفته شود، داریم:
(2-20) Φ =1-γ||2Ω0Ω||2(Ω0-β||)3+Ω0Ωω22-3- شرط پایداری مدارها[27]چارچوب ویگلر که به صورت زیر تعریف می‌شود را در نظر می گیریم:
e1=excoskwz+eysinkwz (2-21)
e2=-exsinkwz+eysinkwz (2-22)
e3=ex (2-23)
در این چارچوب مولفه های معادله حرکت به صورت زیر خواهد شد:
dv1dt=-ωi2x1-(Ω0-kwv3)v2 (2-24)
dv2dt=-ωi2x2+Ω0-kwv3v1-Ωωv3 (2-25)
dv3dt=Ωωv2 (2-26)
سرعت های v3 و v2 و v1 در چارچوب ویگلر به صورت زیر خواهد شد:
v1=x1-kwv3x2 (2-27)
v2=x2+kwv3x1 (2-28)
v3=x3 (2-29)
برای پیدا کردن جواب های حالت پایا باید مشتقات زمانی را برابر صفر قرار داد که در نهایت داریم:
v10=cΩωβ||2ωi2-β||2+Ω0β|| (2-30)
v20=0 (2-31)
v30=v||=cβ||=constant (2-32)
x10=0 (2-33)
x20=-Ωωβ||kw(ωi2-β||2+Ω0β||) (2-34)
x30=v30t=cβ||t (2-35)
اندیس صفر بیانگر مقادیر در حالت پایا می باشد.
برای پیدا کردن شرط پایداری مدارها، به مقادیر حالت پایا، یک اختلال به صورت زیر اضافه می‌کنیم:
v1=v10+δv1v2=δv2v3=v||+δv3x1=δx1x2=x20+δx2x3=x30+δx3با قرار دادن این کمیت ها در معادلات (2-24) تا (2-25) و با اندکی محاسبه داریم:
δx1=c1δx1+c2δx2+c3δx3 (2-36)
δx2=c1δx2+c2δx1+c4δx3 (2-37)
δx3=c5δx2+c6δx1 (2-38)
زمانی که:
c1=-(ωi2-β||2+Ω0β||)c2kw2
c2=-Ω0-2β||ckw
c3=x20kw2
c4=-Ωω+(Ω0-2β||)x20kwckw
c5=Ωωckw
c6=Ωωβ||c2kw2
با مشتق‌گیری از معادلات (2-36) و (2-37) نسبت به زمان و با استفاده از معادله (2-38) داریم:
δx1=c1+c3c6δx1+(c2+c3c5)δx2 (2-40)
δx2=c1+c4c5δx2-c2δx1+c4c6δx1 (2-41)
پایداری مدارهای الکترون به این صورت بدست می‌آید که همه جابه جایی‌ها با فرکانس یکسان، نوسان می‌کنند و به صورت زیر توصیف می‌شود:
δxj=Ajeiωt , j=1,2 (2-42)
با جایگزین کردن در معادلات (2-40) و (2-41) داریم:
iωω2+c1+c3c6A1-ω2c2+c3c5A2=0 (2-43)
ω2c2+c4c6A1+iωω2+c1+c4c5A2=0 (2-44)
این دستگاه معادله همگن می باشدکه اگر دترمینان ضرایب برابر صفر باشد، جواب فیزیکی دارد، یعنی:
ω4+bω2+c=0 (2-45)
b≡2c1-c22+c4c5+c3c6-c2c3c5 (2-46)
c≡c1+c3c6c1+c4c5-c4c6(c2+c3c5) (2-47)
معادله (2-45) یک معادله درجه دوم بر حسب ω2 است. مدارهای حالت پایا، در صورتی پایدار خواهد بود که ω ریشه‌های حقیقی و مثبت داشته باشد. پس در نهایت شرط پایداری مدارها خواهد شد:
b2-4c>0b<0c>0(2-48)
2-4- حل عددی
در این قسمت مطالعه عددی مسیرهای حالت پایا در لیزر الکترون آزاد و در میدان مغناطیسی ویگلر پیچشی در حضور میدان مغناطیسی محوری و کانال یونی را بیان می کنیم. سرعت محوری نرمالیزه β|| و تابع Φ با استفاده از معادلات (2-19) و (2-21) بررسی می‌شود. انرژی الکترون 1Mev و فرکانس نرمالیزه میدان مغناطیسی ویگلر 05/0 Ωω= در نظر گرفته می‌شود.
شکل (2-1) v||c را بر حسب تابع فرکانس کانال یونی ωikwc در غیاب میدان مغناطیسی محوری نشان می‌دهد. همان طور که این شکل ‌نشان می‌دهد مدارها به دو گروه تقسیم شده است[27].

شکل (2-1)- v||c بر حسب ωikwc وقتی Ω0=0
شکل (2-2) تغییرات v||c را بر حسب Ω0 و در غیاب کانال یونی نشان می‌دهد. گروه I و گروه II به ترتیب توسط Ω0<v||c وΩ0>v||c مشخص می‌شوند. خط چین بیانگر مدارهای ناپایدار گروه I می باشد [28].

شکل (2-2)- v||c بر حسب Ω0kwc وقتی ωi=0شکل (2-3) مقدار v||c بر حسب فرکانس کانال یونی که برابر است با فرکانس سیکلوترون میدان مغناطیسی محوری نشان می دهد[27].
شکل(2-3)- v||c بر حسب ωi=Ω0kwcهمان طورکه در شکل (2-1) تا (2-3) نشان داده شد، ‌برای مدارهای پایدار گروه I، با افزایش فرکانس هدایت، v||c به تدریج کاهش پیدا می‌کند تا اینکه مدارهای تعادلی پایدار به مدارهای ناپایدار تبدیل می شوند. برای مدارهای گروه II، v||c با افزایش فرکانس هدایت، افزایش می‌یابد، در نتیجه سرعت عرضی در حال کاهش خواهد بود که به ازای فرکانس هدایت بی نهایت، مقدار سرعت عرضی به صفر می رسد[27].
در شکل‌های(2-4) تا (2-6) Φ به عنوان تابع فرکانس هدایت‌ نشان داده شده است:

شکل (2-4)- تابع Φ زمانی که v||c بر حسب ωikwc وقتی Ω0=0شکل (2-4)، Φ را بر حسب تابع فرکانس کانال یونی ωikwc در غیاب میدان مغناطیسی محوری نشان می دهد و برای مدارهای پایدار گروه I، Φ به طور یکنواخت افزایش پیدا می‌کند و تا اینکه مدارهای تعادلی پایدار به مدارهای ناپایدار تبدیل می شوند. برای مدارهای گروه II، دو ناحیه جرمی وجود دارد، ناحیه جرمی منفی Φ<0 و ناحیه جرمی مثبت Φ>0. وجود ناحیه جرمی منفی مطلوب است زیرا که سرعت محوری با افزایش انرژی باریکه الکترون کاهش می‌یابد[27].

شکل(2-5)- تابع Φ برای حالت v||c بر حسب ωi=Ω0kwcشکل(2-5)، مقدار Φ بر حسب فرکانس کانال یونی که برابر است با فرکانس سیکلوترون میدان مغناطیسی محوری برای مدارهای پایدار گروه I و مدارهای گروه II، را نشان می دهد و برای مدارهای گروه II، دو ناحیه جرمی وجود دارد [27].

شکل (2-6)- تابع Φ زمانی که v||c برحسبΩ0kwc وقتی ωi=0
در شکل (2-6) Φبرحسب فرکانس Ω0kwc برای مدارهای پایدار گروه I و مدارهای گروه II در غیاب کانال یونی نشان داده شده است[27].
شکل‌های (2-4) ، (2-5) و (2-6) مشابه هستند ولی برابر نیستند.
شکل(2-7)- v||c بر حسب Ω0kwc وقتی ωi دارای مقادیر مختلفی باشدشکل (2-7)، v||c برحسب تابع میدان مغناطیسی محوری معیار با وجود یک کانال یونی را نشان می‌دهد در حالی که به ωi مقادیر ثابت 1/0 و 3/0 و 5/0 داده شده است. در شکل (2-7) منحنی سیاه به ازای1/0ωikwc= و منحنی قرمز به ازای 3/0 ωikwc= و منحنی آبی به ازای 5/0ωikwc= می باشد[28].
شکل (2-8)- v||c بر حسب ωikwc وقتی Ω0 دارای مقادیر مختلفی باشد
شکل (2-8) v||c برحسب کانال یونی با وجود تابع میدان مغناطیسی محوری معیار نشان می‌دهد در حالی که به Ω0 مقادیر 1/0 و 3/0 و 5/0 داده شود. در شکل (2-8) منحنی سیاه به ازای1/0 Ω0kwc= و منحنی قرمز به ازای 3/0 Ω0kwc= و منحنی آبی به ازای 5/0Ω0kwc= می باشد[28].
فصل سوم- اثرات میدان مغناطیسی محوری و کانال یونی بر انتشار امواج در لیزر الکترون آزاد با ویگلر پیچشی
3-1- مقدمه
استفاده از کانال یونی برای عدم واگرایی باریکه الکترونی در لیزر الکترون آزاد اولین بار توسط تاکایاما و هاریماتسو پیشنهاد شد[21]. اوزکی و همکارانش برای اولین بار از این روش در آزمایشگاه استفاده کردند[20]. این روش با استفاده از شبیه سازی عددی کامپیوتری بطور جداگانه توسط یا و همکارانش و جها و همکارانش بررسی شد[22،23]. جها و همکارانش لیزر الکترون آزاد با کانال یونی را در ناحیه بهره بالا و پائین بررسی کردند[29]. رابطه پاشندگی بدست آمده آنها از مرتبه دوم میدان مغناطیسی ویگلر می باشد. محسن پور و همکارانش رابطه پاشندگی امواج را در لیزر الکترون آزاد با کانال یونی بررسی کردند[30]. آنها جفت شدگی های بین امواج الکترومغناطیس چپگرد و موج بار-فضا علاوه بر جفت شدگی شناخته شده لیزر الکترون آزاد پیدا کردند. لیزر الکترون آزاد با میدان مغناطیسی نیز بارها مورد بررسی قرار گرفته است. مهدیان و همکارانش رابطه پاشندگی همه‌ی امواج را در ترکیب میدان مغناطیسی ویگلر و محوری بدست آوردند ولی آنها رابطه پاشندگی را بطور عددی حل نکردند[31]. ویلت و همکارانش رابطه پاشندگی را بدون در نظر گرفتن موج الکترومغناطیس چپگرد بطور عددی حل کردند[32]. محسن پور و همکارانش رابطه پاشندگی امواج را در لیزر الکترون آزاد با میدان مغناطیسی محوری و ویگلر پیچشی بررسی کردند[33]. ما در این فصل قصد داریم ترکیب میدان مغناطیسی محوری و کانال یونی را به عنوان عامل همگرایی باریکه الکترونی استفاده کنیم و با در نظر گرفتن این دو عامل همگرایی، ناپایداری امواج را در لیزر الکترون آزاد بررسی کنیم و رابطه پاشندگی را به صورت عددی و تحلیلی مورد بررسی قرار دهیم.
3-2- معادلات پایه
یک باریکه الکترونی را در نظر می‌گیریم که از میان یک میدان مغناطیسی ویگلر در تقریب یک بعدی ایده‌آل که به صورت زیر توصیف می‌کنیم، عبور می‌کند:
Ɓω=Ɓωxcoskwz+ysinkwz (3-1)
که در آن kw=2πλω عدد موج میدان مغناطیسی ویگلر می‌باشد و میدان مغناطیسی محوری Ɓ0=Ɓ0z است. میدان الکتریکی ناشی از کانال یونی که مانع واگرایی باریکه الکترونی می‌شود، از قانون گاوس به صورت زیر بدست می‌آید:
E=2πniexx+yy (3-2)
برای بدست آوردن رابطه پاشندگی امواج از سه معادله اصلی، پیوستگی و معادله تکانه و معادله موج که به ترتیب به صورت زیر نوشته شده اند، استفاده می‌کنیم:
∂n∂t+∇.nv=0 (3-3)

Leave a Reply

نشانی ایمیل شما منتشر نخواهد شد. بخش‌های موردنیاز علامت‌گذاری شده‌اند *