درهمتنیدگی

now browsing by tag

 
 

دانلود تحقیق علمی - دانلود پژوهش علمی

به:
آغوش پرمهری که محبتشان آموزگار دوستداشتن است و دستان نوازشگرشان روحبخش جان
پدر و مادر عزیزم

قدردانی:
در این فرصت بر خود واجب میدانم که از زحمات بیدریغ و دلسوزانهی اساتید عزیز و گرانقدرم جناب آقای دکتر شهریار سلیمی و جناب آقای دکتر آرش سروری تشکر و قدردانی نمایم.
همچنین از پدر و مادر عزیزم که همیشه در لحظات سختی پشتیبانم بودند و دعای خیر و دستان گرمشان راهگشای تمام مشکلاتم بودند و از همهی دوستانی که در طول این مدت اوقات خوشی را با آنها سپری کردم کمال تشکر و قدردانی را دارم.
فهرست مطالب
1905027812900 عنوان صفحه
فصل اول (مقدمه) ........................................................................................ 1
1-1پیشینهی تحقیق............................................................................................................................... 1
1-2دور نمای پایاننامه......................................................................................................................... 3 فصل دوم (مقدمهای بر مکانیک کوانتومی و مفاهیم اساسی آن) ...................... 4 2-1مکانیک کوانتومی.......................................................................................................................... 4
2-2مفاهیم اساسی در مکانیک کوانتومی............................................................................................... 6 2-2-1فضای برداری......................................................................................................................... 6
2-2-2ضرب داخلی و اندازه.............................................................................................................. 7
2-2-3پایه.......................................................................................................................................... 7
2-2-4عملگر خطی............................................................................................................................ 8
2-2-5ویژه بردار و ویژه عملگر.......................................................................................................... 8
2-2-6عملگر هرمیتی......................................................................................................................... 9 2-3پیکرنویسی دیراک.......................................................................................................................... 9
2-4اصول موضوعه مکانیک کوانتومی و اصل برهمنهش..................................................................... 11
2-5ضرب تانسوری فضاهای برداری.................................................................................................... 13
2-6ماتریس چگالی............................................................................................................................. 14
2-7ماتریس پاؤلی............................................................................................................................... 15
2-8بیت کلاسیکی و کوانتومی............................................................................................................ 17
فصل سوم (ناهمدوسی کوانتومی، درهمتنیدگی کوانتومی و معیار
اندازهگیری آن)......................................................................................... 19
3-1 ناهمدوسی کوانتومی..................................................................................................................... 19
3-2درهمتنیدگی سامانههای کوانتومی................................................................................................... 19
3-3معیارهای اندازهگیری درهمتنیدگی................................................................................................. 21
3-3-1تلاقی..................................................................................................................................... 21
3-3-2 درهمتنیدگی برای سه کیوبیتیها............................................................................................ 22
3-3-3 کران پایین تلاقی برای سامانههای کوانتومی چند قسمتی......................................................... 23
فصل چهارم (بررسی دینامیک ناهمدوسی کوانتومی تک کیوبیتی در محیطهای مارکوفی وغیرمارکوفی)...................................................... 27
4-1معرفی مدل................................................................................................................................ 27
4-2بررسی تحولات برای حالات اولیه و بدست آوردن رابطهای برای محیط غیرمارکوفی.................. 30
4-3بررسی حالت مخلوط و بدست آوردن رابطهای برای محیط غیرمارکوفی...................................... 33
4-4 عامل خلوص و ناهمدوسی......................................................................................................... 35
4-5 نتایج عددی............................................................................................................................... 36
4-5-1 تأثیر ثابت جفتشدگی ضعیف......................................................................................... 36
4-5-2 تأثیر ثابت جفتشدگی قوی............................................................................................. 38
4-5-3 تأثیر بسامد قطع................................................................................................................. 39
فصل پنجم (بررسی دینامیک درهمتنیدگی دو کیوبیتی در محیط مارکوفی و غیرمارکوفی)........................................................................ 41
5-1مقدمه............................................................................................................................................ 41
5-2معرفی مدل.................................................................................................................................... 42
5-3سازوکار حفظ درهمتنیدگی........................................................................................................... 45
5-4نتایج عددی.................................................................................................................................... 48
5-4-1حالت ابراهمیک..................................................................................................................... 48
5-4-2حالت لورنتز........................................................................................................................... 50
فصل ششم (بررسی دینامیک درهمتنیدگی سه کیوبیتی در محیط مارکوفی و غیرمارکوفی)........................................................................ 52
6-1معرفی مدل.................................................................................................................................... 52
6-2سازوکار حفظ درهمتنیدگی.......................................................................................................... 60
6-3نتایج عددی................................................................................................................................... 61
فصل هفتم (نتیجهگیری)................................................................. 64
پیوست 1 .................................................................................... 66
منابع .............................................................................................68
لیست شکلها
شکل 2.1نمایش یک کیوبیت به وسیلهی الکترون دو ترازه در اتم.................................................18
شکل1.4نمایش تقریب مارکوفی برای ثابت جفتشدگی ضعیف در تک کیوبیت.....................37
شکل 2.4نمایش تقریب غیرمارکوفی برای ثابت جفتشدگی ضعیف در تک کیوبیت..............37
شکل 4.3نمایش تقریب مارکوفی و غیرمارکوفی برای ثابت جفتشدگی قوی در
تک کیوبیت..............................................................................................................................................38
شکل 4.4نمایش تقریب مارکوفی و غیرمارکوفی برای تأثیر بسامد قطع در
تک کیوبیت..............................................................................................................................................39
شکل 1.5نمایش زیر سامانههای A و B برای دو اتم دو ترازه جفتشده به همراه یک
منبع خلاء...................................................................................................................................................42
شکل 2.5نمایش حالت کراندار برای سامانهی دو کیوبیتی در حالت ابر اهمیک..........................48
شکل 3.5 نمایش تقریب مارکوفی و غیرمارکوفی برای سامانهی دو کیوبیتی در حالت
ابر اهمیک.................................................................................................................................................48
شکل 4.5نمایش واپاشی برای سامانهی دو کیوبیتی در ثابت جفتشدگی قوی در حالت
ابر اهمیک.................................................................................................................................................49
شکل5.5نمایش تلاقی برای حالتهای مختلف درهمتنیدگی سامانهی دو کیوبیتی در حالت
ابر اهمیک.................................................................................................................................................49
شکل 5.6نمایش حالت کراندار وتلاقی برای سامانهی دو کیوبیتی در حالت لورنتز با شاخص پهنای طیف................................................................................................................................................50
شکل 5.7نمایش حالت کراندار و تلاقی برای سامانهی دو کیوبیتی در حالت لورنتز با شاخص
ثابت اتصال................................................................................................................................................51
شکل 1.6نمایش حالت کراندار برای سامانهی سه کیوبیتی در حالت ابر اهمیک..........................61
شکل2.6نمایش تقریب مارکوفی برای سامانهی سه کیوبیتی در حالت ابر اهمیک.......................61
شکل3.6نمایش تقریب غیرمارکوفی برای سامانهی سه کیوبیتی در حالت ابر اهمیک.................62
شکل4.6نمایش حالت کراندار برای سامانهی سه کیوبیتی در حالت لورنتز...................................62
شکل 6.5نمایش تلاقی برای سامانهی سه کیوبیتی در حالت لورنتز با شاخص پهنای طیف.........63
چکیده
در این پایاننامه، ابتدا هامیلتونی را برای سامانهی کوانتومی_محیط و برهمکنش بین آنها مشخص کرده و سپس تحول سامانهی کوانتومی و اثر حافظه بر این تحول را مورد بررسی قرار میدهیم. در این راستا ناهمدوسی ایجاد شده در اثر برهمکنش سامانهی تک کیوبیتی با محیط را مطالعه میکنیم. سپس با بدست آوردن معادلهی مادر، ناهمدوسی ایجاد شده را محاسبه کرده و آن را تحت تقریبهای مارکوفی و غیرمارکوفی بررسی میکنیم. همچنین روشی برای حفظ همدوسی و جلوگیری از ناهمدوسی ایجاد شده در سامانهی تک کیوبیتی ارائه میدهیم.
در ادامه تحول سامانهی دو کیوبیتی و درهمتنیدگی ایجاد شده را بررسی میکنیم و حضور اختلالات ناشی از محیط در سامانهی دو کیوبیتی را مورد مطالعه قرار میدهیم. در صورت وجود درهمتنیدگی، تلاش برای حفظدرهمتنیدگی ایجاد شده و جلوگیری از مرگ ناگهانی آن را بررسی میکنیم. در صورت مرگ ناگهانیدرهمتنیدگی، امکان احیایدوبارهی آن و همچنین امکان حفظ درهمتنیدگی را تحت تقریب غیرمارکوفی مورد سنجش قرار میدهیم.
در قسمت آخر نیز تحول سامانهی سه کیوبیتی را با اختلالات ناشی از محیط اطراف بررسی کرده و کران پایین درهمتنیدگی بینکیوبیتها را بدست میآوریم. سپس با محاسبهی کران پایین درهمتنیدگی، برای حفظ درهمتنیدگی و جلوگیری از مرگ ناگهانی آن، راه حلی ارائه میدهیم. در پایان نتایج بدست آمده از هر سه حالت کیوبیت را با شاخصهای مختلف مقایسه میکنیم.
واژههایکلیدی: ناهمدوسی، درهمتنیدگی، مرگ ناگهانی درهمتنیدگی، تلاقی، تقریب مارکوفی و تقریب غیرمارکوفی
فصل اول
مقدمه
1-1 پیشینهی تحقیق
یکی از موضوعات مهم در مکانیک کوانتومی، درهمتنیدگی یا همان آمیختگی حالتهای کوانتومی میباشد که یکی از مباحث مهم نظریهی اطلاعات کوانتومی به شمار میرود. از کاربردهای پدیدهی درهمتنیدگی میتوان به محاسبه کوانتومی ]3-1[، رمزنگاری کوانتومی ]5,4[ و انتقال کوانتومی ]7,6[ اشاره کرد.
امروزه شناخت ساختار و خواص سامانههای درهمتنیدهی کوانتومی توجه بسیاری از محققان را به خود جلب کرده است. به دلیل نوظهور بودن پدیدهی درهمتنیدگی کوانتومی، موضوعات فراوانی پیرامون این پدیده وجود دارند که از مهمترین آنها میتوان به دو موضوع زیر اشاره کرد،
1- تشخیص اینکه سامانههای مورد مطالعه، درهمتنیده میباشند یا خیر،
2- پیدا کردن بهترین معیار برای یافتن مقدار دقیق درهمتنیدگی سامانههای کوانتومی.
برای تعیین مقدار درهمتنیدگی سامانههای کوانتومی، معیارهای مختلفی ارائه شدهاند که از مهمترین این معیارها میتوان به تلاقی] 11-8[، نیمهتلاقی ]12[، منفیگرایی ]15-13[، آنتروپی وان نیومن ]8[، آنتروپی نسبی و ... اشاره کرد. ما در این پایاننامه فقط از معیار تلاقی برای تعیین مقدار درهمتنیدگی استفاده خواهیم کرد.
در مجموع، بررسی دو موضوع فوق فقط در مورد حالتهای محدود صورت گرفته است و تاکنون روش فراگیر و در عین حال ساده برای تعیین درهمتنیده بودن هر سامانهی کوانتومی و همچنین معیاری که مقدار دقیق درهمتنیدگی کوانتومی را نشان دهد یافت نشده است. به عنوان مثال، برای یک سامانهی دو قسمتی که شامل حالتهای خالص میباشد، اکثر معیارهای درهمتنیدگی نتیجه قابل قبولی را از خود نشان میدهند، در صورتیکه برای حالتهای مخلوط، تشخیص درهمتنیدگی و همچنین تعیین مقدار درهمتنیدگی کار بسیار پیچیده و مشکلی است. درهمتنیدگی حالتهای مخلوط از طریق درهمتنیدگی حالتهای خالص مشخص میشود]15[. مشکل اصلی محاسبه درهمتنیدگی حالتهای مخلوط یافتن کمترین مقدار درهمتنیدگی حالتهای خالص میباشد و تعیین مقدار درهمتنیدگی تاکنون فقط روی سامانههای محدودی مطالعه شده است.
رابطهای که توسط ویلیام ووترز و اسکات هیل برای تعیین مقدار درهمتنیدگی سامانههای دو کیوبیتی ارائه شده است، از روابط بسیار مهم در زمینهی درهمتنیدگی سامانههای کوانتومی به شمار میآید]16[.
مسئله مهم دیگر، حفظ درهمتنیدگی ایجاد شده در زیر سامانههای کوانتومی یک سامانه است. هنگامیکه سامانههای کوانتومی با محیط اطراف خود برهمکنش میکنند، محیط اختلالاتی روی سامانهی کوانتومی ایجاد کرده و موجب از بین رفتن درهمتنیدگی بوجود آمده میشود که به آن مرگ ناگهانی درهمتنیدگیمیگویند. همچنین باید روشی برای حفظ درهمتنیدگی ایجاد شده مطرح کرد و تلاش برای جلوگیری از مرگ ناگهانی درهمتنیدگی و امکان احیای دوبارهی آن نیز مورد بررسی قرار گیرد. این مطلب را تحت عنوان تقریب غیرمارکوفی، برای حفظ درهمتنیدگی مطالعه خواهیم کرد.
1-2 دورنمای پایاننامه
در فصل دوم این پایاننامه به مفاهیم اساسی مکانیک کوانتومی اشاره خواهیم کرد و در فصل سوم، به بررسی ناهمدوسی کوانتومی، درهمتنیدگی کوانتومی و معیار اندازهگیری آنها خواهیم پرداخت. ابتدا خواص حالتهای دو کیوبیتی و سه کیوبیتی را مطالعه خواهیم کرد و سپس درهمتنیدگی سامانههای خالص و مخلوط را توضیح خواهیم داد و معیار اندازهگیری درهمتنیدگی برای سامانههای دو کیوبیتی و سه کیوبیتی را معرفی خواهیم نمود.
در فصل چهارم برهمکنش سامانهی تک کیوبیتی و محیط را مورد بررسی قرار داده و ناهمدوسی ایجاد شده تحت اختلالات محیط با سامانهی کوانتومی را مطالعه میکنیم. برای جلوگیری از ناهمدوسی و حفظ همدوسی سامانهی کوانتومی، آن را تحت تقریبهای مارکوفی و غیرمارکوفی بررسی میکنیم.
در فصل پنجم برهمکنش سامانهی دو کیوبیتی را با محیط در نظر گرفته و این بار نیز، درهمتنیدگی ایجاد شده بین آنها را مورد بررسی قرار خواهیم داد. این برهمکنش موجب از بین رفتن درهمتنیدگی و مرگ ناگهانی آن میشود. همچنین روشی برای جلوگیری از مرگ ناگهانی و احیای دوبارهی درهمتنیدگی معرفی خواهیم کرد.
در فصل ششم نیز سامانهی سه کیوبیتی را تحت اثرات محیط در نظر میگیریم و درهمتنیدگی ایجاد شده بین این سامانهها را محاسبه میکنیم. در معرض محیط قرار گرفتن سامانهی کوانتومی موجب از بین رفتن درهمتنیدگی میشود و مشابه آنچه در فصل پنجم آمده است این بار نیز راه حلی برای جلوگیری مرگ ناگهانی درهمتنیدگی در نظر میگیریم.
در مقولهی حفظ همدوسی یا درهمتنیدگی باید از تقریبهایی استفاده کنیم. تقریبهایی که در این پایاننامه مورد استفاده قرار میگیرند، تقریبهای مارکوفی و غیرمارکوفی هستند. این تقریبها را برای جلوگیری از ناهمدوسی و مرگ ناگهانی درهمتنیدگی بکار میبریم و نتایج بدست آمده از این تقریبها را با توجه به شرایط مختلف مقایسه میکنیم و تقریب مناسب را تحت شرایط و حالتهای مختلف انتخاب مینماییم.
فصل دوم
مقدمهای بر مکانیک کوانتومی و مفاهیم اساسی آن
این فصل مروری مختصر بر تاریخچهی مکانیک کوانتومی است که زمینه را برای معرفی نظریهی اطلاعات کوانتومی و درهمتنیدگی کوانتومی مهیا میکند. در ادامه به بیان فضایبرداری، عملگرها، پیکرنویسی دیراک، اصل برهمنهی، بیت کلاسیکی و کوانتومی، ماتریس چگالی و ... میپردازیم.
2-1 مکانیک کوانتومی
هدف اصلی علم فیزیک توصیف تمام پدیدههای طبیعی قابل مشاهده (پدیدههای بزرگ مقیاس) برای بشر است. تا قبل از قرن بیستم، با دستهبندی پدیدههای قابل مشاهده تا آن روز، فرض بر این بود که طبیعت فقط از ذرات مادی تشکیل شده است. بنابراین، فیزیک کلاسیک دو نوع فرمولبندی برای توصیف این پدیدههای طبیعی در اختیار داشت. اولی مکانیک بود که دربارهی پیشبینی دینامیک اجسام بحث میکند؛ دومی نظریهی الکترومغناطیس بود که دربارهی امواج تابشی بکار برده میشود.
این دو رده از پدیدهها هر چند مجزا فرض میشدند اما بوسیلهی معادلهی نیروی لورنتس،
(2.1) F=e E+v B ،
به یکدیگر مربوط میشوند. در رابطهی (2.1)،F نیروی وارد بر ذرهای است که با بار الکتریکی e در میدانهای B و E با سرعتv حرکت میکند]17[.
در اوایل سال1900، علم فیزیک دستخوش دگرگونی عظیمی شد. توصیف کافی و حتی تقریبی تعداد روزافزونی از این پدیدهها و مشاهدات بوسیلهی قوانین فیزیکی که تا آن زمان فرمولبندی شده بودند با شکست مواجه شد. اولین کاستی و ضعف فیزیک کلاسیک، در توصیف پدیدههایی شامل ذرات کوچک نظیر الکترونها، اتمها و برهمکنش آنها با میدان الکترومغناطیسی مشاهده شد]17[.
در ابتدا این نقصها در فیزیک بوسیلهی فرضیات و اصول موضوعهی ویژهی مربوط به آنها توجیه میشد. اما با افزایش تعداد آنها روشن شد که فیزیک سامانههای کوچک نیازمند فرمولبندی کامل میباشد. به عبارت دیگر باید مدلی کوچک مقیاس ارائه میشد که میتوانست تا حد امکان اثرهای بزرگ مقیاس که فیزیک کلاسیک را با چالش مواجه کرده بودند، برطرف کند. نتیجهی تلاشها در این راستا منجر به ارائهی نظریهای به نام مکانیک کوانتومی گردید. برخی از این پدیدهها که در آن زمان فیزیک کلاسیک از توصیف آنها ناتوان بود و منجر به کشف مکانیک کوانتومی گردید عبارتاند از،
1- تابش جسم سیاه،
2- پراکندگی کامپتون،
3- اثر فوتوالکتریک.
ماکس پلانک با عنوان کردن اصل موضوعهی خود در سال 1900 مبنی بر اینکه تبادل انرژی بین اتمها و تابش به صورت مقادیر گسستهای از انرژی است، توانست بسیاری از این پدیدهها را با موفقیت توصیف کند]17[. پلانک نشان داد که به ازای یک بسامد معین ν، کوچکترین مقدار انرژی که میتواند مبادله شود برابر است با،
،E=h ν
که در آن h ثابت پلانک با مقداری معادل با،
(ژول – ثانیه) h=6/62377×10-34 joule-sec
میباشد. این واقعیت باعث گردید که بسیاری از پدیدههای موجود در طبیعت که از دیدگاه فیزیک کلاسیک قابل توصیف نبودند، به وسیلهی نظریهی کوانتومی توجیه شوند]17[.
2-2 مفاهیم اساسی در مکانیک کوانتومی
در این بخش به معرفی برخی از مهمترین مفاهیم موجود در مکانیک کوانتومی میپردازیم که در فصلهای بعدی با آنها سروکار خواهیم داشت.
2-2-1 فضای برداری
مجموعهی V را یک فضای برداری روی میدان F میگویند هرگاه دو عمل جمع و ضرب با خاصیتهای زیر در آن قابل تعریف باشند،
+ : ∀ x , y , z ∈ V; x+y ∈Vx+y=y+xx+y+z=x+(y+z)∃∘ ∈V : ∘+x=x .∃-x ∈V : -x+x= ∘
× : ∀ a , b ∈ F ;ax+y=ax+ay(a+b)x=ax+bxabx=abx=abx.∃ 1 ∈F : 1x=x
بسته به اینکه F میدان اعداد حقیقی R یا میدان اعداد مختلط C باشد فضای برداری V را فضای برداری حقیقی یا مختلط مینامند. به عنوان مثالRn یا مجموعهی nتاییهای مرتب حقیقی و همچنینCn یا مجموعهیn تاییهای مرتب مختلط تشکیل یک فضای برداری میدهند]18[.
2-2-2 ضرب داخلی و اندازه
در فضای برداریV عمل دوتایی V×V→C : , را یک ضرب داخلی مینامیم هرگاه در شرایط زیر صدق کند،
x,y+az = x,y+ax, zx,y= y,x*x,x ≥ ∘ .x,x= ∘ ⇒ x=∘
فضای برداری که به یک ضرب داخلی مجهز شده باشد فضای برداری ضرب داخلی نامیده میشود. در هر فضای برداری ضرب داخلی، اندازهی یک بردار را به صورت،
، x=x,xتعریف میکنند]18[.
2-2-3 پایه
کمترین تعداد بردارهای راست هنجار مستقل خطی که میتوانند فضای برداریV را پوشش دهند، بردارهای پایهی فضا نامیده میشوند V≔ei , i=1,…,N. شرط راست هنجاری به معنی آن است که ei ,ej =δi,j، که δi,j دلتای کرونیکر است. هر بردار x متعلق به فضایV را میتوان بر حسب بردارهای پایه فضا به صورت زیر بسط داد،
.x= i=1Nxiei
که در آن eiها به عنوان مثال بردارهای پایه راست هنجار در فضاهای برداریRn و Cn به شکل زیر هستند،
.e1=1∘⋮∘ e2=∘1⋮∘ … en=∘∘⋮12-2-4 عملگر خطی
یک فضای برداری که دارای خاصیت کاملبودن، خطی و تجزیهپذیر است و ضرب داخلی در آن نسبت به عملهای جمع و ضرب بسته میباشد را فضای هیلبرت مینامند. برای توصیف سامانههای کوانتومی از فضای برداری هیلبرت استفاده میشود. حالت هر سامانهی کوانتومی را با یک بردار در فضای مذکور مشخص میکنند.
در فضای برداری V نگاشت T :V →V را یک عملگر خطی میگویند هرگاه دارای خاصیت زیر باشد،
. Tx+ay= Tx+aTy ∀ a∈F , x,y ∈V
یک عملگر خطی تنها با اثرش روی بردارهای پایه مشخص میشود،
.Tei= j=1NTjiejماتریسT با درایههای Tji را ماتریس مربوط به تبدیل خطیT در پایهی ei مینامند و هرگاه پایه بهنجار باشد، میتوان نوشت]18[،
.ej ,Tei = Tji 2-2-5 ویژه بردار و ویژه مقدار عملگر
برای هر عملگری مانند T :V →V ویژه بردار عبارت است از یافتن بردارهای غیر صفری که تحت اثر این عملگر به مضربی از خود تبدیل شوند،
، Tx= λxبردار x غیر صفر خواهد بود هرگاه ماتریس T-λI وارونپذیر نباشد، برای این منظور لازم است که،
.detT-λI=∘
این معادله یک معادلهی درجهی N است که در حوزهی اعداد مختلط حتماً N جواب دارد که آنها را با λi , i=1,…,N نشان میدهیم. همهی ویژه مقادیر یک عملگر الزاماً از هم متفاوت نیستند، به این مسئله تبهگنی گفته میشود. هرگاه یک ویژه مقدار مانندλi ،gi بار تکرار شود گوییم درجهی تبهگنی آنgi است. بردار مربوط بهλi را که در معادلهیTxi =λi xi صدق میکند ویژه بردار مربوط به آن ویژه مقدار میگویند]18[.
2-2-6 عملگرهای هرمیتی
در یک فضای برداری، اگر عملگرA†، الحاقی A باشد، آنگاه درصورتی عملگرA هرمیتی نامیده میشود،
که،
.A†=Aیک عملگر هرمیتی دارای خواص زیر است،
1) ویژه مقادیر یک عملگر هرمیتی حقیقیاند،
2) ویژه بردارهای یک عملگر هرمیتی متناظر با ویژه مقادیر متفاوت، متعامدند]18[.
2-3 پیکرنویسی دیراک
فضای برداریV را که دارای بعد N است و با پایه بهنجار e1 , e2 , …,eN توصیف میشود در نظر میگیریم. هر بردارv∈V بسطی از بردارهای پایه به شکل زیر است،
.v= i=1Nviei
ضرب داخلی این بردار در خودش به صورت زیر نوشته میشود،
.v,v= i=1Nvi*vi
طبق پیکرنویسی دیراک میتوان به ازای هر چنین برداری یک بردار ستونی با نماد v و یک بردار سطری با نماد v به شکل زیر تعریف کرد،
.v=v1v2⋮vN ، v=v1*v2*…vN* در این پیکرنویسی بردار v را کت و بردار v را برا مینامند. ضرب این دو بردار درهم به صورت زیر خواهد بود،
.vv= i=1Nvi*vi=v,vدر رابطهی بالا عبارت سمت راست یک ضرب داخلی است اما عبارت سمت چپ ضرب دو ماتریس است. مزیت پیکرنویسی دیراک این است که با استفاده از این پیکرنویسی انواع عملیاتی که روی بردارها انجام میدهیم به انجام عملیات روی ماتریسها تقلیل مییابند. بردارهای پایه e1 , e2 , …,eN نیز در پیکرنویسی دیراک دارای نمایش کت و برا به صورت زیر خواهند بود،
e1 =1∘⋮∘ ، e2 =∘1⋮∘ ، eN =∘∘⋮1
.e1 =1∘…∘ ، e2 =∘1…∘ ، eN =∘∘…1 بنابراین از این پس با استفاده از این پیکرنویسی هر بردار را به شکل زیر خواهیم نوشت،
.v≔ i=1Nvii ، v≔ i=1Nvi* iدر این پیکرنویسی ضرب داخلی یک بردار کت مانند v در یک بردار برا مانند w به صورت زیر خواهد بود،
،wv= i=1Nwi*vi
که در واقع همان ضرب داخلی دو بردار w و v است. میتوان یک بردار کت مانند v را در یک بردار برا مانند w به صورت زیر در هم ضرب کرد و یک ماتریس بدست آورد،
.vw= v1w1*v1w2*v2w1*v2w2*…v1wN*…v2wN*⋮⋮vNw1*vNw2*⋮⋮…vNwN*دو خاصیت مهم در رابطه با کتها و براها که به ترتیب خاصیتهای راست هنجاری و کامل بودن نامیده میشوند، عبارتند از،
،ij= δij
.ii i=Iنمایش یک عملگر مانند T در این پیکرنویسی به صورت زیر است،
،T=(jj j)Tii i)=i,jTjij iکه بسط عملگرT بر حسب عملگرهای پایه j i است.
2-4 اصول موضوعه مکانیک کوانتومی و اصل برهم نهش
فرمولبندی مکانیک کوانتومی مبتنی بر تعدادی اصول موضوعه است که بخش اعظمی از مفاهیم پایهای کوانتومی را شامل میشود. در این بخش به صورت اجمالی به این اصول اشاره میکنیم،
اصل موضوعه اول (توصیف حالت یک دستگاه): در یک زمان مشخص t∘، حالت یک دستگاه فیزیکی با مشخص کردن یک کت ψ(t∘) متعلق به فضای حالت H تعیین میشود.
اصل موضوعه دوم (توصیف کمیتهای فیزیکی): هرکمیت فیزیکی قابل اندازهگیری ???? توسط یک عملگر هرمیتی که درH عمل میکند، توصیف میشود.
اصل موضوعه سوم (اندازهگیری کمیتهای فیزیکی): تنها نتیجهی ممکن اندازهگیری یک کمیت فیزیکی ???? یکی از ویژه مقادیر عملگر متناظر با آن، A است.
اصل موضوعه چهارم (یک طیف گسسته ناتبهگن): وقتی کمیت فیزیکی ????ی دستگاهی که در حالت بهنجار شده ψ قرار دارد اندازهگیری میشود، احتمال p(an) برای بدست آوردن ویژه مقدار ناتبهگن an مشاهدهپذیر Aی متناظر برابر است با،
، p(an)=unψ2که در آن un عبارت است از ویژه بردار بهنجار شده A متناظر با ویژه مقدار an.

متن کامل در سایت امید فایل 

اصل موضوعه چهارم (یک طیف گسسته تبهگن): وقتی کمیت فیزیکی ????ی دستگاهی که در حالت بهنجار شده ψ قرار دارد اندازهگیری میشود، احتمال p(an) برای بدست آوردن ویژه مقدار an مشاهدهپذیر Aی متناظر برابر است با،
، pan= i=1gn|<uniψ|2که در آن gn درجهی تبهگنی an و {uni} (i=1,2,…,gn) مجموعه بردارهای راست هنجاری هستند که در ویژه فضای Hn متناظر با ویژه مقدار an عملگر A، تشکیل یک پایه میدهند.
اصل موضوعه چهارم (یک طیف پیوسته ناتبهگن): وقتی کمیت فیزیکی ????ی دستگاهی که در حالت بهنجار شده ψ قرار دارد اندازهگیری میشود، احتمال dp(α) برای یافتن نتیجهای بین α+dα و α برابر است با،
، dpα=ναψ2dαکه در آن να عبارت است از ویژه بردار متناظر با ویژه مقدار αی متعلق به مشاهده پذیر Aی وابسته به ????.
اصل موضوعه پنجم: اگر اندازهگیری کمیت فیزیکی ???? روی دستگاهی که در حالت ψ است نتیجه an را بدهد، حالت دستگاه بلافاصله بعد از اندازهگیری عبارت است از،
، PnψψPnψ
یعنی تصویر بهنجار شده ψ روی ویژه فضای متناظر با an. تصویرگر Pn به صورت زیر تعریف میشود،
.Pn=i=1gnuni uniاصل موضوعه ششم (تحول زمانی دستگاهها): تحول زمانی بردار حالت ψ(t) از معادله شرودینگر،
(2.2) iħddtψ(t) =H(t)ψ(t)،
بدست میآید، که خطی و همگن است و H(t) مشاهدهپذیر وابسته به انرژی کل دستگاه است. از خواص عمومی معادله شرودینگر اصل برهم نهش است.
معنای فیزیکی اصل موضوعه اول باید مورد رسیدگی قرار گیرد. برطبق این اصل موضوعه، حالتهای یک دستگاه فیزیکی به یک فضای برداری تعلق دارند که بطور خطی قابل برهم نهش هستند. فرض کنید ψ1 و ψ2 دو حالت بهنجار شده متعامد باشند، داریم،
، ψ1ψ1=ψ2ψ2=1 .ψ1ψ2 =∘ψ1 و ψ2 میتوانند به عنوان مثال دو ویژه حالت یک مشاهدهپذیر B، متناظر با دو ویژه مقدار متفاوت b2 و b1 باشند.
اگر دستگاه در حالت ψ1 باشد، میتوانیم تمام احتمالهای مربوط به نتایج اندازهگیری یک مشاهدهپذیر معین A را محاسبه کنیم. به عنوان مثال، اگر un یک ویژه بردار (بهنجار شده) A متناظر با ویژه مقدار گسسته an (که فرض میشود ناتبهگن است) باشد، احتمال p1(an) برای یافتن an، در اندازهگیری A، وقتیکه دستگاه در حالت ψ1 است عبارت است از،
.p1an=|unψ1|2یک کمیت مشابه، p2an، برای حالت ψ2 میتواند تعریف شود،
.p2an=|unψ2|2اکنون یک حالت بهنجار شدهی ψ را که برهم نهش خطی از ψ1 و ψ2 است درنظر بگیرید،
،ψ=λ1ψ1+λ2ψ2 .λ12+λ22=1غالباً گفته میشود وقتی سامانه درحالت ψ است، احتمال یافتن آن در حالت ψ1 برابر با λ12 و احتمال یافتن آن در حالت ψ2 برابر با λ22 است]19[.
2-5 ضرب تانسوری فضاهای برداری
ضرب تانسوری روشی برای ساخت فضاهای برداری با ابعاد بزرگتر است. این گونه فضاها در توصیف مکانیک کوانتومی سامانههای بس ذرهای اهمیت بسیار دارند. فرض کنید که V فضای برداری با ابعاد n و پایه راست هنجاری به صورتii=1n باشد و W نیز یک فضای برداری با ابعاد m و پایه راست هنجار jj=1m باشد. در این صورت فضای تانسوریV⊗W یک فضای mn بعدی است که پایه راست هنجار آن به صورتi⊗j=i,ji=1,j=1n,m تعریف میشود. اگر A و B عملگرهای خطی باشند که به ترتیب در فضاهایV وW عمل میکنند. v و w به ترتیب بردارهایی در این دو فضا باشند، عملگر خطی A⊗B را به صورت زیر تعریف میکنیم،
.A⊗B(v⊗w)=Av⊗Bwاز خطی بودن A⊗B میتوان نتیجه گرفت که،
.A⊗Biaivi⊗wi= iaiAvi⊗Bwi2-6 ماتریس چگالی
در تمامی مواردی که سامانهی کوانتومی جزئی از یک سامانهی بزرگتر است، حالت سامانه به وسیلهی یک ماتریس چگالی توصیف میشود. فرض کنید که یک سامانه از دو زیر سامانهی A و B تشکیل شده باشد. بنابر اصول موضوعهی مکانیک کوانتومی فضای هیلبرت این سامانهی دو جزئی، HAB= HA⊗HB است. چنانچهii=1M پایه زیر فضای HA و μμ=1N پایه زیر فضای HB باشند آنگاه یک حالت کلی از سامانه ABتوسط بردار حالت زیر توصیف خواهد شد،
.ψAB= i,μψiμi,μماتریس چگالی توصیف کنندهی سامانهی ABعبارت است از،
(2.3) ،ρABt=ψAB ABψ= i,j,μ,vψiμψj,v*i,μj,vو اثر هر عملگری مانند MA روی زیر سامانهی A معادل است با اثر عملگر MA⊗I روی سامانهی AB.
در نتیجه خواهیم داشت،
MA=ψMAψ =TrAB(MA⊗Iψ⟨ψ) =TrAtrBMA⊗Iψ⟨ψ= TrA(MA ρA) که در آن ρA=TrB(ψ⟨ψ) ماتریس چگالی زیر سامانهی A نامیده میشود. به طریق مشابه ماتریس چگالی زیر سامانهی B نیز با رابطهی ρB=TrA(ψ⟨ψ) مشخص میشود. با توجه به رابطهی (2.3) داریم که ماتریس چگالی به صورت زیر است،
.ρA=i,jρijij ، ρB=μ,vρμvμvبنابراین میتوان ویژه مقادیر و ویژه بردارهای آن را محاسبه کرد و این عملگر را بر حسب آنها به صورت زیر بسط داد،
، ρ=i=1Nλiiiدر این رابطه λi ویژه مقدار iام و i ویژه بردار متناظر و N بعد فضای هیلبرت یا بعد ماتریس چگالی است. رابطهی بالا را میتوانیم چنین تفسیر کنیم که حالت ρ مخلوطی از حالتهای i که هر کدام با ضریبی از λi است.
در این پایاننامه سامانهی مورد کاربرد ما به صورت اتمهای دو ترازه میباشد، برای بدست آوردن آن از ماتریسهای پاؤلی استفاده میکنیم که به صورت مختصر در ذیل آنها را معرفی میکنیم.
2-7 ماتریسهای پاؤلی

تحقیق علمی - دانلود فایل

شکل3-2: نمودار بیشینه ی همبستگی کلاسیکی بر حسب r1,r'2 در حالت Vk=v0δ(k)........... 53
شکل3-3: نمودار ناسازگاری کوانتومی بر حسب r1,r'2 در حالت Vk=v0δ(k)...................................54
شکل3-4: نمودار اطلاعات متقابل کوانتومی بر حسب rrc در حالت Vk=v0δ(k)............................57
شکل3-5: نمودار بیشینه ی همبستگی کلاسیکی بر حسبrrc در حالت Vk=v0δ(k)..................59
شکل3-6: نمودار ناسازگاری کوانتومی بر حسب rrc در حالت Vk=v0δ(k)........................................60
شکل3-7: نمودار اطلاعات متقابل کوانتومی برحسب r1rc,r'2rc در حالت Vk=const............65
شکل3-8: نمودار بیشینه همبستگی کلاسیکی برحسب r1rc,r'2rc در حالت Vk=const.....67
شکل3-9: نمودار ناسازگاری کوانتومی برحسب r1rc,r'2rc در حالت Vk=const........................67
شکل3-10: نمودار آنتروپی نسبی درهمتنیدگی برحسب r1rc,r'2rc در حالت Vk=const......70
شکل3-11: نمودار اطلاعات متقابل کوانتومی برحسب rrc در حالت Vk=const................................73
شکل3-12: نمودار بیشینه همبستگی کلاسیکی برحسبrrc در حالت Vk=const...........................75
شکل3-13: نمودار ناسازگاری کوانتومی برحسبrrc در حالت Vk=const...........................................76
شکل3-14:نمودار آنتروپی نسبی درهمتنیدگی rrc در حالت Vk=const.............................................79
شکل3-15: نمودار ناسازگاری کوانتومی برحسب rrc در حالتVk=ν0δ(k) به ازای α=10.22 و α=10.72 و α=11.22...................................................................................80
شکل3-16: نمودار ناسازگاری کوانتومی در حالت Vk=ν0δ(k) برحسب V(0)Vc.......................81
شکل3-17: نمودار ناسازگاری کوانتومی بر حسب rrc درحالت Vk=const به ازای
λ=10.2,χ=80.2 ، λ=10.7,χ=80.7 و λ=11.2,χ=81.2........................82
شکل3-18: نمودار ناسازگاری کوانتومی برحسب V(0)Vc بافرض Δ=1 و Γ=8................................83
شکل3 -19: نمودار مشتق ناسازگاری کوانتومی برحسب V(0)Vc بافرض Δ=1 و Γ=8....................83
شکل3-20: نمودارناسازگاری کوانتومی و تابع توافق برحسبrrc در حالت Vk=const....................85
شکل3-21: نمودار تابع توافق بر حسب V(0)Vcنمودار(1) ϑϑ0=8، ϑ'ϑ0=7 . نمودار(2) ϑϑ0=8، ϑ'ϑ0=6. نمودار (3) ϑϑ0=8، ϑ'ϑ0=5...................................................................................86
شکل3 -22: نمودار مشتق اول تابع توافق بر حسبV(0)Vc در حالت ϑϑ0=8 ، ϑ'ϑ0=7..........86
شکل3 -23: نمودار مشتق دوم تابع توافق برحسب V(0)Vc در حالت ϑϑ0=8 ، ϑ'ϑ0=7........87
فهرست علایم و نشانه‌ها
عنوانعلامت اختصاری
اطلاعات متقابل کوانتومی.............................................................................................................................Iبیشینهی همبستگی کلاسیکی..................................................................................................................Jناسازگاری کوانتومی ............................................................................................................................DABoriتابع گرین تک ذرهایG'تابع گرین غیر عادیG'21چگالی n0تابع توافق......................................................................................................................................................Cآنتروپی نسبی درهمتنیدگی......................................................................................................Ereفصل اول
ناسازگاری کوانتومی در سیستم‌های دو بخشی و چند بخشیمقدمهامروزه محاسبات و اطلاعات کوانتومی توجه بسیاری از محققان مجامع مختلف علمی از جمله فیزیک، علم اطلاعات و ریاضیات را به خود جلب کرده است]1[.
درهمتنیدگی به عنوان عامل کلیدی پردازش اطلاعات کوانتومی در نظر گرفته شده است. درهمتنیدگی نقش مهمی در بسیاری از قراردادهای کوانتومی از جمله انتقال کوانتومی، توزیع کلید کوانتومی و الگوریتم کوانتومی بازی میکند]2[. با این حال درهمتنیدگی کوانتومی تنها نوع مناسب همبستگی کوانتومی برای پردازش اطلاعات کوانتومی نیست]3-5[. هم به صورت تئوری]6-13[ و هم به صورت عملی]14[ نشان داده شده است که برخی کارها را می توان به وسیلهی حالت های کاملا جدا و بسیار آمیخته بر همتایان کلاسیکی تسریع کرد.
ناسازگاری کوانتومی که در ابتدا در] 15،16[ معرفی شد، نوع دیگری از همبستگی کوانتومی است که با درهمتنیدگی متفاوت است. در سال 2008 نشان داده شده است که حالت های جدا را به وسیلهی ناسازگاری کوانتومی میتوان برای اجرای قطعی محاسبات کوانتومی با یک کیوبیت، مورد استفاده قرار داد]14[. بعدها سایر اندازهگیری ناسازگاری کوانتومی به وسیلهی چندین نویسنده پیشنهاد شد]17،18[.
بطور کلی دو نوع ناسازگاری وجود دارد:
ناسازگاری مبتنی بر اندازه گیری
ناسازگاری مبتنی بر فاصله
تعریف اصلی ناسازگاری در ]15،16[ مبتنی بر فاصله است. این نوع ناسازگاری بر اساس این حقیقت است که اندازهگیری منطقهای از یک سیستم چند جزئی کل سیستم را مختل می کند. به طور کلی بدست آوردن تمام اطلاعات موجود در یک سیستم فقط با اندازهگیریهای منطقهای بر روی آن امکانپذیر است که کاملا با سیستمهای کلاسیکی متفاوت است.
به طور فیزیکی ناسازگاری کوانتومی، مقدار اطلاعات متقابل سیستم چند جزئی که به طور منطقهای قابل دسترسی نیست را اندازهگیری میکند.
ناسازگاری مبتنی بر فاصله در ]17،18[ اتخاذ شده است. این نوع از ناسازگاری به عنوان حداقل فاصله از یک تراز کوانتومی و تمام ترازها با تراز صفر ناسازگاری تعریف میشود. در ]17[ نویسندگان، آنتروپی نسبی را به عنوان یک اندازهگیری فاصلهی میان دو تراز در نظر گرفتهاند.
در ]17[ با کمک آنتروپی نسبی کوانتومی یک دیدگاه یکپارچه برای همبستگی مقرر کردند.
در مقایسه با تعریف اصلی ناسازگاری کوانتومی این نوع تعریف اجازه میدهد تا تمام همبستگیها (همبستگی کلاسیکی، ناسازگاریکوانتومی، ناهنجاریو درهمتنیدگی) در یک جایگاه قرار دهیم.
برخلاف ]17[ در ]18[ نویسندگان قاعدهی مربع در فضای هیلبرت-اشمیت را به عنوان یک اندازهگیری فاصله میان دو تراز مقرر کردند، بخصوص برای سیستمهای دوکیوبیتی دلخواه در ]18[ یک عبارت تحلیلی بدست آمده است. این شبیه اندازهگیری هندسی درهمتنیدگی کوانتومی است]19[. به عبارت دیگر این نوع اندازهگیری، اندازهگیری هندسی ناسازگاری کوانتومی(ناسازگاری هندسی) نیز نامیده میشود. همچنین روشهای دیگر اندازهگیری ناسازگاری کوانتومی در ]20،21[ عنوان شده است. دینامیک ناسازگاری کوانتومی در چندین سیستم فیزیکی از جمله حفرهی QED ]26-22[، زنجیرههای اسپینی]30-27[ و نقاط کوانتومی]31[ به طور گسترده در چند سال اخیر بررسی شدهاند.
یکتایی]32[ و قانون بقا]33[ درهمتنیدگی و ناسازگاری نیز همچین مورد بحث قرار گرفته است.
علاوه بر این اثرات غیرمارکووین بر دینامیک ناسازگاری کوانتومی مورد مطالعه قرار گرفته است]34،35[.
در قسمت (1-2) ، ابتدا ناسازگاری مبتنی بر اندازهگیری یا ناسازگاری اصلی معرفی شده در ]15،16 [را معرفی می کنیم. همچنین سایر اندازهگیریهای ناسازگاری مبتنی بر اندازهگیری شامل ناسازگاری کروی و ناسازگاری گاووسی را مورد بررسی قرار میدهیم و در مورد خواص اصلی آنها بحث میکنیم. در قسمت (1-3) دو نوع ناسازگاری مبتنی بر فاصله را بررسی میکنیم: ناسازگاری مبتنی بر آنتروپی نسبی و ناسازگاری مبتنی بر قاعدهی مربع( ناسازگاری هندسی). در قسمت (1-4)، بطور خلاصه سایر اندازهگیریهای همبستگی کوانتومی مانند اختلال القایی ناشی از اندازهگیری، کسر کوانتومیو اطلاعات دور از دسترس منطقهای را مورد بررسی قرار میدهیم. در قسمت (1-5)، دینامیک ناسازگاری کوانتومی در چندین سیستم را مورد بررسی قرار میدهیم.
1-2- ناسازگاری مبتنی بر اندازه‌گیری برای سیستم کلاسیکی این بدیهی است که فرد میتواند در حقیقت تمام اطلاعات سیستم را بدون آنکه اختلالی در آن ایجاد کند بدست آورد، ولی برای سیستمهای کوانتومی عموما این کار غیر ممکن است.
اندازهگیریها میتواند سیستمهای کوانتومی را تغییر دهد و دو عبارت معادل اطلاعات متقابل در تئوری اطلاعات کوانتومی برای سیستمهای کوانتومی یکسان نیستند. این ایدهی ناسازگاری مبتنی بر اندازهگیری است، که بعدا به طور مفصل آن را بررسی خواهیم کرد.
1-2-1- تعریف اصلی ناسازگاری1-2-1-1- تعریف ناسازگاریفرض کنید که دو متغیر xو y داریم که عدم آگاهی به‌ترتیب به‌وسیله‌ی آنتروپی شانون H(x)و H(y) توصیف می‌شود.
(۱-٢-۱)Hx=-px∈xpxlog2px به عبارت دیگر آنتروپی شانون متغیر x، به این معناست که یک فرد پس از اینکه مقدار میانگین x را می‌داند چه میزان اطلاعات می‌تواند بدست آورد ]1[.
در تئوری اطلاعات کلاسیکی]1[ دو عبارت معادل برای اطلاعات متقابل وجود دارد. اولین تعریف به صورت:
(٢-٢-۱)Ix:y=Hx+Hy-Hx,y که
(٣-٢-۱)Hx,y=-p(x,y)∈(x,y)p(x,y)log2p(x,y) آنتروپی مشترک زوج (x,y) است. این عبارت عدم آگاهی ما را در مورد جفت (x,y) محاسبه می‌کند.
عبارت دوم به صورت زیر است:
(۴-٢-۱)Jx:y=Hx-HxyHxy را اطلاعات xمشروط به y می‌خوانیم (آنتروپی شرطی x اگر yداده شده باشد).
این کمیت بیان کننده‌ی میزان اطلاعات باقی‌مانده در x است، هرگاه ما مقادیر yرا داشته ‌باشیم.
باید توجه داشت که این تابع متقارن نیست، یعنی:
(۵-٢-۱)Hxy≠Hyxمثلا ما می‌دانیم که هوای ابری (x) و بارانی (y) با هم ارتباط دارند، اگر به ما بگویند که باران آمده‌است ما قطعا می‌توانیم بگوییم که هوا ابری بوده است ولی اگر می‌گفتند که هوا ابری است ما با قاطعیت نمی‌توانستیم بگوییم باران در حال بارش است و امکان داشت باران نبارد.
در تئوری اطلاعات کلاسیکی بیان می‌شود:
(۶-٢-۱)Hxy=Hx,y-Hy و دو تعریف اطلاعات متقابل در (1-2-2) و (1-2-4) یکسان هستند. وضعیت اساسا در تئوری اطلاعات کوانتومی متفاوت است، چون اندازه‌گیری‌ها می‌توانند سیستم‌های کوانتومی را مختل کنند. فرض کنید که می‌خواهیم ببینیم که شیشه‌های نشکن چقدر در مقابل گرما و یا ضربه مقاوم هستند. اگر در یک کارخانه بخواهند این امتحان را روی تک تک محصولاتشان امتحان کنند خودشان تمام محصولاتشان را خواهند شکاند. در تئوری اطلاعات کوانتومی هم اگر بخواهیم روی تک تک اجزا اندازه‌گیری انجام دهیم، سیستم مختل خواهد شد و سیستم به حالت جدید در می‌آید.
در نتیجه دو عبارت اطلاعات متقابل معادل Iو J برای سیستم‌های کوانتومی غیر‌منطبق هستند. در تئوری اطلاعات کوانتومی آنتروپی شانون متغیرهای تصادفی x، (x,y) و y به وسیله ی آنتروپی وننیومن ρAB، ρA و ρB جایگزین می‌شوند. اینجا ρAB ماتریس چگالی تمام سیستم AB، ρA=TrB(ρAB) و ρB=TrAρAB ماتریس چگالی کاهش یافته‌ی زیرسیستم A و Bهستند.
آنتروپی وننیومن یک ماتریس چگالی برابر است با :
(۷-٢-۱)Sρ=-Tr(ρlog2ρ) فرض کنید مجموعهای از اندازه‌گیری‌های منطقهای (اندازه‌گیری‌های وننیومن) را روی زیر سیستم انجام داده‌ایم (یعنی روی هر نقطهی J از زیر سیستم Bعملگر تصویر را روی آن اثر داده‌ایم). اندازه‌گیریهای ΠB(j)=jBjB زیر سیستم Bو سیستم کلی ABرا به طور همزمان مختل خواهد کرد.
حالت کل سیستم مربوط به اندازه‌گیری ΠB(j) برابر است با :
(۸-٢-۱)ρAB|j=1pjIA⨂∏B(j)ρABIA⨂∏B(j)که IA ماتریس یکانی زیر سیستم A است. اینجا ما فقط روی زیر سیستم B اندازه‌گیری انجام داده‌ایم. توجه کنیدکه:
(۹-٢-۱)pj=Tr(IA⨂∏B(j)) ρAB(IA⨂∏B(j))احتمال بدست آوردن نتیجهی j است.
آنتروپی شرطی
(۱۰-٢-۱)SρAB∏B(j)=jpjSρA|jکه در آن
(۱۱-٢-۱)ρA|j=TrBρAB|jماتریس چگالی کاهش یافته‌ی زیر سیستم A بعد از اندازه‌گیری می‌باشد.
بنابراین دو عبارت اطلاعات کوانتومی به صورت زیر تعریف می‌شود:
(۱٢-٢-۱)IρAB=SρA+SρB-SρABو
(۱٣-٢-۱)JρAB=SρA-S(ρAB|∏B(j))در]15،16[ ذکر شده است که این دو کمیت به طور‌کلی متفاوت هستند.
اندازه‌ی اصلی ناسازگاری به صورت زیر تعریف می‌شود:
(۱۴-٢-۱)DABoriρAB=IρAB-max∏B JρABاز تمام اندازه‌گیریهای ممکن ∏B(j) حداکثر آن را انتخاب کرده‌ایم. این کار برای از بین بردن وابستگی ناسازگاری به اندازه‌گیری تعریف شده‌است، بخش اول عبارت مجموع همبستگی تمام سیستم است (هم کلاسیک و هم کوانتومی) و بخش دوم عبارت فوق تمام اطلاعاتی را که می‌توان با انجام اندازه‌گیری‌های منطقه‌ای فقط بر روی زیر سیستم B بدست آورد را نشان می‌دهد. اغلب این عبارت (بخش دوم) به عنوان همبستگی کلاسیکی نامیده می‌شود]16[.
از مطالبی که گفته شد به این نتیجه می‌رسیم که ناسازگاری اختلاف میان تمام همبستگی‌ها و همبستگی کلاسیکی است که بیانگر این است که همبستگی کوانتومی منطقه‌ای قابل دسترسی نیست]31[.
در اینجا عبارت DABori بیانگر ناسازگاری کوانتومی ρAB بوسیله‌ی انجام اندازه‌گیری روی زیر سیستم B می‌باشد. می‌توان اندازه‌گیریها را روی زیر سیستم A انجام داد و ناسازگاری معادل به شکل DABori نشان داده می‌شود. توجه داشته باشید که ما همچنین می‌توانیم اندازه‌گیریهای عملگر مقدار مثبتی نیز انجام دهیم]21[.
یک تعریف معادل ناسازگاری به شکل زیر بیان میشود:
(١۵-٢-۱)DABoriρAB=IρAB-maxΠBIΛBρABکه
(١6-٢-۱)ΛBρAB=jIA⨂∏B(j)ρABIA⨂∏B(j)=jpjρA|j⨂jBjBبا استفاده از ویژگیهای ابتدایی وننیومن (به معادله‌ی (57-11) در ]1[ نگاه کنید)، می‌توان ثابت کرد که تعریف بالایی ناسازگاری با تعریف اصلی آن که در رابطه‌ی (1-2-14) آمده است، معادل می‌باشد. این تعریف ناسازگاری می‌تواند به عنوان از دست دادن حداقل همبستگی اندازه‌گیری شده به وسیله‌ی اطلاعات متقابل کوانتومی ناشی از اندازه‌گیری تفسیر کرد.
می‌توان به وضوح از معادلات (1-2-15) و (1-2-16) دید که مانع اصلی در محاسبه‌ی ناسازگاری، روند دشوار در بهینهسازی است. بنابراین، بررسی ناسازگاری کوانتومی برای ترازهای عمومی سخت است. حتی برای ساده‌ترین حالت ترازهای دو کیوبیتی عبارت‌های تحلیلی ناسازگاری فقط برای رده‌های خاص دارای ترازهای بسیار متقارن از جمله بل-قطری]37[، رتبه‌ی2 ]38[ و ترازهای x ]39 [بدست آمده است.
به تازگی ناسازگاری کوانتومی ترازهای x، N- کیوبیتی نیز محاسبه شده است]40[.
1-2-1-2- ویژگیهای اساسی ناسازگاری اصلیدر اینجا بعضی از ویژگی‌های اساسی ناسازگاری را به طور خلاصه بیان می‌کنیم:
ناسازگاری غیرمنفی است و تقریبا تمام ترازهای کوانتومی، ناسازگاری غیر صفر دارند]36،41[.
(۱۷-٢-۱)DABoriρAB≥0(١۸-٢-۱)DABoriρAB≥02- ناسازگاری صفر است اگر و تنها اگر اندازه گیریهای منطقهای نتوانند سیستم کوانتومی را مختل کنند]15[ یعنی
(١۹-٢-۱)DABoriρAB=0⟺ΛBρAB=ρAB(٢۰-٢-۱)DABoriρAB=0⟺ΛAρAB=ρAB3- ناسازگاری غیرمتقارن است یعنی به طور کلی
(٢١-٢-۱)DABori≠DABori 4- ناسازگاری بر اثر انتقال واحد منطقهای تغییر نمیکند.
ویژگی اول از آنجا ناشی میشود که یکنواختی آنتروپی نسبی کوانتومی و این حقیقت که اطلاعات متقابل کوانتومی تحت اندازهگیری منطقهای کاهش مییابد]36[.
در معادلهی (15-1) مشاهده میکنیم که اطلاعات متقابل کوانتومی تراز کوانتومی قبل از اندازه گیری همواره بزرگتر مساوی تراز کوانتومی بعد از اندازهگیری است.
این در]41[ بصورت عددی نشان داده شده است که تقریبا تمام ترازهای کوانتومی ناسازگار هستند (به همراه ناسازگاریهای غیر صفر). حال یک مثال ساده برای بررسی ویژگیهای 2 و 3 ارائه میدهیم.
تراز دو کیوبیتی را به صورت زیر در نظر بگیرید:
(٢٢-٢-۱)ρAB=1200⨂00+11⨂++که در آن
(٢٣-٢-۱)|+=120+1 در تراز فوق درهمتنیدگی نیست. به عبارت دیگر میتوان به سادگی دید که:
(٢4-٢-۱)DABori=0به دلیل اینکه
(٢5-٢-۱)ΛAρAB=ρABبه عبارت دیگر هر اندازهگیری تصویری روی کیوبیت دوم اثر کند، کیوبیت اول را مختل میکند و ناسازگاری کوانتومی DAB غیر صفر است. توجه کنید که برای بعضی ترازها DABori=DABori و این با ویژگی سوم در تضاد نیست. ویژگی چهارم در نتیجهی این واقعیت است که آنتروپی وننیومن SΛA(ρAB) برابر است با :
(٢6-٢-۱)SUA⨂UBΛAρABUA⨂UB†ویژگی پنجم را می توان به صورت مستقیم با استفاده از تجزیهی اشمیت یک تراز خالص بررسی کرد]37[. اما با این حال ناسازگاری با آنتروپی وننیومن درهمتنیدگی برای ترازهای مخلوط برابر نیست. ترازهای جدا هنوز میتوانند ناسازگاری غیرصفر داشته باشند. برای مثال یک حالت ورنر
(٢7-٢-۱)pψψ+1-p/4اگر p<1/3 باشد غیردرهمتنیده است در حالی که برای 0<p<1/3 ناسازگاریاش از صفر بیشتر است. برای جزئیات بیشتر به مرجع]37[ مراجعه کنید. در پایان میخواهیم به این اشاره کنیم که میتوان یک نسخهای از ناسازگاری تعریف کرد که در آن ناسازگاری متقارن باشد، به این صورت که:
(٢8-٢-۱)DABsym=12DAB+DAB همچنین می توان یک ناسازگاری کوانتومی دوطرفه به این شکل که
(٢9-٢-۱)DABmax=maxDAB,DABتعریف کرد. بنابراین برای یک حالت کوانتومی ρAB اگر DABmax برابر صفر باشد به طور کامل همبستگی کوانتومی را شامل نمی شود.
1-2-2- ناسازگاری گاووسی1-2-2-1- تعریف ناسازگاری گاووسیسیستمهای متغیرهای پیوسته برای پردازش اطلاعات کوانتومی بسیار مهم هستند]42[. یک دستهی مهم ترازهای متغیر پیوسته، ترازهای گاووسین هستند که از جملهی آنها توابع ویگنرمیباشد. کمترین اندازه از میان تمام اندازهگیریهای ممکن در یک سیستم هنوز مانع اصلی محاسبات ناسازگاری برای ترازهای پیوسته است. برای یک تراز گاووسی، عبارت تحلیلی ناسازگاری کوانتومی از]43،44[ نتیجهگیری شدهاند. توجه کنید که اندازهگیریها هم گاووسین هستند، برای مثال ترازها هنوز گاووسی هستند. این واضح است که یک تراز گاووسی دو حالته ρAB به وسیلهی ماتریس همواریانسش σ تا جابجایی منطقهای کاملا توصیف شده است:
(3۰-٢-۱)σij=TrρABRiRj+RjRiکه R=xA,pA,xB,pB بردار عملگرهای مکان فاز، با استفاده از عملگرهای واحد منطقهای ماتریس هم واریانس، یک تراز گاووسی دو حالته میتواند به یک حالت استاندارد با زیر بلوک قطری
(3۱-٢-۱)σ=αγγ†βتبدیل شود.
گاووسین ناسازگاری به صورت زیر است ]43، 44[:
(٣٢-٢-۱)DgauρAB=fB-fλ+-fλ-+fBکه
(٣٣-٢-۱)fX=X+12LogX+12-X-12LogX-12A=detαB=detβC=detγD=detσ2λ±2=∆±∆2±4D∆=A+B+2Cکه اگر g≤0 باشد آنگاه
(٣4-٢-۱)Em=2C2+B-1D-A+2CC2+B-1D-AB-12و اگر g>0 باشد آنگاه
(٣5-٢-۱)Em=AB-C2+D-C4+-AB+D2-2C2AB+D2Bکه
(٣6-٢-۱)g=D-AB2-C2B+1D+Aو در مواردی که g≤0 باشد ناسازگاری گاووسین به وسیلهی یک مجموعهای از اندازهگیری های هیتروداین بهینهسازی میشود و ترازها بعد از اندازهگیریها، ترازهای فشردهی حرارتی میشوند. در مواردی هم که g>0 باشد ناسازگاری گاووسین به وسیلهی یک مجموعهای از اندازهگیریهای هیتروداین بهینهسازی میشوند و ترازها بعد از اندازهگیریها، ترازهای خالص بینهایت فشرده میشوند]43[.
1-2-2-2- ویژگیهای اصلی ناسازگاری گاووسینویژگیهای بنیادین ناسازگاری گاووسین به شرح زیر است:
تقریبا تمام ترازهای گاووسین دو حالته، ناسازگاری گاووسین غیر صفر دارند]43،44[.
ناسازگاری گاووسین ترازهای گاووسین جدای دو حالته کوچکتر مساوی یک است]43،44[.
ترازهای گاووسین در مقابل غیردرهمتنیدگی ناشی از آشفتگیهای تحولات در کانالهای گاووسین- مارکاوین قویترین ترازهای متغیرهای پیوستهی دو جزئی با انرژی ثابت هستند]45[.
نویسندگان در]46[ سیر تکامل ناسازگاری گاووسین میان دو نوسانگر هارمونیک دارای تشدید که در محیط مشترک با هم اندرکنش دارند را بررسی کردهاند. آنها استدلال میکنند که ناسازگاری گاووسین امکان دارد همیشه یک تقریب خوب برای ناسازگاری نباشد، چون نشان داده شده است که ارزش تقریبیاش میتواند تابع غیرکاهشی دما باشد]46[. در ]47[در مورد ناسازگاری هندسی برای ترازهای گاووسین بحث شده است. همچنین در مورد همبستگی کوانتومی ترازهای غیر گاووسی ورنر نیز مطالعاتی انجام شده است]48[.
1-2-3- ناسازگاری کروی
1-2-3-1- تعریف ناسازگاری کروی
تعریف اصلی ناسازگاری نامتقارن است و برای سیستمهای چند ذرهای مناسب نیست. در ]49[نویسندگان یک اندازهگیری متقارن برای همبستگی کوانتومی چند ذرهای پیشنهاد دادهاند که آن را ناسازگاری کروی نامیدهاند. این روش در واقع یک تعمیم ناسازگاری اصلی که برای سیستم های دو ذرهای است، میباشد. فرض کنید یک سیستم N- ذرهای داریم که شامل A1,A2,…,AN است، که دارای ماتریس چگالی ρ1,ρ2,…,ρN هستند.
حال مجموعهای از اندازهگیریهای منطقهای
(٣7-٢-۱)∏A1(j1)⨂∏A2(j2)⨂⋅⋅⋅∏AN(jN)را انجام میدهیم. ناسازگاری کروی به شرح زیر تعریف می شود:
(٣8-٢-۱)Dglo(ρA1,A2,⋅⋅⋅,AN)=min∏SρA1,A2,⋅⋅⋅,AN∥ΛρA1,A2,⋅⋅⋅,AN-j=1NSρAj∥ΛjρAjکه
(٣9-٢-۱)ΛρA1,A2,⋅⋅⋅,AN=j1⋅⋅⋅jN∏A(j)ρA1,⋅⋅⋅,AN∏A(j)(4۰-٢-۱)∏A(j)=∏A1(j1)⨂⋅⋅⋅⨂∏A1(jN)توجه کنید که
(4۱-٢-۱)ΛjρAj=k∏Aj(k)ρAj∏Aj(k)در اینجا
(4٢-٢-۱)Sρ∥σ=TrρLogρ-ρLogσآنتروپی نسبی کوانتومی است]1[.
در]49[ یک عبارت تحلیلی ناسازگاری کروی سه کیوبیتی ترازهای جی.اچ.زد-ورنر بدست آمده است. آنها متوجه شدهاند که این مدل میتواند یک نقطهی بحرانی کوانتومی از مرتبهی بینهایت را نشان بدهد. این پدیده به وسیلهی یک اکسترمم (حداقل یا حداکثر) ناسازگاری کروی تشخیص داده شده است ولی به وسیله ناسازگاری دو ذرهای رابطهی (15-1) قابل تشخیص نیست. این مثال به روشنی توانایی ناسازگاری کروی در تشخیص همبستگی چند ذرهای را نشان میدهد. عبارت معادل ناسازگاری کروی دیگری ارائه شده است]50[.
(4٣-٢-۱)DgloρA1,A2,⋅⋅⋅,AN=min∏IρA1,A2,⋅⋅⋅,AN-IΛρA1,A2,⋅⋅⋅,ANکه اطلاعات متقابل کوانتومی به شرح زیر توصیف شده است:
(44-٢-۱)IρA1,A2,⋅⋅⋅,AN=j=1NSρAj-SρA1,A2,⋅⋅⋅,ANاین نوع تعریف به ما اجازه میدهد که ناسازگاری کروی سیستمهای چند ذرهای را به عنوان حداقل از دست دادن اطلاعات متقابل ناشی از تمام اندازهگیریهای مشاهدهپذیر منطقهای بر تمام زیر سیستمهایی که شبیه تعریف اصلی سیستمهای دو ذرهای در معادلهی (1-2-16) است، را تفسیر کنیم.
عبارت تحلیلی ناسازگاری کروی N-کیوبیتی ترازهای جی.اچ.زد-ورنر و یک راه خاص ترازهای N-کیوبیتی در]50[ نتیجه گرفته شدهاند.
1-2-3-2- ویژگیهای بنیادی ناسازگاری کروی
ویژگیهای بنیادی ناسازگاری کروی به شرح زیر هستند:
ناسازگاری کروی نامنفی است.
ناسازگاری کروی متقارن است.
ویژگی اول شبیه ناسازگاری سیستمهای دو ذرهای در]49[ است. این ویژگی از آنجا است که آنتروپی نسبی کوانتومی تحت رد یابی جزئی و ویژگیهای اندازهگیریهای مشاهدهپذیر یکنواخت است ]49[. ویژگی دوم درست است چون اندازهگیریهای منطقهای روی تمام زیر سیستمها انجام گرفتهاند که این با تعریف اصلی در رابطهی (1-2-15) متفاوت است.
1-3- ناسازگاری مبتنی بر فاصلهدر بخش قبل، بعضی از اندازهگیریهای ناسازگاری مبتنی بر اندازهگیری را مرور کردیم. حال دو نوع از ناسازگاری مبتنی بر فاصله را معرفی میکنیم:
ناسازگاری مبتنی بر آنتروپی نسبی]17[
ناسازگاری مبتنی بر قاعدهی مربع (ناسازگاری هندسی)]18[
ناسازگاری مبتنی بر فاصله به عنوان فاصلهی حداقل یک تراز کوانتومی و تمام ترازها با ناسازگاری صفر تعریف میشود. در]17[ نویسندگان آنتروپی نسبی را به عنوان یک اندازهگیری فاصلهی دو تراز به کار گرفتهاند. ناسازگاری مبتنی بر فاصلهی دیگری بر پایهی قاعدهی مربع فضای هیلبرت-اشمیت تعریف شده است که فاصلهی میان دو تراز را اندازهگیری میکند]18[.
1-3-1- ناسازگاری مبتنی بر آنتروپی نسبییک دیدگاه واحد ویکپارچهی همبستگیها با کمک آنتروپی نسبی بنیان گذاشته شده است. براساس ]17[ ناسازگاری مبتنی بر آنتروپی نسبی به عنوان آنتروپی نسبی میان یک تراز کوانتومی و نزدیکترین تراز کلاسیکیاش تعریف میشود]17[:
(۱-٣-۱)Drelρ=minX∈CSρ∥Xکه در آن
(٢-٣-١)Sρ∥X=TrρLog2ρ-TrρLog2Xکه این آنتروپی نسبی میان ρ و X است. در اینجا C بیانگر تمام ترازهای کلاسیکی است. به طور مستقیم Drel حداقل فاصلهی میان یک تراز داده شدهی ρ و تمام ترازهای کلاسیکی X است.
از مزایای این نوع اندازهگیری به شرح زیر است:
اول از همه این کار به ما اجازه میدهد تا تمام همبستگیها از قبیل ناسازگاری کوانتومی، همبستگیهای کلاسیکی و درهمتنیدگی را در یک جایگاه یکسان قرار دهیم.
این یک دیدگاه واحد زیبای همبستگیهای هم کلاسیکی و هم کوانتومی است. معمولا مقایسهی درهمتنیدگی اندازه گرفته شده به وسیلهی تطابق و عدم تطابق و ناسازگاری به صورت مستقیم بیمعنی است، چون آنها کلا در اندازهگیری همبستگی کوانتومی متفاوت هستند]17[.
با وجود این آنتروپی نسبی درهمتنیدگی و ناسازگاری را مستقیما میتوان مقایسه کرد. این به ما اجازه میدهد تا رفتار درهمتنیدگی و ناسازگاری را در یک واحد مقایسه کنیم و در مورد آنها بحث کنیم. این رویکرد همچنین برای سیستمهای چند ذرهای هم قابل اجرا است. برای ترازهای قطری بل، آنتروپی نسبی درهمتنیدگی و ناسازگاری میتوانند به صورت تحلیلی محاسبه شوند]17[.
1-3-2- ناسازگاری مبتنی بر قاعدهی مربع (مجذور) یا ناسازگاری هندسیناسازگاری مبتنی بر قاعدهی مربع یا ناسازگاری هندسی ]18 [شبیه اندازهگیری هندسی درهمتنیدگی است ]19[. طبق ]18[ ناسازگاری هندسی به شرح زیر میباشد:
(٣-٣-١)Dgeoρ=minXρ-X2که از میان تمام ترازهای ممکن X که به شکل زیر است، برابر حداقلشان است:
(۴-٣-١)p1ψ1ψ1⨂ρ1+p2ψ2ψ2که p1+p2=1 ، ψ1 و ψ2 دو پایه متعامد زیر سیستم A هستند، ρ1 و ρ2 دو ماتریس چگالی زیر سیستم B هستند.
در اینجا
(۵-٣-١)ρ-X2=Trρ-X2مربع بهنجار فضای هیلبرت-اشمیت هستند. بخصوص برای سیستمهای دو کیوبیتی دلخواه، یک عبارت تحلیلی در ]18[ به دست میآید. یک تراز دو کیوبیتی میتواند به شکل زیر نوشته شود:
(۶-٣-١)ρ=14IA⨂IB+i=13xiσi⨂IB+i=13yiIA⨂σi+i,j=13tijσi⨂σjکه
xi=Trρσi⨂IB(۷-٣-١)yi=TrρIB⨂σitij=Trρσi⨂σjکه σ ماتریس های پائولی هستند.
ناسازگاری هندسی دو کیوبیتی معادلهی بالا بصورت زیر میباشد
(۸-٣-١)Dgeo=14x2+T2-λmaxکه λmax بیشترین ویژه مقدار ماتریس زیر است:
(۹-٣-١)Ω=xx†+TT†در اینجا † مخفف ترانهادهی بردار یا ماتریس است.
x بردار ستونی است که x2=x12+x22+x32 و T=tij یک ماتریس ستونی 3×3 است. این عبارت تحلیلی ناسازگاری هندسی به ما اجازه میدهد که ناسازگاری کوانتومی ترازهای دوکیوبیتی دلخواه را محاسبه کنیم. بعدها ناسازگاری هندسی برای ترازهای دلخواه به وسیلهی لو و فو محاسبه شد]51[.
کران پایین ناسازگاری هندسی در ترازهای دو ذرهای عمومی در ]54،55[ بررسی شدهاند. برای ترازهای 2N-بعدی حداقلسازی رابطهی (1-3-8) به صورت تحلیلی میتواند انجام گیرد. ولی این عبارات به طور عمومی برای اندازهگیری آزمایشگاهی سخت هستند، به تازگی جیرولامی و آدسو ]52[ یک طرح اندازهگیری مرز پایینتر محکم ناسازگاری هندسی به وسیلهی اندازهگیری تنها تعداد کمی از مشاهدهپذیرها بر حداکثر چهار نسخه از ترازها بدون نیاز برای یک سیتیاسکن کامل پیشنهاد کردهاند. در]53[ یک طرح مبتنی بر محاسبات کوانتومی جبری با یک کیوبیت کوانتومی برای محاسبهی مقدار ناسازگاری هندسی پیشنهاد شده است.
1-4- سایر اندازهگیریهای همبستگیهای کوانتومیاندازهگیریهای همبستگی کوانتومی دیگری نیز وجود دارد، از جمله اختلال القایی (ناشی) از اندازهگیری (MID)، ]56[ کسر کوانتومی]4،60[، اطلاعات دور از دسترس منطقهای]34[.
MID که توسط لو در]56[ تعریف شد، بر پایهی این واقعیت که در اصل تمام اطلاعات یک سیستم کلاسیکی با انجام اندازهگیری بدون اینکه سیستم آشفته شود، بدست میآید.
اگر سیستم در همبستگی کوانتومی باشد وضعیت فرق میکند، چون اندازهگیری سیستم را مختل میکند. MID به شکل زیر تعریف میشود:
(١-۴-١)MρAB=IρAB-Iρ'ABکه در آن
(٢-۴-١)ρ'AB=i,j∏A(i)⨂∏B(j)ρAB∏A(i)⨂∏B(j)در واقع MID مقدار آنتروپی اندازهگیری است]56[.
از معادلهی بالا میبینیم که محاسبهی MID آسان است، چون بهینهسازیای که در تعریف ناسازگاری در معادلهی (15-1) آمده است را شامل نمیشود.
توجه کنید که برای بعضی ترازهای کلاسیکی اطلاعات دور از دسترس منطقهای غیر صفر است که این غیر معقول است]57[. بنابراین نسخهی دیگر MID به شکل زیر معرفی میشود]58، 59[.
(٣-۴-١)Mopt=IρAB-maxΠA⨂ΠBIρ'ABکه در آن بهینهسازی بیش از اندازهگیریهای منطقهای عمومی است. این اندازهگیری در ]59-57[ مورد مطالعه قرار گرفته است.
کسر کوانتومی بر مبنای کار استخراج از یک سیستم کوانتومی در حال تعامل با یک حمام گرمایی است. برای یک سیستم کلاسیکی بدون هیچ همبستگی کوانتومی، کاری که میتوان از تمام سیستم استخراج کرد به وسیله ی Wtotal نشان داده شده است. این کار (همچنین به وسیله ی WLOCC نیز نشان داده میشود) همچنین میتواند از زیر سیستمها با استفاده از عملیات منطقهای مناسب و ارتباطات کلاسیکی (LOCC) استخراج شود.
برای سیستمهای کلاسیکی Wtotal=WLOCC است، با این حال برای سیستمهای با همبستگی کوانتومی Wtotal≠WLOCC است و کسر کوانتومی به عنوان تفاوت این دو مقدار، به صورت زیرتعریف میشود]4،60[.
(۴-۴-١)Wtotal-WLOCCشکلهای گوناگونی از کسر کوانتومی وجود دارد، از جمله:
کسر کوانتومی صفر طرفه، یک طرفه و دو طرفه]4،60[.
اطلاعات دور از دسترس منطقهای (LII) مبتنی بر این واقعیت است که یک کسری از اطلاعات متقابل کوانتومی به طور منطقهای قابل دسترس نمیتواند باشد]34[.
تفاوت میان ناسازگاری کوانتومی و درهمتنیدگی ساختاری، برای توصیف همبستگی کوانتومی بحث شده است. چندین رابطهی دیگر میان درهمتنیدگی ساختار واطلاعات دور از دسترس منطقهای نیز همچنین از]34[ نتیجه گرفته شده است.
1-5- دینامیک ناسازگاری
در این بخش بهطور خلاصه در مورد برخی از خواص دینامیک ناسازگاری تحت محیط مارکووین و غیرمارکووین بررسی میکنیم]35-22[.
1-5-1- ناسازگاری در حفره ی QEDدر سالهای اخیر تلاشهای بسیاری در مطالعهی تکامل درهمتنیدگی در سیستمهای مشترک تشکیل شده توسط دو زیر سیستم صرف شده است (هر سیستم به صورت محلی با محیط خود در تماس است)]64-61[. به طور خاص درهمتنیدگی یک سیستم دوکیوبیتی ممکن است برای یک مدت محدودی در طول تکامل دینامیک ناپدید شود. به زمان محدود ناپدید شدن درهم تنیدگی، مرگ ناگهانی درهمتنیدگی میگویند. این مشاهده در آزمایشگاه به وسیلهی چندین گروه با نصب تجهیزات نوری] 65،66 [و آنسامبلهای اتمی ]67[ مشاهده شده است.
با این وجود اشاره میکند به اینکه تقریبا تمام ترازهای کوانتومی، ترازهای ناسازگاری (ترازهای ناسازگاری) دارند و ناسازگاری کوانتومی از درهمتنیدگی تحت میدانهای مارکووین قویتر است]41[. در ]35، 68-70[ نشان داده شده است که برای چندین سیستم کوانتومی مرگ ناگهانی ناسازگاری وجود ندارد. به علاوه در ]22[ نشان داده شده است که ناسازگاری کوانتومی دو اتم غیر درهمکنش درون یک حفرهی اتلافی، به یک مقدارمجانبی میرسند، حتی زمانی که متوسط تعداد فوتونهای میدان حفره بسیار بزرگ است.
محیط حفره در حد میکروسکوپیک همیشه مقداری همبستگی کوانتومی دارد (به وسیلهی ناسازگاری کوانتومی اندازه گرفته شده است). نویسندهی ]25[ دینامیک ناسازگاری کوانتومی و درهمتنیدگی یک سیستم تشکیل شده به وسیلهی دو اتم دو سطحی در دو حفرهی به طور مکانی جدا شده و اتلافی در حد جفتشدگی قوی یا ضعیف را در نظر گرفته است. در حدجفت شدگی ضعیف، ناسازگاری کوانتومی میتواند تقریبا برای مدت محدودی صفر باقی بماند]25[.
برخلاف حد جفتشدگی ضعیف، در جفتشدگی قوی مرگ ناگهانی ناسازگاری کوانتومی از بین میرود هرچند مرگ ناگهانی درهمتنیدگی کوانتومی رخ میدهد.
انتقال ناگهانی میان غیر همدوسی کلاسیکی و کوانتومی به وسیلهی پیلو، مانیسکالو و مازولو در ]71[ مورد مطالعه قرار گرفته است.
آنها متوجه شدهاند که یک انتقال تیز میان از دست دادن همبستگی کوانتومی وکلاسیکی در یک سیستم مرکب نیز وجود دارد. اگر تحول زمانی کوچکتر از یک بازهی زمانی خاص باشد، ناسازگاری کوانتومی به طور کامل از بین نمیرود. این پدیده بعدها به صورت تجربی تایید شد]72[.
اگر نرخ فروپاشی دو حفره و قدرت جفتشدگی محیط اتم مناسب انتخاب شده باشد ناسازگاری کوانتومی دو اتم توسط اتلاف حفرهها کاملا بیتاثیر است]23[.
تمام مطالعات قبلی به محیطهای مارکووین محدود میشود، در حالی که اثرات غیر مارکووین در نظر گرفته نشده است. نشان داده شده است که ناسازگاری کوانتومی و درهمتنیدگی دوکیوبیتیها در محیطهای مستقل و مشترک میتوانند کاملا متفاوت رفتار کنند.
در محیطهای غیرمارکووین یک بخشی از ناسازگاری کوانتومی میتواند در محیطهای غیرمارکووین ذخیره شود که میتواند به سیستم باز گردد. به عنوان نتیجه ناسازگاری کوانتومی سیستمها میتواند دوباره بدست آید]34[. این پدیده به عنوان تولد ناگهانی ناسازگاری نامیده میشود. با این وجود تولد ناگهانی درهمتنیدگی وجود ندارد. اثرات غیرمارکووین بر روی تکامل ناسازگاری دوکیوبیتهای مستقل در دو دمای صفر مخازن غیرمارکووین در ]35[ بحث شده است.
هیچ وقوع مرگ ناگهانی وجود ندارد، ولی تنها ناپدید شدن لحظهای ناسازگاری در بعضی نقاط زمان اتفاق میافتد]35[.
1-5-2- ناسازگاری در سیستمهای اسپینی ونقطهای کوانتومیناسازگاری کوانتومی در یک سیستم یک بعدی خوشه مانند در تعامل سه گانه توسط لی، چان و یین مورد مطالعه قرار گرفته است]27[. این یک سیستم از مرتبهی توپولوژیکی است و تفاوت جهانی توپولوژیکی که به وسیلهی بعد ناشی شده است، در همبستگی کوانتومی منطقهای منعکس شده است]27[.
ناسازگاری کوانتومی به صورت نمایی در هر دوفاز مغناطیسی و توپولوژی زایل میشود. در]28[ ناسازگاری کوانتومی سیستمهای دوبعدی با توپولوژیک گذار فاز کوانتومی مورد بحث قرار گرفته است.
در این سیستم، تمام سیستم همبستگی کوانتومی دارد در حالیکه دو اسپین منطقه همبستگی کلاسیکی دارند]28[. به تازگی انتشار همبستگی کوانتومی از طریق زنجیرهی اسپین2/1 در]29[ مورد بررسی قرار گرفته است. نقش محیط مغناطیسی در دینامیک ناسازگاری کوانتومی نیز بحث شده است. ناسازگاری کوانتومی موثرتر از درهمتنیدگی، برای بسیاری از شرایط اولیه و نقاط کار انتقال یابد]29[.
اثر درهمکنش ژیالوشیسکی-موریا بر ناسازگاری کوانتومی یک سیستم ستارهای اسپینی در]30[ مورد بررسی قرار گرفته است. نتایج]30[ نشان میدهد که درهمکنش قوی ژیالوشیسکی-موریا میتواند ناسازگاری کوانتومی و درهمتنیدگی حرارتی را افزایش دهد.
با این وجود یک محیط مغناطیسی قوی و دمای بالا میتواند ناسازگاری کوانتومی و درهم تنیدگی حرارتی را کاهش دهد. دینامیک درهمتنیدگی کوانتومی و ناسازگاری دونقطهی کوانتومی جفت شدهی در حال تعامل با یک حمام نوسانگر در ]31[ بررسی شده است. نتایج این مقاله نشان میدهد که ناسازگاری کوانتومی نسبت به درهمتنیدگی ساختار این سیستم در مقابل اتلاف قویتر است. به خصوص آنها اشاره کردند که حتی در مورد دماهای بالا ناسازگاری کوانتومی میتواند در یک حد مجانب محدود باشد]31[.
1-6- محاسبهی همبستگی کلاسیکی
فرض کنید حالت سیستمی با ماتریس چگالی زیر توصیف میشود:
(۱-۶-۱)
هر اندازهگیری وننیومن روی زیر سیستم b را میتوان به شکل زیر نوشت]73[:
(٢-۶-١)bi=UΠiU† i=0,1که Πi=ii عملگر تصویر برای زیر سیستم b است و هچنین U عملگر یکانی با دترمینان واحد عضو گروه SU(2) است و به صورت زیر در نظر گرفته میشود:
(٣-۶-١)U=tI+iy.σکه t,y1,y2,y3∈Rو t2+y12+y22+y32=1 و σi ها ماتریسهای پائولی هستند.
بعد از اندازهگیری، حالت ρab به صورت زیر خواهد بود :
(۴-۶-١)ρi=1piI⨂biρXI⨂biکه pi به صورت زیر تعریف میشود :
(۵-۶-١)pi=TrI⨂biρXI⨂biاکنون به محاسبهی ρ0 و ρ1 میپردازیم :
(۶-۶-١)b0=UΠ0U†Π0=00=1010=1000U=tI+iy.σ=t1001+iy10110+iy20-ii0+iy3100-1=t+iy3iy1+y2iy1-y2t-iy3بنابراین U† به صورت زیر خواهد بود :
(۷-۶-١)U†=t-iy3-iy1-y2-iy1+y2t+iy3حال خواهیم داشت :
(۸-۶-١)b0=UΠ0U†=t+iy3iy1+y2iy1-y2t-iy31000t-iy3-iy1-y2-iy1+y2t+iy3=t2+y32(t+iy3)(-iy1-y2)(t-iy3)(iy1-y2)y12+y22همچنین برای b1 خواهیم داشت:
(۹-۶-١)b1=UΠ1U†=t+iy3iy1+y2iy1-y2t-iy30001t-iy3-iy1-y2-iy1+y2t+iy3=y12+y22(t+iy3)(iy1+y2)(t-iy3)(-iy1+y2)t2+y32با محاسبهی ρ0 و ρ1 ، دو ویژه مقدار هر کدام از آنها به صورت زیر خواهد بود]73[.
(١۰-۶-١)v±ρ0=12(1±θ)w±ρ1=121±θ'و همچنین
(۱۱-۶-۱)p0=ρ11+ρ33K+ρ22+ρ44L(١٢-۶-١)p1=ρ11+ρ33L+ρ22+ρ44Kکه θ و θ' به صورت زیر است:
(۱٣-۶-۱)θ=ρ11-ρ33K+ρ22-ρ44L2+Θρ11+ρ33K+ρ22+ρ44L2(١۴-۶-١)θ'=ρ11-ρ33L+ρ22-ρ44K2+Θρ11+ρ33L+ρ22+ρ44K2که تعریف پارامترهای ویژه مقادیر ماتریس به صورت زیر است:
(١۵-۶-١)Θ=4KLρ142+ρ232+2R(ρ14ρ23)-16mRρ14ρ23+16nIm(ρ14ρ23)R(z) و Im(z) بخشهای حقیقی و موهومی پارامتر z را نشان میدهند.
(۱۶-۶-۱)m=(ty1+y2y3)2n=(ty2-y1y3)(ty1+y2y3)K=t2+y32L=y12+y22در نتیجه K+L=1 است.
با استفاده از ویژه مقادیر، آنتروپی ρi,pi عبارت است از:
(۱۷-۶-۱)Sρ0=-1-θ2log21-θ2-1+θ2log21+θ2Sρ1=-1-θ'2log21-θ'2-1+θ'2log21+θ'2با توجه به رابطهی (1-2-13) برای همبستگی کلاسیکی برای بیشینه شدن همبستگی کلاسیکی باید جملهی دوم عبارت (1-2-13) که همان آنتروپی شرطی کوانتومی است باید کمینه شود. از طرفی
(۱۸-۶-۱)SρXΠbj=p0Sρ0+p1Sρ1کمینه کردن عبارت فوق با مساوی صفر قرار دادن مشتق عبارت نسبت به پارامترهای m ، n و K صورت میگیرد. آنتروپی شرطی کوانتومی نسبت به تعویض K و L متقارن است]73[. بنابراین این عبارت تابع زوجی از K-L است و اکسترممهای آن در K=L=12 یا در نقاط انتهایی K=0 یا K=1 قرار دارد. طبق رابطهی (1-6-16) برای نقاط انتهایی t=y3=0 یا y1=y2=0 میباشد و در نتیجه m=n=0.
برای حالت K=L=12 ، θ=θ' خواهد بود و در نتیجه Sρ0=S(ρ1) است و کمینه مقدار آنتروپی شرطی برابر با کمینه مقدار Sρ0 یا Sρ1 است]73[.
(۱۹-۶-۱)minS(ρX|∏b(j))=minS(ρ0)=S'ρ0|θsupبطوریکه
(٢۰-۶-۱)θsup=maxθ1,θ2,θ3S'ρi|θj=-1+θj2log21+θj2-1-θj2log21-θj2به عنوان مثال سیستمی با حالت زیر را در نظر بگیرید.
(٢۱-۶-۱)ρ=aψ+ψ++(1-a)1,11,1که در آن ψ+=12(0,1+1,0) و 0≤a≤1 است.
شکل ماتریسی آن به صورت زیر است:
(٢٢-۶-۱)
به ازای K=L=12
(٢٣-۶-۱)θ1=θ2=14(1-a)2+a2414=a2+(1-a)2p0=p1=12به ازای K=0(٢۴-۶-۱)θ3=2-3a2-ap0=1-a2به ازای K=1(٢۵-۶-۱)θ4=1p0=a2θ3≠θ4 بنابراین، کمیت SρXΠbj|θ3,θ4 به صورت زیر خواهد بود:
(٢۶-۶-۱)SρXΠbj|θ3,θ4=2-a2Sρ0|θ3+a2Sρ1|θ4که به ازای θ4=1 خواهیم داشت Sρ1|θ4=0توجه داریم که SρXΠbj|θ3,θ4≥Sρ0|θ1 است، در نتیجه
(٢۷-۶-۱)minSρXΠbj|θ3,θ4,Sρ0|θ1=Sρ0|θ1بنابراین همبستگی کلاسیکی در این حالت به صورت زیر میباشد:
(٢۸-۶-۱)JρX=Sρa-Sρ0|θ1آنتروپی زیرسیستم a عبارت است از :
(٢۹-۶-۱)ρa=TrbρX=a2001-a2آنتروپی ون نیومن زیر سیستم a عبارت است از :
(٣۰-۶-۱)Sρa=-a2log2a2-2-a2log22-a2همچنین
(٣۰-۶-۱)Sρ0|θ1=-1+θ12log21+θ12-1-θ12log21-θ12=-1+a2+(1-a)22log21+a2+(1-a)22-1-a2+(1-a)22log21-a2+(1-a)22بنابراین همبستگی کلاسیکی طبق رابطهی (1-6-28) بدست خواهد آمد.
1-7- درهمتنیدگی کوانتومیدرهمتنیدگی یک خصیصهی بنیادی مکانیک کوانتومی است که تفاوت اساسی بین فیزیک کلاسیکی و کوانتومی را تعیین میکند. حالتهای درهمتنیده بیانگر نوعی همبستگی کوانتومی غیرموضعی بین زیر سیستمها است]1[ وشالودهی اساسی برای بسیاری از کاربردهای علوم اطلاعات کوانتومی مانند دور حضوری کوانتومی ]75،74[، کدنویسی متراکم کوانتومی]76[، رمزنگاری کوانتومی ]77[و محاسبات کوانتومی میباشد را فراهم میکند. تحقیقات گستردهای بر روی حالتهای درهمتنیده، این ویژگی نادر مکانیک کوانتومی، انجام شده است. یکی از نتایج قابل توجه این تحقیقات شناخت درهمتنیدگی به عنوان یک منبع است]78،77[، مانند انرژی که میتواند برای اجرای کارهای دلخواه فیزیکی مورد استفاده قرار بگیرد. شباهتهای بین درهمتنیدگی و انرژی خیلی بیشتر از یک تشابه سادهی ظاهری است. درهمتنیدگی موجود بین حالت های کوانتومی میتواند به صورت کمیتی کوانتیده ظاهر شود. این مسئله ما را قادر به ارتقا وتوسعهی قوانین تراز اول کوانتومی حاکم بر رفتار حالتهای درهمتنیده میسازد. این قوانین مشابه با قوانین ترمودینامیک حاکم بر رفتار انرژی، مستقل از شکل ویژهای است که با آن توصیف میشوند، رفتار میکنند. امیدواریم که تئوری کوانتیدگی درهمتنیدگی این امکان را فراهم کند که یک چهارچوب یگانه ساز قدرتمند برای فهم سیستمهای کوانتومی پیچیده بدست بیاوریم. چرا که وقتی سیستمها را برحسب درهمتنیدگی بینشان بررسی میکنیم، خواهیم دید که تعداد بسیاری از حالتهای مختلف، معادل هم خواهند بود.
در واقع درهمتنیدگی کوانتومی همانند پتانسیل در فرآیندهای کوانتومی عمل میکند. بنابراین بایستی مانند هر پتانسیلی مقدار کمّی برای آن تعریف کرد. هر تابعی که مقدار کمّی درهمتنیدگی را مشخص می کند، معیار درهمتنیدگی نامیده میشود.
حجم زیادی از کار برای سیستمهای دوبخشی به ویژه برای بیتهای کوانتومی است. بسیاری از معیارها، برای حالتهای درهمتنیده تمیزپذیر مجزا فرض میشود، مانند آنتروپی وننیومن.
موفقیت در نمونههای دوبخشی بیتهای کوانتومی، باعث تعمیم آنها به نمونههای چند بخشی شد، که در این نمونه با پیچیدگیهای بیشتری همراه است و ردهی متفاوتی از درهمتنیدگیها اتفاق میافتدکه نه تنها در عملگرهای موضعی جبری و ارتباطات کلاسیکی با هم تفاوت دارند، بلکه حتی در شباهتهای تصادفی نیز متفاوت هستند.
درهمتنیدگی دو بخشی برای حالت خالص به خوبی درک شده است، اگرچه توسعهی آن برای ابعاد بالاتر از دو هنوز با چالشهای تئوری همراه است. یک حالت خالص دو بخشی درهمتنیده نیست اگر و فقط اگر آن را بتوان برحسب ضرب تانسوری اجزای حالت خالص بیان کرد. درهم تنیدگی میتواند هم از طریق برهمکنش مستقیم بین دو کیوبیت و یا از طریق برهمکنش با کیوبیت ها با یک قسمت سوم تولید شده باشد]79[.
معمولا برای محاسبهی درهمتنیدگی از تابع توافق استفاده میکنند]80[. تابع توافقc عددی بین صفر و یک میباشد به طوریکه c=0 بر درهمتنیدگی صفر وc=1 بر بیشینهی درهم تنیدگی سیستم دلالت میکند.
برای یک حالت مخلوط، تابع توافق برابر است با :
(۱-۷-۱)Cρ=maxλ1-λ2-λ3-λ4,0به طوریکه λi ها ریشهی مربع مثبت ویژه مقادیر ماتریس زیر هستند.
(٢-۷-۱)R=ρσy⨂σyρ*σy⨂σyکه علامت * بر الحاقی مختلط ماتریس چگالی اشاره می کند.
به عنوان مثال فرض کنید که ماتریس چگالی سیستمی به صورت زیر است:
(٣-۷-۱)
با محاسبهی رابطهی (1-7-2) تابع توافق به صورت زیر نتیجه میشود]79[.
(4-۷-۱)C=2max0,ρ14-ρ22ρ33 , ρ23-ρ11ρ44نشان داده شده است که ویژه مقادیر انرژی حالت پایه ومشتقاتش، که غیر تحلیلی بودن آن یک گذار فاز را مشخص میکند، به طور مستقیم با اندازهی درهمتنیدگی دو قسمتی سیستم ارتباط دارد. در اکثر موارد این گذار فازها به وجود نقاط غیر تحلیلی در طیف انرژی سیستم مربوط میشود. بطوریکه گذارهای فاز کوانتومی با رفتار غیرتحلیلی در مشتقهای انرژی حالت پایهی سیستم مشخص میشوند. از این رو مشاهده شده است که یک گذار فاز کوانتومی مرتبهی اول توسط یک ناپیوستگی محدود در مشتق مرتبهی اول انرژی حالت پایهی سیستم تشخیص داده میشود. به همین ترتیب یک گذار فاز کوانتومی مرتبهی دوم با ناپیوستگی محدود و یا یک واگرایی در مشتق مرتبهی دوم انرژی حالت پایهی سیستم با فرض اینکه مشتق مرتبهی اول پیوسته باشد، مشخص میشود.
1-8- گذار فاز کوانتومی(QPT) در فیزیک، گذار فاز کوانتومی (QPT) یک گذار فاز بین حالتهای مختلف کوانتومی میباشد. برخلاف گذار فاز کلاسیکی (CPT) ،گذار فاز کوانتومی میتواند فقط به وسیلهی یک پارامتر فیزیکی (مانند میدان مغناطیسی یا فشار) در دمای صفر مطلق قابل دستیابی باشد]81[. گذار فاز کوانتومی یک تغییر کیفی در حالت پایه یک سیستم بس ذرهای کوانتومی است]83،82[. برخلاف گذار فاز معمولی که در دماهای غیر صفر رخ خواهد داد، افت وخیزهای موجود در QPT به طور کامل کوانتومی هستند. به طوریکه در نقاط بحرانی در فضای پارامترها همبستگیهای بلند برد حالت پایه سیستم، در جایی که گذار فاز صورت میگیرد افزایش شدیدی دارند. علاوه بر آن وجود یک QPT در یک سیستم بس ذرهای کوانتومی به شدت متاثر از رفتار سیستم در نزدیکی نقاط بحرانی است]82[.
برای درک بهتر گذار فاز کوانتومی، بررسی گذار فاز کلاسیکی مفید میباشد. گذار فاز کلاسیکی یک تغییر شدیدی را در خواص ترمودینامیکی سیستم و ساماندهی مجدد ذرات را توصیف میکند. به عنوان مثال یخ زدن آب گذار بین مایع و جامد را نشان میدهد.گذار فاز کلاسیکی بوسیلهی انرژی سیستم و آنتروپی افت وخیز گرمایی مشخص میشود. یک سیستم کلاسیکی در دمای صفر آنتروپی ندارد و بنابراین گذار فازی نمیتواند اتفاق بیفتد. مرتبهی گذار بوسیله اولین ناپیوستگی در مشتق پتانسیل ترمودینامیکی مشخص میشود. برای مثال، گذار فاز از آب به یخ شامل گرمای نهان است و از مرتبهی اول میباشد( یک ناپیوستگی در ظرفیت گرمایی). گذار فاز از فرو مغناطیس به پارامغناطیس پیوسته است و از مرتبهی دوم میباشد]84[.
گذار فاز کوانتومی زمانی اتفاق میافتد که حالت پایه یک سیستم بس ذرهای در دمای صفر مطلق، دست خوش تغییر کیفی بوسیلهی پراکندگی زوج یا یک پارامتر خارجی شود]85[.
ناسازگاری کوانتومی یک روش مناسب برای تمیز دادن طبیعت همبستگیها بین مولفههای سیستم کوانتومی است و یک نمایشگر کیفی مناسب برای وجود گذار فاز کوانتومی میباشد. هر چند بیشینه مقدار ناسازگاری کوانتومی در سیستمهای مورد بررسی ضرورتا در نقاط بحرانی قرار ندارند. ناسازگاری کوانتومی فقط میتواند به عنوان یک نمایش کیفی از گذار فاز کوانتومی استفاده شود]85[.
ناسازگاری کوانتومی و تابع توافق دو ابزار مفید برای آشکارسازی گذار فاز کوانتومی میباشند. کار با تابع توافق آسانتر وسریعتر از ناسازگاری کوانتومی است. تابع توافق همبستگی غیر موضعی بین دو سیستم A و B را اندازهگیری میکند. اما ناسازگاری کوانتومی تمام همبستگی کوانتومی بین سیستم A و B که شامل درهمتنیدگی نیز میباشد را اندازهگیری میکند]86[.
بر خلاف تابع توافق، ناسازگاری کوانتومی حتی اگر سیستم کوانتومی درهمتنیده نباشد، میتواند غیر صفر باشد. به عنوان مثال برای حالت ورنر
(۱-۸-۱)ρ=1-p4I+pψ(-)ψ(-)که در آن I ماتریس واحد، ψ(-)=12↑↓-↓↑ و 0≤p≤1 است.
برای حالتی که p<13 است، تابع توافق برابر صفر است، در حالی که ناسازگاری کوانتومی صفر نیست. از اینرو ناسازگاری کوانتومی میتواند نشان دهندهی وجود همبستگی کوانتومی باشد، در حالی که تابع توافق نشان میدهد که سیستم درهمتنیده نیست]37[.
با در نظر گرفتن مشتق ناسازگاری کوانتومی که وابسته به یک پارامتر زوج و یا یک پارامتر خارجی است، میتوان اطلاعات بیشتری را در مورد جایگاه و یا مرتبهی گذار فاز کوانتومی بدستآورد]86[.
فصل دوم

تابع گرین سیستم‌های بوزونی2-1- فرمولبندی کلی
آنسامبلی از بوزونها با هامیلتونین گرندکانونیک زیر را در نظر بگیرید:
(۱-۱-٢)H=d3x d3x' ψ†xTx-μψx+12d3x d3x'ψ†xψ†x'Vx-x'ψ(x')ψ(x)که Tx=-ℏ2∇22m انرژی جنبشی، μ پتانسیل شیمیایی، V پتانسیل برهمکنشی بین شبه ذرات، ψ† و ψ نیز عمگلرهای میدانی خلق و فنا هستند. چون معادله (2-1-1) کلی است، حل دقیق آن غیرممکن است و تقریب مناسبی را برای یک چگالهی بوزونی معرفی میکنند]87[. با استفاده از تقریب بوگولیوبوف
(٢-۱-٢)ψx→ζ0+φxحالت پایهی Ο یک سیستم بوزونی ایستای یکنواخت را بررسی میکنند. پایستگی تکانه ایجاب میکند که Οψ(x)Ο=0. بنابراین کمیت ζ0 میتواند به عنوان مقدار چشمداشتی عملگر میدان در حالت پایه توصیف شود Οψ(x)Ο=0 ]87.[
حالا اصول چگالهی بوزونی را به دماهای محدود و سیستمهای غیریکنواخت تعمیم میدهیم، هرگاه که میانگین آنسامبلی ψ(x) در حد ترمودینامیکی محدود باقی بماند. با استفاده از نامگذاری
(٣-۱-٢)Ψx=ψ(x)و عملگر انحراف از معیار ]87[
(۴-۱-٢)φx=ψx-ψx=ψx-Ψx که Ψ(x) بعنوان تابع موج چگاله شناخته میشود؛ که مانند تابع گاف در ابررساناست. در سیستمهای برهمکنشی ضعیف، تمام ذرات در چگاله حضور دارند. در نتیجه، عملگر φ بعنوان تصحیح کوچکی از Ψ در نظر گرفته میشود و میتوان H را برحسب توانهایی از φ و φ† بسط داد که فقط جملات خطی و درجه دوم باقی میماند]87[.
(۵-۱-٢)H=H0+Hl+H'که در آن
(۶-۱-٢)H0=d3x Ψ*xTx-μΨx+12d3x d3x' Vx-x'Ψx2 Ψ(x')2(۷-۱-٢)Hl=d3x φ†xTx-μ+d3x'Vx-x'Ψx'2Ψ(x)+d3x Tx-μ+d3x'Vx-x'Ψx'2Ψ*xφ(x)(۸-۱-٢)H'=d3x φ†xTx-μφx+d3x d3x'V(x-x')×Ψx'2φ†xφx+Ψ⋆(x)Ψ(x')φ†(x')φ(x)+12Ψ⋆xΨ⋆x'φx'φx+12φ†(x)φ†(x')Ψ(x')Ψ(x)بنابراین هامیلتونین را میتوان با استفاده از Ψ به صورت زیر نوشت]87[:
(۹-۱-٢)Tx-μΨx+d3x'Vx-x' Ψx'2Ψx=0که بعنوان معادلهی خودسازگار هارتری برای تابع موج چگاله شناخته میشود. در این روش جملهی خطی Hl بطور یکسان حذف میشود و هامیلتونین درجه دوم موثر را نتیجه میدهد ]87[.
(۱۰-۱-٢)Heff=H0+H'با معرفی عملگر آماریودر نتیجه میانگین آنسامبلی ….=Tr(ρeff….) ، چون Heff با N جابجا نمیشود، بنابراین تابع موج چگاله به صورت
(۱۱-۱-٢)Ψx=Trρeffψ(x)خواهد بود. با معرفی عملگرهای هایزنبرگ
(۱٢-۱-٢)φkxτ=eHeffτℏφxe-Heffτℏ(۱٣-۱-٢)φ†xτ=eHeffτℏφ†xe-Heffτℏکه در معادلات میدانی خطی زیر صدق میکنند]87[:
(۱۴-۱-٢)ℏ∂∂τφkxτ=-Tx-μ+d3x'Vx-x'Ψx'2φk(xτ)-d3x'Vx-x'Ψ⋆x'φkx'τ+φk†x'τΨx'Ψxو همچنین
(۱۵-۱-٢)ℏ∂∂τφk†xτ=Tx-μ+d3x'Vx-x'Ψx'2φk†(xτ)+d3x'V(x-x')φk†x'τΨx'+Ψ⋆x'φkx'τΨ⋆(x)این عملگرهای میدان میتوانند برای تعریف تابع گرین تک ذرهای استفاده شوند]87[.
(۱۶-۱-٢)Gxτ,x'τ'=-Tτψkxτψk†x'τ'=-ΨxΨ⋆x'+G'xτ,x'τ'که در آن

متن کامل در سایت امید فایل 

(۱۷-۱-٢)G'xτ,x'τ'=-Tτφkxτφk†x'τ'جملات معادلهی (2-1-16) بترتیب به چگاله و غیرچگاله اشاره میکند]87[.
بعنوان نتیجه فرعی، چگالی میانگین برابر خواهد بود با ]87[
(۱۸-۱-٢)nx=n0x+n'xبطوریکه n0x=Ψ(x)2 و n'x=-G'(xτ,xτ+).
با استفاده از معادلهی (2-1-14) و (2-1-15) معادلهی G' بصورت زیر خواهد بود :
(۱۹-۱-٢)ℏ∂∂τG'xτ,x'τ'=-ℏδτ-τ'φkxτ,φk†x'τ'-Tτℏ∂φkxτ∂τφk†x'τ'معادلهی (2-1-4) نشان میدهد که عملگر ترتیب زمانی در قسمت راست معادله به تابع دلتا تبدیل شده و خواهیم داشت]87[:
(٢۰-۱-٢)-ℏ∂∂τ-Tx+μ-d3x" V(x-x")Ψ(x")2G'xτ,x'τ'-d3x" V(x-x")Ψ(x)Ψ⋆x)G'(xτ,x'τ'+Ψx)G'21(xτ,x'τ'=ℏδ(τ-τ')δ(x-x')که G'21 تابع گرین نامتعارف سیستم است
(٢۱-۱-٢)G'21xτ,x'τ'=-Tτφk†xτφk†x'τ'محاسبهای مشابه منجر خواهد شد به
(٢٢-۱-٢)ℏ∂∂τ-Tx+μ-d3x" V(x-x") Ψ(x")2G'21(xτ,x'τ')-d3x" V(x-x")Ψ⋆(x)Ψx)G'21(xτ,x'τ'+Ψ⋆(x)G'(xτ,x'τ')=0در نمونهی عادی از آنسامبل مستقل از زمان، G' و G'21 دارای نمایش فوریهی زیر هستند]87[:
(٢٣-۱-٢)G'xτ,x'τ'=(βℏ)-1ne-iωn(τ-τ')G'(x,x',ωn)(٢۴-۱-٢)G'21xτ,x'τ'=βℏ-1ne-iωnτ-τ'G'21x,x',ωnکه برای بوزونها ωn=2πnβ. بنابراین معادلهی حرکت به صورت زیر خواهد شد]87[:
iℏωn+(2m)-1ℏ2∇2+μ-d3x" V(x-x")Ψ(x")2G'(x,x',ωn)-d3x" V(x-x") Ψ(x)Ψ⋆(x)G'(x,x',ωn)+Ψ(x)G'21(x",x,ωn)=ℏδ(x-x') (٢۵-۱-٢)و همچنین
-iℏωn+(2m)-1ℏ2∇2+μ-d3x" V(x-x")Ψ(x")2G'21(x,x',ωn)-d3x" V(x-x") Ψ⋆(x)Ψ(x)G'21(x,x',ωn)+Ψ⋆(x) G'(x",x,ωn)=ℏδ(x-x') (٢۶-۱-٢)اگرچه این معادلات جفتشده را میتوان برای هر Ψ که در معادلهی (2-1-9) صدق میکند حل کرد، اما تنها نمونههای سادهای با جزئیات مورد مطالعه قرار گرفته است.
2-2- چگالهی یکنواخت
زمانی که تابع موج چگاله مستقل از زمان باشد Ψx=n0(T)12، جانشینی مستقیم در معادلهی (2-1-9) رابطهی بین پتانسیل شیمیایی و چگالی چگاله را بدست میدهد]87[
(۱-٢-٢)μ=n0TV0که V0=V(k=0).
بنابراین تبدیل فوریه معادلههای (2-1-25) و (2-1-26) که یک معادلهی دیفرانسیلی انتگرالی جفت شده است را حل خواهد کرد، زیرا ضرائب ثابت خواهند بود]87[.
(٢-٢-٢)G'X-X',ωn=(2π)-3d3k eiK.(X-X')G'(K,ωn)(٣-٢-٢)G'21X-X',ωn=(2π)-3d3k eiK.(X-X')G'21(K,ωn)یک محاسبهی ساده منجر خواهد شد به]87[:
(۴-٢-٢)iℏωn-ξk0-n0V(k)G'K,ωn-n0VkG'21K,ωn=ℏ(۵-٢-٢)-iℏ-ξk0-n0VkG'21K,ωn-n0VkG'K,ωn=0که در آن ξk0=ℏ2k22m است و جوابهای این معادله ی جبری بصورت زیر خواهد بود]87[:
(۶-٢-٢)G'K,ωn=-ℏiℏωn+ξk0+n0V(k)(ℏωn)2+Ek2=uk2iωn-Ekℏ-vk2iωn+Ekℏ(۷-٢-٢)G'21K,ωn=ℏn0V(k)(ℏωn)2+Ek2=-ukvk1iωn-Ekℏ-1iωn+Ekℏکه در آن
(۸-٢-٢)Ek=ξk0+n0V(k)2-n0V(k)212(۹-٢-٢)vk2=uk2-1=12ξk0+n0VkEk-1(۱۰-٢-٢)ukvk=n0V(k)2Ekکه ادامهی معمول محاسبات در فرکانسهای حقیقی، Ek را به عنوان انرژی برانگیختگی تعیین میکند و رفتار آن در طول موج بلند k→0، ]87[
(۱۱-٢-٢)Ek≈ℏckخواهد بود که در آن
(۱٢-٢-٢)c=n0TV(0)m-112نشان میدهده که V(0) باید مثبت باشد. بعلاوه، اگر Ek برای تمام k≠0 مثبت باشد، بنابراین تندی بحرانی لاندائو محدود است؛ در نتیجه گاز بوزونی ناکامل، ابرشاره میباشد. در حالی که گاز بوزونی کامل ابرشاره نیست، زیرا c و Vc بطور یکسان حذف میشوند. این نتیجه یکی از مهمترین نتایج محاسبات اصلی بوگولیوبوف برای نشان دادن این که چگونه وجود برهمکنش دافعه به طور کیفی طیف را تغییر میدهد و منجر به یک رابطهی پراکندگی خطی درk→0میشود]87[.
فصل سوم
همبستگی کلاسیکی و کوانتومی در سیستم دو بخشی بوزونی3-1- تابع گرین سیستم دو بخشی بوزونی با پتانسیل دلتای دیراک اکنون به محاسبهی تابع گرین میپردازیم :
(۱-۱-٣)G'r,t=t1-t'1=eik.r-ωtdk2π3dω2πG'k,ω با تبدیل ω→iω، در رابطهی (2-2-6) عبارت زیر نتیجه میشود :
(٢-۱-٣)G'K,ωn=uk2-ωn-Ekℏ-vk2-ωn+Ekℏبا جایگذاری رابطهی (3-1-2) در انتگرال (3-1-1) خواهیم داشت:
(٣-۱-٣)G'(r,t)=eik.r-ωtdk2π3dω2πuk2-ω-Ekℏ-vk2-ω+Ekℏ=eik.rdk2π3-∞+∞dω2πe-iωtuk2-ω-Ekℏ+vk2ω-Ekℏبا استفاده از قضیهی مانده ها انتگرال روی ω را محاسبه میکنیم. در حد t→0- انتگرال را محاسبه میکنیم، بنابراین پربند را بالا میبندیم و ریشهی مثبت عبارت را استفاده میکنیم. ریشههای عبارت به صورت زیر است:
(۴-۱-٣)ω=±Ekℏکه فقط ریشهی مثبت آن قابل قبول است، بنابراین انتگرال روی ω عبارت است از:
(۵-۱-٣)-∞+∞dω2πe-iωtuk2-ω-Ekℏ+vk2ω-Ekℏ=vk22πe-iωtω-Ekℏdω=vk22π2πia-1که a-1 برابر خواهد بود با:
(۶-۱-٣)a-1=limω→Ekℏω-Ekℏe-iωtω-Ekℏ=e-iEkℏtکه در حد t→0- خواهیم داشت a-1=1.
بنابراین انتگرال روی ω برابر است با :
(۷-۱-٣)-∞+∞dω2πe-iωtuk2-ω-Ekℏ+vk2ω-Ekℏ=ivk2 اکنون به محاسبهی انتگرال روی k میپردازیم :
(۸-۱-٣)G'r,t=0=i2π3vk2eik.rdk=i2π30∞vk2k2dk-1+1eikrcosθdcosθ02πdφ=i2π2r0∞vk2 k sinkr dkبا جاگذاری vk2 از رابطهی (2-2-9) و با استفاده از رابطهی (2-2-11) و با درنظر گرفتن Vk=ν0δ(k) (ν0 از جنس پتانسیل با مقدار ثابت) خواهیم داشت :
(۹-۱-٣)G'r=i2π2r0∞12ℏ2k22m+n0ν0δk-ℏckℏckksinkr dk=i4π2rℏc0∞ℏ2k22m+n0ν0δk-ℏcksinkr dkبا استفاده از تبدیل فوریهی سینوسی به شکل زیر
(۱۰-۱-٣)fr=2π0∞fksinkr dkخواهیم داشت:
(۱۱-۱-٣)G'(r)=-iℏ4π2mcr4اکنون به محاسبهی G'21 میپردازیم:
(۱٢-۱-٣)G'21r,t=t-t'=eik.r-ωtdk2π3dω2πG'21k,ωبا استفاده از رابطهی (2-2-7) و تبدیل ω→iω خواهیم داشت:
(۱٣-۱-٣)G'21k,ω=-ukvk1-ω-Ekℏ+1ω-Ekℏ(۱۴-۱-٣)G'21r,t=t-t'=eik.rdk2π3-∞+∞dω2πe-iωt-ukvk1-ω-Ekℏ+1ω-Ekℏ با استفاده از قضیهی ماندهها این انتگرال را محاسبه میکنیم. . در حد t→0- انتگرال را محاسبه میکنیم، بنابراین پربند را بالا میبندیم و ریشهی مثبت عبارت را استفاده میکنیم:
(۱۵-۱-٣)-∞+∞dω2πe-iωt-ukvk1-ω-Ekℏ+1ω-Ekℏ= -ukvk2π2πia-1بنابراین خواهیم داشت:
(۱۶-۱-٣)a-1=limω→Ekℏω-Ekℏe-iωtω-Ekℏ=e-iEkℏtکه در حد t→0- ، a-1=1 بنابراین انتگرال روی ω برابر خواهد بود با:
(۱۷-۱-٣)-∞+∞dω2πe-iωt-ukvk1-ω-Ekℏ+1ω-Ekℏ= -iukvk اکنون انتگرال روی k را محاسبه میکنیم:
(۱۸-۱-٣)G'21r,t=0=-i2π3ukvkeik.r d3kبا استفاده از رابطهی (36-2) و (37-2) خواهیم داشت:
(۱۹-۱-٣)G'21r,t=0=-i2π30∞n0V(k)2ℏckk2dk-1+1eikrcosθdcosθ02πdφو با توجه به اینکه Vk=ν0δ(k) است، خواهیم داشت:
(٢۰-۱-٣)G'21r,t=0=-in02π2rℏc0∞ν0δksinkrdk=03-1-1- ماتریس چگالی دو ذرهای با رویکرد تابع گرین
اگرفرض کنیم که ذراتی داشتیم که مشابه هلیوم4 میبودند اما برهمکنش ضعیف بین اتمهای هلیوم4 غائب بود و این ذرات اسپین 1⁄2 میداشتند و جفتشدگی آنچنان میداشتند که چگالش بوز- انیشتین برای آنها صورت میگرفت، میتوانستیم از روابط زیر استفاده کنیم:]88[:
(٢۱-۱-٣)ρs1,s2;s'1,s'2(2)r1,r2;r'1r'2=-12δs1s'1δs2s'2G'r1-r'1G'r2-r'2+δs1s'2δs2s'1G'r1-r'2G'r2-r'1+Is1s2Is'1s'2G'21r'1-r'2G'21*r1-r2که در آن وابستگی اسپینی به وسیلهی ماتریس نامتقارن زیر مشخص میشود]88[:
(٢٢-۱-٣)Iss'=01-10=iσyبا توجه به رابطهی (3-1-20) ماتریس چگالی به صورت زیر خواهد بود:
(٢٣-۱-٣)ρs1,s2;s'1,s'2(2)r1,r2;r'1r'2=-12δs1s'1δs2s'2G'r1-r'1G'r2-r'2+δs1s'2δs2s'1G'r1-r'2G'r2-r'1با استفاده از رابطهی (3-1-11) خواهیم داشت:
(٢۴-۱-٣)ρs1,s2;s'1,s'2(2)r1,r2;r'1r'2=-12δs1s'1δs2s'2-iℏ4π2mc(r1-r'1)4-iℏ4π2mc(r2-r'2)4+δs1s'2δs2s'1-iℏ4π2mc(r1-r'2)4-iℏ4π2mc(r2-r'1)4(٢۵-۱-٣)=12δs1s'1δs2s'2ℏ4π2mc21(r1-r'1)4(r2-r'2)4+δs1s'2δs2s'1ℏ4π2mc21(r1-r'2)4(r2-r'1)4و با استفاده از نامگذاری
(٢۶-۱-٣)f=ℏ4π2mc21(r1-r'1)4(r2-r'2)4(٢۷-۱-٣)g=ℏ4π2mc21(r1-r'2)4(r2-r'1)4شکل ماتریسی ρ(2) به صورت زیر خواهد بود:
(٢۸-۱-٣)ρ(2)r1,r2;r'1r'2=12f+g00 00fg 000g0f 00f+gهمچنین میتوان آن را به شکل زیر نوشت:
(٢۹-۱-٣)ρ(2)r1,r2;r'1,r'2=12Nρab(٣۰-۱-٣)ρab=1Nf+g00 00fg 000g0f 00f+gکه N=4f+2g ضریب بهنجارش ماتریس ρab میباشد.
3-1-2- همبستگی کلاسیکی و کوانتومی سیستم
ویژه مقادیرماتریس چگالی رابطهی (3-1-30) عبارت است از :
(٣۱-۱-٣)λ1=f+g4f+2gλ2=f+g4f+2gλ3=f+g4f+2gλ4=f-g4f+2gآنتروپی ون نیومن این ماتریس چگالی با استفاده از رابطهی (1-2-7) به صورت زیر خواهد بود:
(٣٢-۱-٣)Sρab=-3f+g4f+2glog2f+g4f+2g+f-g4f+2glog2f-g4f+2gطبق تعریف ماتریس چگالی زیر سیستم ها به صورت زیر میباشد :
(٣٣-۱-٣)ρa=trbρabρb=traρabماتریس چگالی زیر سیستمها عبارتند از :
(٣۴-۱-٣)ρa=ρb=14f+2g2f+g002f+g=120012آنتروپی ون نیومن زیر سیستمها با استفاده از رابطهی (1-2-7) به صورت زیر خواهد بود :
(٣۵-۱-٣)Sρa=Sρb=-12log212+12log212=-log212=1درنتیجه اطلاعات متقابل کوانتومی با استفاده از رابطهی (1-2-12) بدست میآید :
(٣۶-۱-٣)Iρab=2+3(f+g)4f+2glog2f+g4f+2g+f-g4f+2glog2(f-g4f+2g)نمودار تغییرات اطلاعات متقابل کوانتومی برحسب r1,r'2 با ثابت در نظر گرفتن r2=2 و r'1=1 به صورت زیر است:

شکل3-1: نمودار تغییرات اطلاعات متقابل کوانتومی بر حسب r1,r'2 با فرض r2=2 و r'1=1اکنون به محاسبهی همبستگی کلاسیکی میپردازیم:
با توجه به اینکه ρ14=0 (درایهی سطر اول وستون چهارم ماتریس چگالی) است، طبق رابطه (1-6-15) خواهیم داشت:
(٣۷-۱-٣)Θ=4KLρ232با تشکیل ماتریس ρ0 و ρ1 ، ویژه مقادیر به صورت زیر خواهد بود:
(٣۸-۱-٣)v±ρ0=12(1±θ)w±ρ1=121±θ'که در آن
(٣۹-۱-٣)θ=ρ11-ρ33K+ρ22-ρ44L2+4KLρ232ρ11+ρ33K+ρ22+ρ44L2θ'=ρ11-ρ33L+ρ22-ρ44K2+4KLρ232ρ11+ρ33K+ρ22+ρ44L2مشابه استدلال در بخش 1-6 اکسترممهای ویژه مقادیر در k=0,1,12 است.
به ازای K=L=12(۴۰-۱-٣)θ1=θ2=g4f+2g2122=g2f+gبه ازای K=0(۴۱-۱-٣)θ3=f-f-g4f+2g22f+g4f+2g2=g2f+gبه ازای K=1(۴٢-۱-٣)θ4=f+g-f4f+2g2f+g+f4f+2g2=g2f+gبنابراین
(۴٣-۱-٣)θsup=g2f+g و با توجه به اینکه f,g مثبت است، طبق روابط (1-6-19) و (1-6-20) خواهیم داشت:
minS(ρ|Πb(j)=minSρ0=-1+g2f+g2log21+g2f+g2-1-g2f+g2log21-g2f+g2(۴۴-۱-٣)=-f+g2f+glog2f+g2f+g-f2f+glog2f2f+gهمچنین همبستگی کلاسیکی به صورت زیر خواهد بود:
(۴۵-۱-٣)J(ρab)=Sρa-minS(ρab|Πb(j)=1+f+g2f+glog2f+g2f+g+f2f+glog2f2f+g=2+2f+2g4f+2glog2f+g4f+2g+2f4f+2glog2f4f+2gنمودار همبستگی کلاسیکی بر حسب r1 و r'2 به صورت زیر است:

شکل3-2: نمودار تغییرات بیشینه مقدار همبستگی کلاسیکی بر حسب r1,r'2 با فرض r2=2 و r'1=1حال به محاسبهی ناسازگاری کوانتومی میپردازیم. طبق تعریف ناسازگاری کوانتومی از رابطه (1-2-14) و با استفاده از (3-1-36) و (3-1-45) خواهیم داشت:
(۴۶-۱-٣)Daboriρab=Iρab-max∏b Jρab=f+g4f+2glog2f+g4f+2g+f-g4f+2glog2f-g4f+2g-2f4f+2glog2f4f+2gنمودار ناسازگاری کوانتومی بر حسب r1 و r'2 به صورت زیر است:

شکل3-3: نمودار تغییرات ناسازگاری کوانتومی بر حسب r1,r'2 با فرض r2=2 و r'1=1تابع توافق در این حالت با استفاده از رابطهی (1-7-4) به صورت زیر خواهد بود:
(۴۸-۱-٣)C=2max0,0-f2,g-f+g=0توجه کنیم که طبق روابط (3-1-26) و (3-1-27) f و g مقادیر مثبتی دارند و بنابراین سیستم درهمتنیده نیست.
3-1-3- ماتریس چگالی سیستم درحالت حدی در حد r1≈r'1 و r2≈r'2 به محاسبهی ماتریس چگالی میپردازیم:
با توجه به رابطهی (3-1-22) ماتریس چگالی به صورت زیر خواهد بود
(۴9-۱-٣)ρs1,s2;s'1,s'2(2)r1,r2;r'1r'2=-12δs1s'1δs2s'2G'20+δs1s'2δs2s'1G'2rکه در این رابطه r=r2-r1 میباشد. با توجه به اینکه]88[
(۵۰-۱-٣)iG'0=n02بنابراین خواهیم داشت
(۵۱-۱-٣)ρs1,s2;s'1,s'22r1,r2;r'1r'2=n028δs1s'1δs2s'2+δs1s'2δs2s'1G'2rG'20با استفاده از نامگذاری
(۵٢-۱-٣)v2=G'2rG'20ماتریس چگالی به صورت زیر خواهد بود:
(۵٣-۱-٣)ρs1,s2;s'1,s'22r1,r2;r'1r'2=n028Nρabρab=1N1+v200 10 0v2 00 v20 01 001+v2که در آن N=4+2v2.
3-1-4- همبستگی کلاسیکی و کوانتومی سیستم در حالت حدیویژه مقادیر ماتریس چگالی در رابطهی (3-1-53) عبارت است از :
(۵۴-۱-٣)λ1=1+v24+2v2λ2=1+v24+2v2λ3=1+v24+2v2λ4=1-v24+2v2با استفاده از رابطهی (1-2-7) به محاسبهی آنتروپی ون نیومن میپردازیم:
(۵۵-۱-٣)Sρab=-31+v24+2v2log21+v24+2v2+1-v24+2v2log21-v24+2v2اکنون ماتریس چگالی زیر سستمهای a و b را بدست میآوریم:
(۵۶-۱-٣)ρa=trbρabρb=traρabρa=ρb=14+2v22+v2002+v2=120012بنابراین آنتروپی ون نیومن زیرسیستمها عبارت است از:
(۵۷-۱-٣)Sρa=Sρb=-12log212+12log212=-log212=1از اینرو با استفاده از رابطهی (1-2-12) اطلاعات کوانتومی را بدست میآوریم:
(۵۸-۱-٣)Iρab=2+31+v24+2v2log21+v24+2v2+1-v24+2v2log21-v24+2v2با بیبعد کردن پارامتر v2 به صورت زیر :
(۵۹-۱-٣)v2=-1n024×-ℏ216π4m2c2r8=ℏ24n02π4m2c2r8=ℏ24n02π4m2c2rc8rrc8=α4π4rrc8نمودار اطلاعات متقابل کوانتومی به صورت زیر خواهد بود:

شکل3-4: نمودار تغییرات اطلاعات متقابل کوانتومی I برحسب تابعی از rrcبا فرض α=14 حال به محاسبهی همبستگی کلاسیکی میپردازیم:
با توجه به اینکه ρ14=0 است، طبق رابطهی (1-6-15) خواهیم داشت:
(۶۰-۱-٣)Θ=4KLρ232با تشکیل ماتریس ρ0 و ρ1 ، مشابه حالت قبل، به محاسبهی θsup میپردازیم:
مشابه استدلال در بخش 1- 6 اکسترممهای ویژه مقادیر در k=0,1,12 است.
به ازای K=L=12(۶۱-۱-٣)θ1=θ2=v24+2v22122=v22+v2به ازای K=0(۶٢-۱-٣)θ3=-v24+2v222+v24+2v22=v22+v2به ازای K=1(۶٣-۱-٣)θ4=v24+2v222+v24+2v22=v22+v2بنابراین
(۶۴-۱-٣)θsup=v22+v2 و با توجه به اینکه v2 مثبت است، طبق روابط (1-6-19) و (1-6-20) خواهیم داشت:
minS(ρ|Πb(j)=minSρ0=-1+v22+v22log21+v22+v22-1-v22+v22log21-v22+v22=-2+2v24+2v2log22+2v24+2v2-24+2v2log224+2v2 (۶5-۱-٣)بنابراین همبستگی کلاسیکی به صورت زیر خواهد بود:
(۶6-۱-٣)J(ρab)=Sρa-minS(ρab|Πb(j)=1+2+2v24+2v2log22+2v24+2v2+24+2v2log224+2v2نمودار بیشینه همبستگی کلاسیکی در این حالت به صورت زیر خواهد بود:

شکل3-5: نمودار تغییرات بیشینه همبستگی کلاسیکی J برحسب تابعی از rrcبا فرض α=14 طبق تعریف، ناسازگاری کوانتومی در این حالت به صورت زیر خواهد بود:
(۶7-۱-٣)Daboriρab=1+v24+2v2log21+v24+2v2+1-v24+2v2log21-v24+2v2-24+2v2log214+2v2نمودار ناسازگاری کوانتومی به صورت تابعی از مکان به صورت زیر می باشد:

شکل3-6: نمودار تغییرات ناسازگاری کوانتومی Dabori برحسب تابعی rrc با فرض α=14 تابع توافق ماتریس چگالی با استفاده از رابطهی (1-7-4) عبارت است از:
(۶۸-۱-٣)C=2max0,0-1,v2-1+v2که باتوجه به مثبت بودن v2 تابع توافق صفر خواهد بود و بنابراین سیستم درهمتنیده نیست.
(۶۹-۱-٣)C=03-2- تابع گرین سیستم دو بخشی بوزونی با پتانسیل ثابتمیخواهیم تابع گرین سیستمی را بدست آوریم که در آن پتانسیل ثابت است. با استفاده از رابطهی (3-1-3) داریم:
(۱-٢-٣)G'(r,t)=eik.rdk2π3-∞+∞dω2πeωtuk2-ω-Ekℏ+vk2ω-Ekℏمشابه روابط (3-1-4)، (3-1-5) و (3-1-6) انتگرال روی ω را محاسبه کرده و در حد t⟶0- به عبارت زیر میرسیم:
(٢-٢-٣)G'r,t=0=i2π3vk2eik.rdk=i2π30∞vk2k2dk-1+1eikrcosθdθ02πdφ=i2π2r0∞vk2 k sinkr dk با جاگذاری vk2 از رابطهی (2-2-9) و با استفاده از رابطهی (2-2-11) و با فرض اینکه Vk=ϑ=const خواهیم داشت:
(٣-٢-٣)G'r=i2π2r0∞12ℏ2k22m+n0ϑ-ℏckℏckksinkr dk=i4π2ℏcr0∞ℏ2k22m+n0ϑ-ℏcksin⁡(kr)با استفاده از تبدیل فوریهی سینوسی به عبارت زیر میرسیم:
(۴-٢-٣)G'r=i4π2ℏcr-2ℏ2mπr3+2n0ϑπr+2ℏcδ(r)اکنون به محاسبهی G'21 میپردازیم. انتگرال روی ω را در روابط (3-1-15)، (3-1-16) و (3-1-17) محاسبه کردیم و نتیجهی زیر را بدست آوردیم:
(۵-٢-٣)G'21r,t=0=-i2π3ukvkeik.r d3kبا استفاده از رابطهی (2-2-10) خواهیم داشت :
(۶-٢-٣)G'21r,t=0=-i2π30∞n0ϑ2ℏckk2dk-1+1eikrcosθdcosθ02πdφ=-in0ϑ2π2rℏc0∞sinkrdk= -in0ϑ2π3ℏcr2انتگرال عبارت اخیر تبدیل فوریهی سینوسی عدد یک است.
3-2-1- ماتریس چگالی دو ذرهای با رویکرد تابع گرینمیخواهیم ماتریس چگالی را با استفاده از توابع گرین بدست آمده محاسبه کنیم :
(۷-٢-٣)ρs1,s2;s'1,s'2(2)r1,r2;r'1r'2=-12δs1s'1δs2s'2G'r1-r'1G'r2-r'2+δs1s'2δs2s'1G'r1-r'2G'r2-r'1+Is1s2Is'1s'2G'21*r'1-r'2G'21r1-r2طبق رابطههای (3-2-3) و (3-2-6) میتوان ماتریس چگالی را به صورت زیر نشان داد :
(۸-٢-٣)ρs1,s2;s'1,s'2(2)r1,r2;r'1r'2=12δs1s'1δs2s'2f+δs1s'2δs2s'1g-Is1s2Is'1s'2q]که در آن
(۹-٢-٣)f=14π2ℏc(r1-r'1)-2ℏ2mπ(r1-r'1)3+2n0ϑπr1-r'1)×14π2ℏc(r2-r'2)-2ℏ2mπ(r2-r'2)3+2n0ϑπr2-r'2(۱۰-٢-٣)g=14π2ℏc(r1-r'2)-2ℏ2mπ(r1-r'2)3+2n0ϑπr1-r'2×14π2ℏc(r2-r'1)-2ℏ2mπ(r2-r'1)3+2n0ϑπr2-r'1(۱۱-٢-٣)q=n0ϑ2π3ℏc2r1-r22(r'1-r'2)2میتوان رابطهی (3-2-8) را به صورت زیر نوشت:
(۱٢-٢-٣)ρs1,s2;s'1,s'2(2)r1,r2;r'1r'2=12Nρab
که در آن N=4f+2g+2q .

3-2-2- همبستگی کلاسیکی و کوانتومی سیستم
ویژه مقادیر ماتریس چگالی در رابطهی (3-2-12) عبارت است از:
(۱٣-٢-٣)λ1=f+g4f+2g+2qλ2=f+g4f+2g+2qλ3=f+g4f+2g+2qλ4=f-g+2q4f+2g+2q آنتروپی ون نیومن این ماتریس چگالی با استفاده از رابطهی (1-2-7) عبارت است از :
(۱۴-٢-٣)Sρab=-3f+g4f+2g+2qlog2f+g4f+2g+2q+f-g+2q4f+2g+2qlog2f-g+2q4f+2g+2q ماتریس چگالی زیر سیستمها عبارت است از :
(۱۵-٢-٣)ρa=ρb=14f+2g+2q2f+g+q002f+g+q=120012در نتیجه آنتروپی ون نیومن زیر سیستمها به صورت زیر خواهد بود:
(۱۶-٢-٣)Sρa=Sρb=-12log212+12log212=1با استفاده از (3-2-14) و (3-2-16) اطلاعات متقابل کوانتومی را از رابطهی (1-2-12) بدست میآوریم:
(۱۷-٢-٣)Iρab=2+3(f+g)4f+2g+2qlog2f+g4f+2g+2q+f-g+2q4f+2g+2qlog2f-g+2q4f+2g+2q با بیبعد کردن f,g,q به صورت زیر :
(۱۸-٢-٣)f=14π6-ℏmcrc4r1-r'1rc4+n0ϑℏcrc2r1-r'1rc2×-ℏmcrc4r2-r'2rc4+n0ϑℏcrc2r2-r'2rc2با نامگذاری
(۱۹-٢-٣)β=ℏmcrc4γ=n0ϑℏcrc2خواهیم داشت:
(3-2-20) f=14π6-βr1-r'1rc4+γr1-r'1rc2×-βr2-r'2rc4+γr2-r'2rc2به همین ترتیب g,q به صورت زیر خواهند بود:
(3-2-21) g=14π6-βr1-r'2rc4+γr1-r'2rc2×-βr2-r'1rc4+γr2-r'1rc2q=γ24π6r1-r2rc2r'1-r'2rc2نمودار تغییرات اطلاعات متقابل کوانتومی با ثابت نگهداشتن r'1rc=1 و r2rc=2 برحسب r1rc,r'2rc و با فرض β=1 و γ=8 به صورت زیر است :

شکل3-7: نمودار اطلاعات متقابل کوانتومی برحسب r1rc,r'2rc با فرض β=1 و γ=8 .
اکنون به محاسبهی همبستگی کلاسیکی میپردازیم:
مشابه حالت قبل با تشکیل ماتریس های ρ0,ρ1، θsup را محاسبه میکنیم
به ازای K=L=12(٢٢-٢-٣)θ1=θ2=g-q4f+2g+2q2122=g-q2f+g+qبه ازای K=0(٢٣-٢-٣)θ3=g-q4f+2g+2q22f+g+q4f+2g+2q2=g-q2f+g+qبه ازای K=1(٢۴-٢-٣)θ4=g-q4f+2g+2q22f+g+q4f+2g+2q2=g-q2f+g+qبنابراین
(٢۵-٢-٣)θsup=g-q2f+g+qو با استفاده از روابط (1-6-19) و (1-6-20) و با توجه به اینکه کمینه مقدار آنتروپی شرطی کوانتومی تحت تبدیل θ→-θ متقارن است، بنابراین قدر مطلق ظاهر نمیشود.
(٢۶-٢-٣)minS(ρ|Πb(j)=minSρ0=-1+g-q2f+g+q2log21+g-q2f+g+q2-1-g-q2f+g+q2log21-g-q2f+g+q2(٢۷-٢-٣)=-1-2f+2g4f+2g+2qlog2f+g4f+2g+2q-2f+2q4f+2g+2qlog2f+q4f+2g+2qبا استفاده از تعریف، همبستگی کلاسیکی به صورت زیر خواهد بود:
(٢۸-٢-٣)J(ρab)=2+2f+2g4f+2g+2qlog2f+g4f+2g+2q+2f+2q4f+2g+2qlog2f+q4f+2g+2qنمودار تغییرات بیشینهی همبستگی کلاسیکی با ثابت نگه داشتن r'1rc=1 و r2rc=2 برحسب r1rc,r'2rc و با فرض β=1 و γ=8 به صورت زیر است :

شکل3-8: نمودار بیشینه ی همبستگی کلاسیکی برحسب r1rc,r'2rc با فرض β=1 و γ=8 .
بنابراین ناسازگاری کوانتومی طبق رابطهی (1-2-14) بدست خواهد آمد:
(٢۹-٢-٣)Daboriρab=f+g4f+2g+2qlog2f+g4f+2g+2q+f-g+2q4f+2g+2qlog2f-g+2q4f+2g+2q-2f+2q4f+2g+2qlog2f+q4f+2g+2qنمودار ناسازگاری کوانتومی بر حسب r1 و r'2 به صورت زیر است:

شکل3-9: نمودار ناسازگاری کوانتومی برحسب r1rc,r'2rc با فرض β=1 و γ=8 .
همچنین میتوان ماتریس چگالی در رابطه ی (3-2-12) را به صورت حالت ورنر بیان کرد:
(٣۰-٢-٣)ρab=1-p4I+pψ(-)ψ(-)که در آن I ماتریس واحد، ψ(-)=12↑↓-↓↑ و 0≤p≤1 است. اکنون به محاسبهی پارامتر p میپردازیم.
(٣۱-٢-٣)

در نتیجه خواهیم داشت:
(٣٢-٢-٣)p=q-g2f+g+qطبق خصوصیات حالت ورنر، به ازای p>13 سیستم درهمتنیده است و معیار درهمتنیدگی آن عبارت است از]88[:
(٣٣-٢-٣)Cρ=max0,3p-12بنابراین خواهیم داشت:
(٣۴-٢-٣)q-g2f+g+q>13⇒q>f+2gطبق تعریف برای اطلاعات متقابل کوانتومی برای حالت ورنر به صورت زیر]73[:
(٣۵-٢-٣)Iρ=31-p4log21-p+1+3p4log21+3pبا جایگذاری مقدار p از رابطهی (3-2-32) و با سادهسازی خواهیم داشت :
(٣۶-٢-٣)Iρab=2+3(f+g)4f+2g+2qlog2f+g4f+2g+2q+f-g+2q4f+2g+2qlog2f-g+2q4f+2g+2q که در توافق کامل با نتیجهی بدست آمده در رابطهی (3-2-17) است.
مقدار همبستگی کلاسیکی در حالت ورنر به صورت زیر است]73[:
(٣۷-٢-٣)J(ρab)=1-p2log21-p+1+p2log2(1+p)با جایگذاری مقدار p از رابطهی (3-2-32) و با سادهسازی خواهیم داشت:
(٣۸-٢-٣)J(ρab)=2+2f+2g4f+2g+2qlog2f+g4f+2g+2q+2f+2q4f+2g+2qlog2f+q4f+2g+2qکه در توافق کامل با نتیجهی بدست آمده در رابطهی (3-2-28) است.
طبق تعریف ناسازگاری کوانتومی در حالت ورنر به صورت زیر]73[:
(٣۹-٢-٣)Daboriρ=14(1-p)log21-p+(1+3p)log2(1+3p)-2(1+p)log2(1+p)با جایگذاری مقدار p از رابطهی (3-2-32) خواهیم داشت:
(۴۰-٢-٣)Daboriρab=f+g4f+2g+2qlog2f+g4f+2g+2q+f-g+2q4f+2g+2qlog2f-g+2q4f+2g+2q-2f+2q4f+2g+2qlog2f+q4f+2g+2qکه در توافق کامل با رابطهی (3-2-29) است.
با استفاده از تعریف هماندهی برای ماتریس چگالی به صورت زیر خواهیم داشت]89[:
(۴۱-٢-٣)F=ψ(-)ρabψ(-)که در آن ψ(-)=12↑↓-↓↑.

(۴٢-٢-٣)F=f-g+2q4f+2g+2q=3p+14با توجه به اینکه 0≤p≤1 است، در نتیجه 14≤F≤1 است.
طبق ویژگیهای حالت ورنر، حالت سیستم به ازای p>13 در همتنیده است. بنابراین زمانی که F>12 باشد، سیستم درهمتنیده خواهد بود.
حال با استفاده از هماندهی ماتریس چگالی به محاسبهی آنتروپی نسبی درهمتنیدگی میپردازیم:
طبق تعریف]89[
(۴٣-٢-٣)Ereρ=1+Flog2F+1-Flog21-Fبا جایگذاری مقدار F از رابطهی (3-2-35) خواهیم داشت:
(۴۴-٢-٣)Ereρab=1+f-g+2q4f+2g+2qlog2f-g+2q4f+2g+2q+3f+3g4f+2g+2qlog23f+3g4f+2g+2qنمودار آنتروپی نسبی درهمتنیدگی بر حسب r1 و r'2 به صورت زیر است:

شکل3-10: نمودار آنتروپی نسبی درهمتنیدگی برحسب r1rc,r'2rc با فرض β=1 و γ=8 .
3-2-3- ماتریس چگالی سیستم درحالت حدیدر حد r1≈r'1 و r2≈r'2 به محاسبهی ماتریس چگالی میپردازیم. با توجه به رابطهی (3-1-21) خواهیم داشت :
(۴۵-٢-٣)ρs1,s2;s'1,s'2(2)r1,r2;r'1r'2=-12δs1s'1δs2s'2G'20+δs1s'2δs2s'1G'2r+Is1s2Is'1s'2G'21r2با استفاده از رابطهی (3-1-50) خواهیم داشت:
(۴۶-٢-٣)ρs1,s2;s'1,s'2(2)r1,r2;r'1r'2=n028δs1s'1δs2s'2+δs1s'2δs2s'1G'2rG'02+Is1s2Is'1s'2G'21r2G'02با استفاده از نامگذاری
(۴۷-٢-٣)x2=G'2rG'02y2=G'21r2G'02میتوان آن را به فرم ماتریسی زیر نوشت:
(۴۸-٢-٣)ρs1,s2;s'1,s'22r1,r2;r'1r'2=n028Nρab(۴۹-٢-٣)
که در آن N=4+2x2-2y2.
3-2-4- همبستگی کلاسیکی و کوانتومی سیستم در حالت حدیویژه مقادیر ماتریس در رابطهی (3-2-44) عبارت است از:
(۵۰-٢-٣)λ1=1+x24+2x2-2y2λ2=1+x24+2x2-2y2λ3=1+x24+2x2-2y2λ4=1-x2-2y24+2x2-2y2آنتروپی ون نیومن این ماتریس چگالی به صورت زیر خواهد بود: