ψ

now browsing by tag

 
 

نمونه پایان نامه - دانلود تحقیق علمی ایرانداک

ابزار نوری و شرایط ورزی...........................................................................................................................................................43
فصل چهارم
دوپایایی در سیستم اتمی سه ترازی ................................................................................................................................ 50
سیستم اتمی سه ترازی آبشاری...........................................................................................................................................50
سیستم اتمی Λ- شکل..........................................................................................................................................................56
اثر پدیده دوپلر بر روی دوپایایی اتمهای Λ- شکل .......................................................................................................61
تغییر معادلات لیوویل در سیستم اتمی سهترازی Λ- شکل.........................................................................................65
کنترل دوپایایی در سیستم اتمی V- شکل......................................................................................................................66
فصل پنجم
دوپایایی در سیستم اتمی پنج ترازی ............................................................................................................................... 72
سیستم اتمی کوبراک- رایس...............................................................................................................................................72
کنترل دوپایایی نوری در سیستم اتمی M- شکل.........................................................................................................80
نقش تغییر فاز در دوپایایی سیستم اتمی M- شکل......................................................................................................87
نتیجه گیری............................................................................................................................................................................89
مراجع.......................................................................................................................................................................................91
چکیده
در بعضی از سیستمهای اپتیکی غیر خطی اگر نور لیزر با شدت بالایی اعمال شود، به ازای یک شدت ورودی، سیستم دارای دو شدت خروجی خواهد بود. جمله دوپایداری نوری بخاطر این خاصیت از سیستم برای این پدیده استفاده می شود. سیستم هایی با چند پایایی نوری نیز وجود دارند که در این سیستم ها به ازاء یک شدت ورودی معین چندین شدت خروجی میتواند وجود داشته باشد. در این پایان نامه هدف بررسی چندپایایی نوری است، اما بخاطر اهمیت و کاربرد فراوان دوپایداری نوری در سوئیچ زنی به این موضوع نیز پرداخته میشود.
در این تحقیق رفتار دوپایایی نوری یک سیستم پنج ترازی М- شکل در حضور میدان های همدوس لیزری بررسی شده است. نشان داده شده که آستانه دوپایایی به شدت میدان های اعمالی بر سیستم وابسته است، همچنین با تغییر در شدت میدانها ی جفت کننده چند پایایی را نیز میتوان مشاهده کرد. در آخر، منحنیهای جذب و پاشندگی با تغییر در شدت میدانها ی جفت کننده بررسی شده است. و به بررسی اثر فاز میدانهای کنترلی بر روی دوپایایی پرداخته شده است.
مقدمه
در سالهای اخیر، تعداد زیادی از پدیده های اپتیک کوانتومی برپایه همدوسی و تداخل کوانتومی، مورد توجه محققان این رشته بوده است.[1] از جمله آنها میتوان به لیزرزایی بدون وارونی جمعیت، شفافیت القایی الکترومغناطیسی، حذف جذب، دوپایایی نوری و غیر خطیت کر اشاره کرد.[2-4] یکی از این پدیده ها دوپایایی نوری در اتم های چند ترازی است که درون یک کاواک قرار داده شده است. دوپایایی نوری به علت کاربردهای گسترده آن، مثل کاربرد آن در ترانزیستورهای نوری، المان های حافظه سیستم و سوئیچ های تمام نوری مورد مطالعه قرار گرفته است.[5-7]
در این پایان نامه ابتدا به تعریف پدیده دوپایایی نوری با استفاده از روابط شدتها پرداخته میشود. و سعی میشود به یک دید کلی از دوپایداری نوری برسیم. البته برای بررسی این پدیده در سیستمهای اتمی مختلف به روابطی از مکانیک کوانتومی و اپتیک غیر خطی نیاز خواهیم داشت که به بررسی اجمالی این روابط در فصل دوم نیز پرداخته میشود. مزیت دیگر این فصل آن است که دارای یک پیوستگی بین روابط کوانتومی که از قبل با آنها آشنا هستیم و روابط اپتیک غیر خطی خواهد بود.
سپس به بررسی روابط اپتیک غیر خطی که در پدیده دوپایایی کاربرد دارند پرداخته میشود وسپس رفتار دوپایایی نوری سیستمهای اتمی مختلف مورد بررسی قرار میگیرد. ابتدا در فصل سوم از یک سیستم دوترازی استفاده میشود. در سیستم دو ترازی با محدودیتهای از قبیل اختلاف فاز محدود برای ایجاد دوپایایی، روبرو هستیم. و سپس در فصل سوم سیستم سه ترازی مطالعه میشود که با استفاده از کنترل فاز بین دو میدان کاوشگر و کنترلی، در حضور اثر تداخل کوانتومی، میتوان سیستم را از حالت دوپایا به حالت چندپایا برد.
در فصل چهارم دوپایایی نوری در سیستمهای اتمی سه ترازی درون مشددهای نوری بطور تئوریکی مطالعه شده است .یکی از فواید بکارگیری سیستم اتمی سه ترازی بجای دوترازی این است که اتم ها بصورت یک محیط غیرخطی در یک مشدد نوری، بکارگیری همدوسی اتمی ایجاد شده در سیستم اتمی سه ترازی را که جذب، پاشندگی و غیرخطیت سیستم را به شدت تحت تاثیر قرار می دهد ممکن می سازد و بخوبی معلوم شده است که همدوسی ناشی از گسیل خودبخودی می تواند با گسیل یک تراز تحریکی به دو تراز اتمی نزدیک به هم یا دو تراز نزدیک به هم به یک تراز تحریکی ایجاد شود. این همدوسی در یک سیستم اتمی نوع آبشاری میتواند در مورد ترازهای اتمی تقریباً هم فاصله اتفاق بیافتد. ترازهای نزدیک تبهگن، یک جمله همدوسی ناشی از اندرکنش با خلاء میدان تابشی دارند.
در فصل پنج رفتار دوپایایی نوری را در سیستمهای اتمی پنج ترازی در حضور میدان های همدوس لیزری بررسی می کنیم. سیستم پنج تراز ی که تا کنون دوپایایی آن بررسی شده است سیستم کوبراک- رایس است. علاوه بر آن در این فصل پدیده دو پایایی نوری در یک سیستم اتمی پنج ترازی -M شکل با سه میدان جفت کننده و یک میدان کاوشگر را در یک کاواک حلقوی یکسویه بررسی میکنیم سیستم اتمی پنج ترازی- M شکل بیشتر از جنبههای نشر خودبخودی ترازها و فوتو آشکار ساز با طول موج پایین مورد توجه بوده است. نشان می دهیم که آستانه دوپایایی به شدت میدان های اعمالی بر سیستم وابسته است، همچنین با تغییر در شدت میدانها ی جفت کننده به چند پایایی نیز میرسیم.
با توجه به تشابه بسیاری از روابط و نتایج رفتار دوپایایی نوری در سیستم چهار ترازی و سایر سیستم های اتمی بررسی شده، بخاطر اختصار و جلوگیری از تکرار، از نوشتن بخشی با عنوان رفتار دوپایایی سیستمهای چهارترازی خودداری کردهایم. اما بخاطر جدید بودن و مطالعه سیستم های پنجترازی در ماههای اخیر، این سیستمها نیز بررسی شده است.
در بررسی دوپایایی نوری در انواع سیستم های نوری، در مورد جذب و پاشندگی اتمها بحث خواهد شد و منحنیهای جذب و پاشندگی را با تغییر در شدت میدانهای جفت کننده بررسی میشود.
فصل اول
مفاهیم بنیادی
مقدمه
این فصل را به مفاهیمی از مکانیک کوانتومی اختصاص می دهیم که در محاسبات مورد نیاز هستند. هدف از این کار آشنایی با مسیری مشخص برای مطالعه پدیده دوپایایی نوری است، نه مطالعه قوانین کوانتومی، لذا در بعضی موارد به ذکر مختصری از قوانین مکانیک کوانتومی اکتفا میشود. سعی میشود آنجایی که نقش مهمی در محاسبات بعدی را دارد، بیشتر توضیح داده میشود.
1-1 اختلال
یکی از قوانین اسا سی مکانیک کوانتومی اینست که می توان تمام ویژگیهای یک سیستم اتمی را بر اساس تابع موج اتمی توصیف کرد که از معادله شرودینگر بصورت زیر بدست میآیند:
(1-1) iℏ∂Ψ∂t=H Ψویژه حالتهای یک سیستم اتمی و همچنین ویژه مقادیر یک سیستم اتمی را می توان از معادله شرودینگر بدست آورد.
H عملگر هامیلتونی است که برای یک سیستم اتمی دارای برهمکنش، شامل دو جمله خواهدبود.
(1-2) H=H0+λV(t)H0 هامیلتونی اتم آزاد و λV(t) هامیلتونی برهمکنش اتم است. λ پارامتر اختلال نامیده می شود که بیانگر شدت اختلال است و عددی بین صفر تا یک را دارد. λ=1 برای یک بر همکنش کامل در نظر گرفته می شود.
درصورتی که اتم بدون برهمکنش در نظرگرفته شود، جوابهای معادله شرودینگر بصورت زیر هستند:
(1-3) Ψnr,t=unre-iωntکه شامل دو قسمت زمانی و فضایی است. قسمت فضایی در معادله ویژه مقداری زیر که معادله مستقل از زمان شرودینگر نامیده می شود، صدق می کند
(1-4) H0unr=Enunrو En=ℏωn ویژه مقادیر معین انرژی اتم هستند.
جوابهای قسمت فضایی یک مجموعه متعامد کاملی را تشکیل می دهند و شرط تعامد زیر را ارضاء میکنند
(1-5) um*und3r=δmnبرای یک اتم در برهمکنش با میدان الکتریکی، هامیلتونی برهمکنشی بصورت زیر می باشد:
(1-6) V(t)=-μ . E(t)که μ گشتاور دوقطبی اتم است و بصورت زیر تعریف میشود:
(1-7) μ=-er(t)جوابهای معادله شرودینگر با در نظر گرفتن اختلال بصورت زیر است:
(1-8) Ψ(r,t)=Ψ(r,t)(0)+λΨ(r,t)(1)+λ2Ψ(r,t)(2)+…ΨN قسمتی از جواب معادله شرودینگر است که در انرژی بر همکنش V از مرتبه N ام است.
برای بدست آوردن مرتبه های مختلف جواب معادله شرودینگر معادله ( 1- 8) را در معادله ( 1- 1) قرار می دهیم و تمام جملات متناسب با توان یکسان از λ را مساوی هم قرار می دهیم، برای λ ی با توان صفر داریم:
(1-9) iℏ(∂Ψ0∂t)=H0Ψ(0)
که جواب معادله شرودینگر برای اتم بدون برهمکنش است. برای سایر مرتبه های اختلال، یک جواب کلی به صورت زیر بدست می آید:
(1-10) iℏ∂ΨN∂t=H0Ψ(N)+VΨ(N-1)فرض می کنیم جواب معادله شرودینگر در غیاب جمله برهمکنشی بصورت زیر است:
(1-11) Ψ(r,t)(0)=ugre-iEgt/ℏکه در اینجا Eg و ug ویژه مقدار انرژی و ویژه تابع فضایی اتم در حالت پایه می باشند. با توجه به اینکه ویژه توابع انرژی اتم بدون برهمکنش مجموعه کامل و متعامدی را تشکیل می دهند و می توان هرتابعی را بر حسب آنها بسط داد، تابع موج مرتبه N ام از برهم کنش را به وسیله آنها میتوان بصورت زیر بسط داد.
(1-12) Ψ(r,t)(N)=lalNtulre-iωltکه ضریب alNt ، دامنه احتمال آن است که اتم در مرتبه N ام اختلال، در لحظه t و در ویژه حالت l باشد.
با قرار دادن معادله ( 1- 12) در معادله ( 1- 10) ، دستگاه معادلاتی بر حسب دامنه های احتمال بدست می آید:
(1-13) iℏlalNulre-iωlt=lal(N-1)Vulre-iωltاین معادله دامنه های احتمال مرتبه N ام را به دامنه های احتمال مرتبه (N-1) ام مرتبط می سازد.
با ضرب دوطرف معادله( 1-13) در um* و انتگرال روی تمام فضا و با استفاده از شرط تعامد توابع پایه معادلات زیر بدست میآیند:
(1-14) am(N)=(iℏ)-1lae(N-1)Vmleiωmltکه در آن ωml=ωm-ωl و Vml به شکل زیر تعریف میشود:
(1-15) Vml=<umVul> =um*V und3r که در واقع عناصر ماتریسی هامیلتونی اختلال هستند.
برای مشخص کردن دامنه های مرتبه اول al1t فرض می کنیم سیستم اتمی در مرتبه صفرم ( بدون اختلال) در حالت پایه، g باشد، در نتیجه al0=δlg می باشد.
با استفاده از معادلات (1- 3) و ( 1- 15) عناصر ماتریسی هامیلتونی اختلال را بصورت زیر میتوان نوشت:
(1-16) Vml=-μml .E(t)که در آن عبارت μml به شکل زیر نوشته میشود:

متن کامل در سایت امید فایل 

(1-17) μml=um*μVld3r= <umμun>و گشتاور دو قطبی گذار نامیده می شود.
حال با جایگذاری روابط اخیر در معادله (1- 14)، دامنه احتمال با استفاده از انتگرال گیری بدست میآید، با فرض اینکه حد پایین انتگرال صفر است.
(1-18- الف) an(N)t=(iℏ)-1e-∞tVml(t)ae(N-1)(t)eiωmlt(1-18- ب) an1t=1ℏmμmg. E(t)ωmgeiωmgtدوباره از معادله (1- 14) استفاده می کنیم و با استفاده از دامنه احتمال مرتبه اول، دامنه احتمال مرتبه دوم به دست میآید:
(1-19) an2t=1ℏ2pqmμnm . E(ωq)μmg . Eωpωng-ωp-ωqωmg-ωpei(ωng-ωp-ωq)tاین عمل را تکرار می کنیم و دامنه احتمال مرتبه سوم را حساب می کنیم
(1-20) aν3t=1ℏ3pqrmnμνnEωrμnm .Eωqμmg . Eωpωνg-ωp-ωq-ωrωng-ωp-ωq(ωmg-ωp)ei(ωνg-ωp-ωq-ωr)t
و این عمل برای بدست آوردن دامنه احتمال مرتبه های بالاتر، تکرار میشود.
1-2 پذیرفتاری
نتایج به دست آمده از بخش قبل برای محاسبه پذیرفتاری یا همان ویژگیهای نوری یک سیستم مادی به کار برده میشود.
مقدار چشمداشتی گشتاور دو قطبی الکتریکی عبارت است از:
(1-21) <P>= <ΨμΨ>Ψ توسط بسط اختلال با λ=1 ، بیان می شود، قسمتی از <p> که رابطه خطی با میدان دارد، با رابطه زیر بیان میشود:
(1-22) <P(1)> = <Ψ(0)μΨ1>+<Ψ(1)|μ|Ψ0>با جایگذاری Ψ(0) و Ψ(1) از روابط (1- 11) ، (1- 12) ، (1- 18) مقدار چشمداشتی مرتبه اول گشتاور دو قطبی الکتریکی بصورت زیر می شود:
(1-23) <P(1)> =1ℏpm ( μgmμmg . EωP(ωmg-ωp)e-iωpt+[μmg . EωP]*μmg(ωmg*-ωp)eiωpt )بسامد گذار ωmg بصورت موهومی در نظر گرفته شده است و روی تمام قسمتهای مثبت ومنفی بسامد ωp جمع بسته شده است.
اگر در جمله دوم ωp را به -ωp تغیر دهیم، نتیجه ساده تر خواهد شد.
(1-24) <P(1)> =1ℏpm ( μgmμmg . EωP(ωmg-ωp)+[μmg .EωP]μmg(ωmg*+ωp) )e-iωptقطبش خطی را بصورت p(1)=N<p(1)> در نظر می گیریم که N چگالی تعداد اتمهاست. همچنین برای پذیرفتاری خطی داریم:
(1-25) pi1ωp=jχij(1)Ej(ωp)و در نتیجه:
(1-26) χij1ωp=mNℏ (μgmiμmgjωmg-ωp+μgmjμmgiωmg*+ωp)قطبش p(t) یا همان گشتاور دوقطبی در واحد حجم ماده بستگی به شدت میدان نوری اعمال شده دارد، در اپتیک خطی این وابستگی خطی است یعنی قطبش متناسب توان اول شدت میدان نوری است، این تناسب با ضریبی بنام پذیرفتاری خطی به تساوی تبدیل می شود.
(1-27) p(t)=χ(1)E(t)در اپتیک غیر خطی قطبش متناسب با توانهای بالاتر شدت میدان نوری اعمال شده خواهد بود و رابطه بین قطبش و میدان نوری به صورت زیر خواهد بود:
(1-28) p(t)=χ(1)E(t)+χ(2)E(t)+χ(3)E(t)+…=p(t)(1)+p(t)(2)+p(t)(3)+…کمیتهای χ(2) و χ(3) به ترتیب پذیرفتاری نوری غیر خطی مرتبه دوم و سوم هستند. χ(1) یک تانسور مرتبه دو وχ(2) یک تانسور مرتبه سه و... می باشند. همچنین p(t)(2) قطبش غیر خطی مرتبه دوم و p(t)(3) قطبش غیر خطی مرتبه سوم هستند. پذیرفتاری مرتبه دوم برای بسیاری از مواد قابل صرف نظر کردن است، زیرا برای بلورهای اتفاق می افتد که دارای مرکز تقارن نباشند، در صورتی که بسیاری از مواد دارای مرکز تقارن هستند.
1-3 ماتریس چگالی :
از یک سیستم کوانتومی شروع می کنیم و فرض میکنیم که در حالت کوانتومی خاص مانند s قرار دارد، تابع موج این حالت تمام خصوصیات فیزیکی سیستم را در بر دارد و در رابطه شرودینگر صدق می کند:
(1-29) iℏ(∂Ψs r,t∂t)=HΨs(r,t)که H هامیلتونی سیستم است وشامل دو قسمتH0 هامیلتونی اتم بدون اندرکنش و Vt هامیلتونی اندرکنش اتم، می باشد.
(1-30) H=H0+V(t)از آنجایی که ویژه حالتهای انرژی هامیلتونی بدون برهمکنش سیستم اتمی، یک مجموعه کامل از توابع پایه راست هنجار را تشکیل می دهند، می توان توابع موج سیستم با تحول زمانی را برحسب آنها بسط داد. یعنی:
(1-31) Ψsr,t=nCnst un(r)که در آن un(r) ها ویژه حالتهای انرژی معادله شرودینگر مستقل از زمان هستند که در رابطه H0unr=Enunrو نیز در رابطه راست هنجاری صدق می کند:
(1-32) um*runrd3r=δmnدامنه احتمال آنکه اتم در لحظه t در ویژه حالت s باشد، با ضریب Cns(t) نشان داده شده است. و برای مشخص کردن آنها بسط (1- 31) را در معادله شرودینگر قرار می دهیم:
(1-32) iℏndCns(t)dt= nCnstHun(r)طرفین رابطه بالا را در um*(r) ضرب می کنیم و روی تمام فضا انتگرال می گیریم، سمت چپ با استفاده از شرط تعامد به یک جمله کاهش می یابد و به شکل زیر به دست می آید:
(1-33) iℏddtCmst=nHmnCns(t)که در آن Hmn عناصر ماتریسی هامیلتونی بوده و که به صورت زیر نوشته می شوند:
(1-34) Hmn=um*rHunrd3rلزوم تعریف ماتریس چگالی زمانی دیده میشود که معادلات بالا نتوانند جواب معادله شرودینگر را بدست آورند. وقتی که سیستم متشکل از چندین ذره باشد یا وقتی که سیستم اثرات ناهمدوسی مثل گسیل خودبخودی داشته باشد، عملاً معادله شرودینگر کارآیی ندارد.
مجموعهای از سیستمهای اتمی را که همگی در یک حالت کوانتومی یکسان مثل |Ψs> باشند را مجموعه خالص می نامیم و همچنین مجموعهای از سیستمها ی اتمی که در حالتهای کوانتومی مختلفی باشند مثلاً 10% آنها در حالت |Ψs1> و70% آنها در حالت |Ψs2> و20% آنها در حالت |Ψs3> با شند را مجموعه آمیخته می نامیم. در مجموعه آمیخته درصد حالتها را وزن آماری می نامند.
برای بدست آوردن مقدار چشمداشتی یک کمیت فیزیکی وقتی سیستم در یک حالت کوانتومی قرار داشت از رابطه زیر استفاده می کنیم:
(1-35) <A> =<ΨAΨ>ولی در مجموعه سیستهایی که هر کدام یک حالت کوانتومی دارند، مقدار چشمداشتی را بصورت زیر تعریف می کنیم:
(1-36) A=iωi<ΨiAΨi>و آن را متوسط مجموعهای مشاهده پذیر A مینامیم.
می توانیم متوسط مجموعه ای را برحسب ویژه حالتهای یک مشاهده پذیر دیگر مثل B بنویسیم
(1-37) A=ib , b"ωi<Ψi | b><b |A|b"><b"|Ψi>و با کمی جابجایی داریم:
(1-38) A=b, b"ωi<b"| Ψi><Ψi |b><b|A| b">حال با تعریف ماتریس چگالی بصورت زیر رابطه بالا را ساده تر میکنیم:
(1-39) ρ=iωi |Ψi><Ψi |در نتیجه:
(1-40) A=b,b"<b"ρb><bAb" >=b"<b"ρAb">=Tr(ρA)عملگر Tr(M) ، رد ما تریس M است و بصورت TrM= nMnn تعریف میشود.
در اینجا ما هم ماتریس چگالی را تعریف کردیم و هم یک رابطه مفید برای متوسط مجموعه ای یک مشاهده پذیر با استفاده از مجموعه سیستمهای کوانتومی را به دست آوردیم.
برای مجموعه خالص ماتریس چگالی بصورت زیر میباشد:
(1-41) ρ=|Ψi><Ψi|و برای مجموعه آمیخته بصورت زیر می باشد:
(1-42) ρ=iωi| Ψi><Ψi|حال برای اینکه اطلاعاتی از سیستم را در زمانهای مختلف داشته باشیم و برای به دست آوردن تحول زمانی مقدار چشمداشتی به فکر تحول زمانی ماتریس چگالی می افتیم.

کارشناسی ارشد - ارشد

به:
آغوش پرمهری که محبتشان آموزگار دوستداشتن است و دستان نوازشگرشان روحبخش جان
پدر و مادر عزیزم

قدردانی:
در این فرصت بر خود واجب میدانم که از زحمات بیدریغ و دلسوزانهی اساتید عزیز و گرانقدرم جناب آقای دکتر شهریار سلیمی و جناب آقای دکتر آرش سروری تشکر و قدردانی نمایم.
همچنین از پدر و مادر عزیزم که همیشه در لحظات سختی پشتیبانم بودند و دعای خیر و دستان گرمشان راهگشای تمام مشکلاتم بودند و از همهی دوستانی که در طول این مدت اوقات خوشی را با آنها سپری کردم کمال تشکر و قدردانی را دارم.
فهرست مطالب
1905027812900 عنوان صفحه
فصل اول (مقدمه) ........................................................................................ 1
1-1پیشینهی تحقیق............................................................................................................................... 1
1-2دور نمای پایاننامه......................................................................................................................... 3 فصل دوم (مقدمهای بر مکانیک کوانتومی و مفاهیم اساسی آن) ...................... 4 2-1مکانیک کوانتومی.......................................................................................................................... 4
2-2مفاهیم اساسی در مکانیک کوانتومی............................................................................................... 6 2-2-1فضای برداری......................................................................................................................... 6
2-2-2ضرب داخلی و اندازه.............................................................................................................. 7
2-2-3پایه.......................................................................................................................................... 7
2-2-4عملگر خطی............................................................................................................................ 8
2-2-5ویژه بردار و ویژه عملگر.......................................................................................................... 8
2-2-6عملگر هرمیتی......................................................................................................................... 9 2-3پیکرنویسی دیراک.......................................................................................................................... 9
2-4اصول موضوعه مکانیک کوانتومی و اصل برهمنهش..................................................................... 11
2-5ضرب تانسوری فضاهای برداری.................................................................................................... 13
2-6ماتریس چگالی............................................................................................................................. 14
2-7ماتریس پاؤلی............................................................................................................................... 15
2-8بیت کلاسیکی و کوانتومی............................................................................................................ 17
فصل سوم (ناهمدوسی کوانتومی، درهمتنیدگی کوانتومی و معیار
اندازهگیری آن)......................................................................................... 19
3-1 ناهمدوسی کوانتومی..................................................................................................................... 19
3-2درهمتنیدگی سامانههای کوانتومی................................................................................................... 19
3-3معیارهای اندازهگیری درهمتنیدگی................................................................................................. 21
3-3-1تلاقی..................................................................................................................................... 21
3-3-2 درهمتنیدگی برای سه کیوبیتیها............................................................................................ 22
3-3-3 کران پایین تلاقی برای سامانههای کوانتومی چند قسمتی......................................................... 23
فصل چهارم (بررسی دینامیک ناهمدوسی کوانتومی تک کیوبیتی در محیطهای مارکوفی وغیرمارکوفی)...................................................... 27
4-1معرفی مدل................................................................................................................................ 27

متن کامل در سایت امید فایل 

4-2بررسی تحولات برای حالات اولیه و بدست آوردن رابطهای برای محیط غیرمارکوفی.................. 30
4-3بررسی حالت مخلوط و بدست آوردن رابطهای برای محیط غیرمارکوفی...................................... 33
4-4 عامل خلوص و ناهمدوسی......................................................................................................... 35
4-5 نتایج عددی............................................................................................................................... 36
4-5-1 تأثیر ثابت جفتشدگی ضعیف......................................................................................... 36
4-5-2 تأثیر ثابت جفتشدگی قوی............................................................................................. 38
4-5-3 تأثیر بسامد قطع................................................................................................................. 39
فصل پنجم (بررسی دینامیک درهمتنیدگی دو کیوبیتی در محیط مارکوفی و غیرمارکوفی)........................................................................ 41
5-1مقدمه............................................................................................................................................ 41
5-2معرفی مدل.................................................................................................................................... 42
5-3سازوکار حفظ درهمتنیدگی........................................................................................................... 45
5-4نتایج عددی.................................................................................................................................... 48
5-4-1حالت ابراهمیک..................................................................................................................... 48
5-4-2حالت لورنتز........................................................................................................................... 50
فصل ششم (بررسی دینامیک درهمتنیدگی سه کیوبیتی در محیط مارکوفی و غیرمارکوفی)........................................................................ 52
6-1معرفی مدل.................................................................................................................................... 52
6-2سازوکار حفظ درهمتنیدگی.......................................................................................................... 60
6-3نتایج عددی................................................................................................................................... 61
فصل هفتم (نتیجهگیری)................................................................. 64
پیوست 1 .................................................................................... 66
منابع .............................................................................................68
لیست شکلها
شکل 2.1نمایش یک کیوبیت به وسیلهی الکترون دو ترازه در اتم.................................................18
شکل1.4نمایش تقریب مارکوفی برای ثابت جفتشدگی ضعیف در تک کیوبیت.....................37
شکل 2.4نمایش تقریب غیرمارکوفی برای ثابت جفتشدگی ضعیف در تک کیوبیت..............37
شکل 4.3نمایش تقریب مارکوفی و غیرمارکوفی برای ثابت جفتشدگی قوی در
تک کیوبیت..............................................................................................................................................38
شکل 4.4نمایش تقریب مارکوفی و غیرمارکوفی برای تأثیر بسامد قطع در
تک کیوبیت..............................................................................................................................................39
شکل 1.5نمایش زیر سامانههای A و B برای دو اتم دو ترازه جفتشده به همراه یک
منبع خلاء...................................................................................................................................................42
شکل 2.5نمایش حالت کراندار برای سامانهی دو کیوبیتی در حالت ابر اهمیک..........................48
شکل 3.5 نمایش تقریب مارکوفی و غیرمارکوفی برای سامانهی دو کیوبیتی در حالت
ابر اهمیک.................................................................................................................................................48
شکل 4.5نمایش واپاشی برای سامانهی دو کیوبیتی در ثابت جفتشدگی قوی در حالت
ابر اهمیک.................................................................................................................................................49
شکل5.5نمایش تلاقی برای حالتهای مختلف درهمتنیدگی سامانهی دو کیوبیتی در حالت
ابر اهمیک.................................................................................................................................................49
شکل 5.6نمایش حالت کراندار وتلاقی برای سامانهی دو کیوبیتی در حالت لورنتز با شاخص پهنای طیف................................................................................................................................................50
شکل 5.7نمایش حالت کراندار و تلاقی برای سامانهی دو کیوبیتی در حالت لورنتز با شاخص
ثابت اتصال................................................................................................................................................51
شکل 1.6نمایش حالت کراندار برای سامانهی سه کیوبیتی در حالت ابر اهمیک..........................61
شکل2.6نمایش تقریب مارکوفی برای سامانهی سه کیوبیتی در حالت ابر اهمیک.......................61
شکل3.6نمایش تقریب غیرمارکوفی برای سامانهی سه کیوبیتی در حالت ابر اهمیک.................62
شکل4.6نمایش حالت کراندار برای سامانهی سه کیوبیتی در حالت لورنتز...................................62
شکل 6.5نمایش تلاقی برای سامانهی سه کیوبیتی در حالت لورنتز با شاخص پهنای طیف.........63
چکیده
در این پایاننامه، ابتدا هامیلتونی را برای سامانهی کوانتومی_محیط و برهمکنش بین آنها مشخص کرده و سپس تحول سامانهی کوانتومی و اثر حافظه بر این تحول را مورد بررسی قرار میدهیم. در این راستا ناهمدوسی ایجاد شده در اثر برهمکنش سامانهی تک کیوبیتی با محیط را مطالعه میکنیم. سپس با بدست آوردن معادلهی مادر، ناهمدوسی ایجاد شده را محاسبه کرده و آن را تحت تقریبهای مارکوفی و غیرمارکوفی بررسی میکنیم. همچنین روشی برای حفظ همدوسی و جلوگیری از ناهمدوسی ایجاد شده در سامانهی تک کیوبیتی ارائه میدهیم.
در ادامه تحول سامانهی دو کیوبیتی و درهمتنیدگی ایجاد شده را بررسی میکنیم و حضور اختلالات ناشی از محیط در سامانهی دو کیوبیتی را مورد مطالعه قرار میدهیم. در صورت وجود درهمتنیدگی، تلاش برای حفظدرهمتنیدگی ایجاد شده و جلوگیری از مرگ ناگهانی آن را بررسی میکنیم. در صورت مرگ ناگهانیدرهمتنیدگی، امکان احیایدوبارهی آن و همچنین امکان حفظ درهمتنیدگی را تحت تقریب غیرمارکوفی مورد سنجش قرار میدهیم.
در قسمت آخر نیز تحول سامانهی سه کیوبیتی را با اختلالات ناشی از محیط اطراف بررسی کرده و کران پایین درهمتنیدگی بینکیوبیتها را بدست میآوریم. سپس با محاسبهی کران پایین درهمتنیدگی، برای حفظ درهمتنیدگی و جلوگیری از مرگ ناگهانی آن، راه حلی ارائه میدهیم. در پایان نتایج بدست آمده از هر سه حالت کیوبیت را با شاخصهای مختلف مقایسه میکنیم.
واژههایکلیدی: ناهمدوسی، درهمتنیدگی، مرگ ناگهانی درهمتنیدگی، تلاقی، تقریب مارکوفی و تقریب غیرمارکوفی
فصل اول
مقدمه
1-1 پیشینهی تحقیق
یکی از موضوعات مهم در مکانیک کوانتومی، درهمتنیدگی یا همان آمیختگی حالتهای کوانتومی میباشد که یکی از مباحث مهم نظریهی اطلاعات کوانتومی به شمار میرود. از کاربردهای پدیدهی درهمتنیدگی میتوان به محاسبه کوانتومی ]3-1[، رمزنگاری کوانتومی ]5,4[ و انتقال کوانتومی ]7,6[ اشاره کرد.
امروزه شناخت ساختار و خواص سامانههای درهمتنیدهی کوانتومی توجه بسیاری از محققان را به خود جلب کرده است. به دلیل نوظهور بودن پدیدهی درهمتنیدگی کوانتومی، موضوعات فراوانی پیرامون این پدیده وجود دارند که از مهمترین آنها میتوان به دو موضوع زیر اشاره کرد،
1- تشخیص اینکه سامانههای مورد مطالعه، درهمتنیده میباشند یا خیر،
2- پیدا کردن بهترین معیار برای یافتن مقدار دقیق درهمتنیدگی سامانههای کوانتومی.
برای تعیین مقدار درهمتنیدگی سامانههای کوانتومی، معیارهای مختلفی ارائه شدهاند که از مهمترین این معیارها میتوان به تلاقی] 11-8[، نیمهتلاقی ]12[، منفیگرایی ]15-13[، آنتروپی وان نیومن ]8[، آنتروپی نسبی و ... اشاره کرد. ما در این پایاننامه فقط از معیار تلاقی برای تعیین مقدار درهمتنیدگی استفاده خواهیم کرد.
در مجموع، بررسی دو موضوع فوق فقط در مورد حالتهای محدود صورت گرفته است و تاکنون روش فراگیر و در عین حال ساده برای تعیین درهمتنیده بودن هر سامانهی کوانتومی و همچنین معیاری که مقدار دقیق درهمتنیدگی کوانتومی را نشان دهد یافت نشده است. به عنوان مثال، برای یک سامانهی دو قسمتی که شامل حالتهای خالص میباشد، اکثر معیارهای درهمتنیدگی نتیجه قابل قبولی را از خود نشان میدهند، در صورتیکه برای حالتهای مخلوط، تشخیص درهمتنیدگی و همچنین تعیین مقدار درهمتنیدگی کار بسیار پیچیده و مشکلی است. درهمتنیدگی حالتهای مخلوط از طریق درهمتنیدگی حالتهای خالص مشخص میشود]15[. مشکل اصلی محاسبه درهمتنیدگی حالتهای مخلوط یافتن کمترین مقدار درهمتنیدگی حالتهای خالص میباشد و تعیین مقدار درهمتنیدگی تاکنون فقط روی سامانههای محدودی مطالعه شده است.
رابطهای که توسط ویلیام ووترز و اسکات هیل برای تعیین مقدار درهمتنیدگی سامانههای دو کیوبیتی ارائه شده است، از روابط بسیار مهم در زمینهی درهمتنیدگی سامانههای کوانتومی به شمار میآید]16[.
مسئله مهم دیگر، حفظ درهمتنیدگی ایجاد شده در زیر سامانههای کوانتومی یک سامانه است. هنگامیکه سامانههای کوانتومی با محیط اطراف خود برهمکنش میکنند، محیط اختلالاتی روی سامانهی کوانتومی ایجاد کرده و موجب از بین رفتن درهمتنیدگی بوجود آمده میشود که به آن مرگ ناگهانی درهمتنیدگیمیگویند. همچنین باید روشی برای حفظ درهمتنیدگی ایجاد شده مطرح کرد و تلاش برای جلوگیری از مرگ ناگهانی درهمتنیدگی و امکان احیای دوبارهی آن نیز مورد بررسی قرار گیرد. این مطلب را تحت عنوان تقریب غیرمارکوفی، برای حفظ درهمتنیدگی مطالعه خواهیم کرد.
1-2 دورنمای پایاننامه
در فصل دوم این پایاننامه به مفاهیم اساسی مکانیک کوانتومی اشاره خواهیم کرد و در فصل سوم، به بررسی ناهمدوسی کوانتومی، درهمتنیدگی کوانتومی و معیار اندازهگیری آنها خواهیم پرداخت. ابتدا خواص حالتهای دو کیوبیتی و سه کیوبیتی را مطالعه خواهیم کرد و سپس درهمتنیدگی سامانههای خالص و مخلوط را توضیح خواهیم داد و معیار اندازهگیری درهمتنیدگی برای سامانههای دو کیوبیتی و سه کیوبیتی را معرفی خواهیم نمود.
در فصل چهارم برهمکنش سامانهی تک کیوبیتی و محیط را مورد بررسی قرار داده و ناهمدوسی ایجاد شده تحت اختلالات محیط با سامانهی کوانتومی را مطالعه میکنیم. برای جلوگیری از ناهمدوسی و حفظ همدوسی سامانهی کوانتومی، آن را تحت تقریبهای مارکوفی و غیرمارکوفی بررسی میکنیم.
در فصل پنجم برهمکنش سامانهی دو کیوبیتی را با محیط در نظر گرفته و این بار نیز، درهمتنیدگی ایجاد شده بین آنها را مورد بررسی قرار خواهیم داد. این برهمکنش موجب از بین رفتن درهمتنیدگی و مرگ ناگهانی آن میشود. همچنین روشی برای جلوگیری از مرگ ناگهانی و احیای دوبارهی درهمتنیدگی معرفی خواهیم کرد.
در فصل ششم نیز سامانهی سه کیوبیتی را تحت اثرات محیط در نظر میگیریم و درهمتنیدگی ایجاد شده بین این سامانهها را محاسبه میکنیم. در معرض محیط قرار گرفتن سامانهی کوانتومی موجب از بین رفتن درهمتنیدگی میشود و مشابه آنچه در فصل پنجم آمده است این بار نیز راه حلی برای جلوگیری مرگ ناگهانی درهمتنیدگی در نظر میگیریم.
در مقولهی حفظ همدوسی یا درهمتنیدگی باید از تقریبهایی استفاده کنیم. تقریبهایی که در این پایاننامه مورد استفاده قرار میگیرند، تقریبهای مارکوفی و غیرمارکوفی هستند. این تقریبها را برای جلوگیری از ناهمدوسی و مرگ ناگهانی درهمتنیدگی بکار میبریم و نتایج بدست آمده از این تقریبها را با توجه به شرایط مختلف مقایسه میکنیم و تقریب مناسب را تحت شرایط و حالتهای مختلف انتخاب مینماییم.
فصل دوم
مقدمهای بر مکانیک کوانتومی و مفاهیم اساسی آن
این فصل مروری مختصر بر تاریخچهی مکانیک کوانتومی است که زمینه را برای معرفی نظریهی اطلاعات کوانتومی و درهمتنیدگی کوانتومی مهیا میکند. در ادامه به بیان فضایبرداری، عملگرها، پیکرنویسی دیراک، اصل برهمنهی، بیت کلاسیکی و کوانتومی، ماتریس چگالی و ... میپردازیم.
2-1 مکانیک کوانتومی
هدف اصلی علم فیزیک توصیف تمام پدیدههای طبیعی قابل مشاهده (پدیدههای بزرگ مقیاس) برای بشر است. تا قبل از قرن بیستم، با دستهبندی پدیدههای قابل مشاهده تا آن روز، فرض بر این بود که طبیعت فقط از ذرات مادی تشکیل شده است. بنابراین، فیزیک کلاسیک دو نوع فرمولبندی برای توصیف این پدیدههای طبیعی در اختیار داشت. اولی مکانیک بود که دربارهی پیشبینی دینامیک اجسام بحث میکند؛ دومی نظریهی الکترومغناطیس بود که دربارهی امواج تابشی بکار برده میشود.
این دو رده از پدیدهها هر چند مجزا فرض میشدند اما بوسیلهی معادلهی نیروی لورنتس،
(2.1) F=e E+v B ،
به یکدیگر مربوط میشوند. در رابطهی (2.1)،F نیروی وارد بر ذرهای است که با بار الکتریکی e در میدانهای B و E با سرعتv حرکت میکند]17[.
در اوایل سال1900، علم فیزیک دستخوش دگرگونی عظیمی شد. توصیف کافی و حتی تقریبی تعداد روزافزونی از این پدیدهها و مشاهدات بوسیلهی قوانین فیزیکی که تا آن زمان فرمولبندی شده بودند با شکست مواجه شد. اولین کاستی و ضعف فیزیک کلاسیک، در توصیف پدیدههایی شامل ذرات کوچک نظیر الکترونها، اتمها و برهمکنش آنها با میدان الکترومغناطیسی مشاهده شد]17[.
در ابتدا این نقصها در فیزیک بوسیلهی فرضیات و اصول موضوعهی ویژهی مربوط به آنها توجیه میشد. اما با افزایش تعداد آنها روشن شد که فیزیک سامانههای کوچک نیازمند فرمولبندی کامل میباشد. به عبارت دیگر باید مدلی کوچک مقیاس ارائه میشد که میتوانست تا حد امکان اثرهای بزرگ مقیاس که فیزیک کلاسیک را با چالش مواجه کرده بودند، برطرف کند. نتیجهی تلاشها در این راستا منجر به ارائهی نظریهای به نام مکانیک کوانتومی گردید. برخی از این پدیدهها که در آن زمان فیزیک کلاسیک از توصیف آنها ناتوان بود و منجر به کشف مکانیک کوانتومی گردید عبارتاند از،
1- تابش جسم سیاه،
2- پراکندگی کامپتون،
3- اثر فوتوالکتریک.
ماکس پلانک با عنوان کردن اصل موضوعهی خود در سال 1900 مبنی بر اینکه تبادل انرژی بین اتمها و تابش به صورت مقادیر گسستهای از انرژی است، توانست بسیاری از این پدیدهها را با موفقیت توصیف کند]17[. پلانک نشان داد که به ازای یک بسامد معین ν، کوچکترین مقدار انرژی که میتواند مبادله شود برابر است با،
،E=h ν
که در آن h ثابت پلانک با مقداری معادل با،
(ژول – ثانیه) h=6/62377×10-34 joule-sec
میباشد. این واقعیت باعث گردید که بسیاری از پدیدههای موجود در طبیعت که از دیدگاه فیزیک کلاسیک قابل توصیف نبودند، به وسیلهی نظریهی کوانتومی توجیه شوند]17[.
2-2 مفاهیم اساسی در مکانیک کوانتومی
در این بخش به معرفی برخی از مهمترین مفاهیم موجود در مکانیک کوانتومی میپردازیم که در فصلهای بعدی با آنها سروکار خواهیم داشت.
2-2-1 فضای برداری
مجموعهی V را یک فضای برداری روی میدان F میگویند هرگاه دو عمل جمع و ضرب با خاصیتهای زیر در آن قابل تعریف باشند،
+ : ∀ x , y , z ∈ V; x+y ∈Vx+y=y+xx+y+z=x+(y+z)∃∘ ∈V : ∘+x=x .∃-x ∈V : -x+x= ∘
× : ∀ a , b ∈ F ;ax+y=ax+ay(a+b)x=ax+bxabx=abx=abx.∃ 1 ∈F : 1x=x
بسته به اینکه F میدان اعداد حقیقی R یا میدان اعداد مختلط C باشد فضای برداری V را فضای برداری حقیقی یا مختلط مینامند. به عنوان مثالRn یا مجموعهی nتاییهای مرتب حقیقی و همچنینCn یا مجموعهیn تاییهای مرتب مختلط تشکیل یک فضای برداری میدهند]18[.
2-2-2 ضرب داخلی و اندازه
در فضای برداریV عمل دوتایی V×V→C : , را یک ضرب داخلی مینامیم هرگاه در شرایط زیر صدق کند،
x,y+az = x,y+ax, zx,y= y,x*x,x ≥ ∘ .x,x= ∘ ⇒ x=∘
فضای برداری که به یک ضرب داخلی مجهز شده باشد فضای برداری ضرب داخلی نامیده میشود. در هر فضای برداری ضرب داخلی، اندازهی یک بردار را به صورت،
، x=x,xتعریف میکنند]18[.
2-2-3 پایه
کمترین تعداد بردارهای راست هنجار مستقل خطی که میتوانند فضای برداریV را پوشش دهند، بردارهای پایهی فضا نامیده میشوند V≔ei , i=1,…,N. شرط راست هنجاری به معنی آن است که ei ,ej =δi,j، که δi,j دلتای کرونیکر است. هر بردار x متعلق به فضایV را میتوان بر حسب بردارهای پایه فضا به صورت زیر بسط داد،
.x= i=1Nxiei
که در آن eiها به عنوان مثال بردارهای پایه راست هنجار در فضاهای برداریRn و Cn به شکل زیر هستند،
.e1=1∘⋮∘ e2=∘1⋮∘ … en=∘∘⋮12-2-4 عملگر خطی
یک فضای برداری که دارای خاصیت کاملبودن، خطی و تجزیهپذیر است و ضرب داخلی در آن نسبت به عملهای جمع و ضرب بسته میباشد را فضای هیلبرت مینامند. برای توصیف سامانههای کوانتومی از فضای برداری هیلبرت استفاده میشود. حالت هر سامانهی کوانتومی را با یک بردار در فضای مذکور مشخص میکنند.
در فضای برداری V نگاشت T :V →V را یک عملگر خطی میگویند هرگاه دارای خاصیت زیر باشد،
. Tx+ay= Tx+aTy ∀ a∈F , x,y ∈V
یک عملگر خطی تنها با اثرش روی بردارهای پایه مشخص میشود،
.Tei= j=1NTjiejماتریسT با درایههای Tji را ماتریس مربوط به تبدیل خطیT در پایهی ei مینامند و هرگاه پایه بهنجار باشد، میتوان نوشت]18[،
.ej ,Tei = Tji 2-2-5 ویژه بردار و ویژه مقدار عملگر
برای هر عملگری مانند T :V →V ویژه بردار عبارت است از یافتن بردارهای غیر صفری که تحت اثر این عملگر به مضربی از خود تبدیل شوند،
، Tx= λxبردار x غیر صفر خواهد بود هرگاه ماتریس T-λI وارونپذیر نباشد، برای این منظور لازم است که،
.detT-λI=∘
این معادله یک معادلهی درجهی N است که در حوزهی اعداد مختلط حتماً N جواب دارد که آنها را با λi , i=1,…,N نشان میدهیم. همهی ویژه مقادیر یک عملگر الزاماً از هم متفاوت نیستند، به این مسئله تبهگنی گفته میشود. هرگاه یک ویژه مقدار مانندλi ،gi بار تکرار شود گوییم درجهی تبهگنی آنgi است. بردار مربوط بهλi را که در معادلهیTxi =λi xi صدق میکند ویژه بردار مربوط به آن ویژه مقدار میگویند]18[.
2-2-6 عملگرهای هرمیتی
در یک فضای برداری، اگر عملگرA†، الحاقی A باشد، آنگاه درصورتی عملگرA هرمیتی نامیده میشود،
که،
.A†=Aیک عملگر هرمیتی دارای خواص زیر است،
1) ویژه مقادیر یک عملگر هرمیتی حقیقیاند،
2) ویژه بردارهای یک عملگر هرمیتی متناظر با ویژه مقادیر متفاوت، متعامدند]18[.
2-3 پیکرنویسی دیراک
فضای برداریV را که دارای بعد N است و با پایه بهنجار e1 , e2 , …,eN توصیف میشود در نظر میگیریم. هر بردارv∈V بسطی از بردارهای پایه به شکل زیر است،
.v= i=1Nviei
ضرب داخلی این بردار در خودش به صورت زیر نوشته میشود،
.v,v= i=1Nvi*vi
طبق پیکرنویسی دیراک میتوان به ازای هر چنین برداری یک بردار ستونی با نماد v و یک بردار سطری با نماد v به شکل زیر تعریف کرد،
.v=v1v2⋮vN ، v=v1*v2*…vN* در این پیکرنویسی بردار v را کت و بردار v را برا مینامند. ضرب این دو بردار درهم به صورت زیر خواهد بود،
.vv= i=1Nvi*vi=v,vدر رابطهی بالا عبارت سمت راست یک ضرب داخلی است اما عبارت سمت چپ ضرب دو ماتریس است. مزیت پیکرنویسی دیراک این است که با استفاده از این پیکرنویسی انواع عملیاتی که روی بردارها انجام میدهیم به انجام عملیات روی ماتریسها تقلیل مییابند. بردارهای پایه e1 , e2 , …,eN نیز در پیکرنویسی دیراک دارای نمایش کت و برا به صورت زیر خواهند بود،
e1 =1∘⋮∘ ، e2 =∘1⋮∘ ، eN =∘∘⋮1
.e1 =1∘…∘ ، e2 =∘1…∘ ، eN =∘∘…1 بنابراین از این پس با استفاده از این پیکرنویسی هر بردار را به شکل زیر خواهیم نوشت،
.v≔ i=1Nvii ، v≔ i=1Nvi* iدر این پیکرنویسی ضرب داخلی یک بردار کت مانند v در یک بردار برا مانند w به صورت زیر خواهد بود،
،wv= i=1Nwi*vi
که در واقع همان ضرب داخلی دو بردار w و v است. میتوان یک بردار کت مانند v را در یک بردار برا مانند w به صورت زیر در هم ضرب کرد و یک ماتریس بدست آورد،
.vw= v1w1*v1w2*v2w1*v2w2*…v1wN*…v2wN*⋮⋮vNw1*vNw2*⋮⋮…vNwN*دو خاصیت مهم در رابطه با کتها و براها که به ترتیب خاصیتهای راست هنجاری و کامل بودن نامیده میشوند، عبارتند از،
،ij= δij
.ii i=Iنمایش یک عملگر مانند T در این پیکرنویسی به صورت زیر است،
،T=(jj j)Tii i)=i,jTjij iکه بسط عملگرT بر حسب عملگرهای پایه j i است.
2-4 اصول موضوعه مکانیک کوانتومی و اصل برهم نهش
فرمولبندی مکانیک کوانتومی مبتنی بر تعدادی اصول موضوعه است که بخش اعظمی از مفاهیم پایهای کوانتومی را شامل میشود. در این بخش به صورت اجمالی به این اصول اشاره میکنیم،
اصل موضوعه اول (توصیف حالت یک دستگاه): در یک زمان مشخص t∘، حالت یک دستگاه فیزیکی با مشخص کردن یک کت ψ(t∘) متعلق به فضای حالت H تعیین میشود.
اصل موضوعه دوم (توصیف کمیتهای فیزیکی): هرکمیت فیزیکی قابل اندازهگیری ???? توسط یک عملگر هرمیتی که درH عمل میکند، توصیف میشود.
اصل موضوعه سوم (اندازهگیری کمیتهای فیزیکی): تنها نتیجهی ممکن اندازهگیری یک کمیت فیزیکی ???? یکی از ویژه مقادیر عملگر متناظر با آن، A است.
اصل موضوعه چهارم (یک طیف گسسته ناتبهگن): وقتی کمیت فیزیکی ????ی دستگاهی که در حالت بهنجار شده ψ قرار دارد اندازهگیری میشود، احتمال p(an) برای بدست آوردن ویژه مقدار ناتبهگن an مشاهدهپذیر Aی متناظر برابر است با،
، p(an)=unψ2که در آن un عبارت است از ویژه بردار بهنجار شده A متناظر با ویژه مقدار an.
اصل موضوعه چهارم (یک طیف گسسته تبهگن): وقتی کمیت فیزیکی ????ی دستگاهی که در حالت بهنجار شده ψ قرار دارد اندازهگیری میشود، احتمال p(an) برای بدست آوردن ویژه مقدار an مشاهدهپذیر Aی متناظر برابر است با،
، pan= i=1gn|<uniψ|2که در آن gn درجهی تبهگنی an و {uni} (i=1,2,…,gn) مجموعه بردارهای راست هنجاری هستند که در ویژه فضای Hn متناظر با ویژه مقدار an عملگر A، تشکیل یک پایه میدهند.
اصل موضوعه چهارم (یک طیف پیوسته ناتبهگن): وقتی کمیت فیزیکی ????ی دستگاهی که در حالت بهنجار شده ψ قرار دارد اندازهگیری میشود، احتمال dp(α) برای یافتن نتیجهای بین α+dα و α برابر است با،
، dpα=ναψ2dαکه در آن να عبارت است از ویژه بردار متناظر با ویژه مقدار αی متعلق به مشاهده پذیر Aی وابسته به ????.
اصل موضوعه پنجم: اگر اندازهگیری کمیت فیزیکی ???? روی دستگاهی که در حالت ψ است نتیجه an را بدهد، حالت دستگاه بلافاصله بعد از اندازهگیری عبارت است از،
، PnψψPnψ
یعنی تصویر بهنجار شده ψ روی ویژه فضای متناظر با an. تصویرگر Pn به صورت زیر تعریف میشود،
.Pn=i=1gnuni uniاصل موضوعه ششم (تحول زمانی دستگاهها): تحول زمانی بردار حالت ψ(t) از معادله شرودینگر،
(2.2) iħddtψ(t) =H(t)ψ(t)،
بدست میآید، که خطی و همگن است و H(t) مشاهدهپذیر وابسته به انرژی کل دستگاه است. از خواص عمومی معادله شرودینگر اصل برهم نهش است.
معنای فیزیکی اصل موضوعه اول باید مورد رسیدگی قرار گیرد. برطبق این اصل موضوعه، حالتهای یک دستگاه فیزیکی به یک فضای برداری تعلق دارند که بطور خطی قابل برهم نهش هستند. فرض کنید ψ1 و ψ2 دو حالت بهنجار شده متعامد باشند، داریم،
، ψ1ψ1=ψ2ψ2=1 .ψ1ψ2 =∘ψ1 و ψ2 میتوانند به عنوان مثال دو ویژه حالت یک مشاهدهپذیر B، متناظر با دو ویژه مقدار متفاوت b2 و b1 باشند.
اگر دستگاه در حالت ψ1 باشد، میتوانیم تمام احتمالهای مربوط به نتایج اندازهگیری یک مشاهدهپذیر معین A را محاسبه کنیم. به عنوان مثال، اگر un یک ویژه بردار (بهنجار شده) A متناظر با ویژه مقدار گسسته an (که فرض میشود ناتبهگن است) باشد، احتمال p1(an) برای یافتن an، در اندازهگیری A، وقتیکه دستگاه در حالت ψ1 است عبارت است از،
.p1an=|unψ1|2یک کمیت مشابه، p2an، برای حالت ψ2 میتواند تعریف شود،
.p2an=|unψ2|2اکنون یک حالت بهنجار شدهی ψ را که برهم نهش خطی از ψ1 و ψ2 است درنظر بگیرید،
،ψ=λ1ψ1+λ2ψ2 .λ12+λ22=1غالباً گفته میشود وقتی سامانه درحالت ψ است، احتمال یافتن آن در حالت ψ1 برابر با λ12 و احتمال یافتن آن در حالت ψ2 برابر با λ22 است]19[.
2-5 ضرب تانسوری فضاهای برداری
ضرب تانسوری روشی برای ساخت فضاهای برداری با ابعاد بزرگتر است. این گونه فضاها در توصیف مکانیک کوانتومی سامانههای بس ذرهای اهمیت بسیار دارند. فرض کنید که V فضای برداری با ابعاد n و پایه راست هنجاری به صورتii=1n باشد و W نیز یک فضای برداری با ابعاد m و پایه راست هنجار jj=1m باشد. در این صورت فضای تانسوریV⊗W یک فضای mn بعدی است که پایه راست هنجار آن به صورتi⊗j=i,ji=1,j=1n,m تعریف میشود. اگر A و B عملگرهای خطی باشند که به ترتیب در فضاهایV وW عمل میکنند. v و w به ترتیب بردارهایی در این دو فضا باشند، عملگر خطی A⊗B را به صورت زیر تعریف میکنیم،
.A⊗B(v⊗w)=Av⊗Bwاز خطی بودن A⊗B میتوان نتیجه گرفت که،
.A⊗Biaivi⊗wi= iaiAvi⊗Bwi2-6 ماتریس چگالی
در تمامی مواردی که سامانهی کوانتومی جزئی از یک سامانهی بزرگتر است، حالت سامانه به وسیلهی یک ماتریس چگالی توصیف میشود. فرض کنید که یک سامانه از دو زیر سامانهی A و B تشکیل شده باشد. بنابر اصول موضوعهی مکانیک کوانتومی فضای هیلبرت این سامانهی دو جزئی، HAB= HA⊗HB است. چنانچهii=1M پایه زیر فضای HA و μμ=1N پایه زیر فضای HB باشند آنگاه یک حالت کلی از سامانه ABتوسط بردار حالت زیر توصیف خواهد شد،
.ψAB= i,μψiμi,μماتریس چگالی توصیف کنندهی سامانهی ABعبارت است از،
(2.3) ،ρABt=ψAB ABψ= i,j,μ,vψiμψj,v*i,μj,vو اثر هر عملگری مانند MA روی زیر سامانهی A معادل است با اثر عملگر MA⊗I روی سامانهی AB.
در نتیجه خواهیم داشت،
MA=ψMAψ =TrAB(MA⊗Iψ⟨ψ) =TrAtrBMA⊗Iψ⟨ψ= TrA(MA ρA) که در آن ρA=TrB(ψ⟨ψ) ماتریس چگالی زیر سامانهی A نامیده میشود. به طریق مشابه ماتریس چگالی زیر سامانهی B نیز با رابطهی ρB=TrA(ψ⟨ψ) مشخص میشود. با توجه به رابطهی (2.3) داریم که ماتریس چگالی به صورت زیر است،
.ρA=i,jρijij ، ρB=μ,vρμvμvبنابراین میتوان ویژه مقادیر و ویژه بردارهای آن را محاسبه کرد و این عملگر را بر حسب آنها به صورت زیر بسط داد،
، ρ=i=1Nλiiiدر این رابطه λi ویژه مقدار iام و i ویژه بردار متناظر و N بعد فضای هیلبرت یا بعد ماتریس چگالی است. رابطهی بالا را میتوانیم چنین تفسیر کنیم که حالت ρ مخلوطی از حالتهای i که هر کدام با ضریبی از λi است.
در این پایاننامه سامانهی مورد کاربرد ما به صورت اتمهای دو ترازه میباشد، برای بدست آوردن آن از ماتریسهای پاؤلی استفاده میکنیم که به صورت مختصر در ذیل آنها را معرفی میکنیم.
2-7 ماتریسهای پاؤلی
ابتدا مشاهدهپذیر Sz و فضای حالتهای اسپین را معرفی میکنیم. ماتریس Szدارای دو ویژه مقدار +ћ2 و -ћ2 است، که این دو ویژه مقدار تبهگن نیستند. ما ویژه بردارهای راست هنجار متناظر آنها را با + و - نشان میدهیم،
،Sz+=+ћ2+ ،Sz-=-ћ2-
با
،++ = -- =1 .+- = ∘
پس Sz به تنهایی یک مجموعهی کامل مشاهدهپذیر جابهجاییپذیر تشکیل میدهد و فضای حالتهای اسپین، فضای دو بعدی HS است که توسط ویژه بردارهای + و - بیان میشود. این واقعیت که این دو بردار در HS تشکیل یک پایه میدهند، با رابطهی بستاری زیر بیان میشود،
.+⟨++-⟨-=Iکلیترین بردار (بهنجار شده)HS یک برهم نهش خطی از + و - است،
. ψ=α++β- .α2+β2=1
روشن است که ماتریس نمایندهی Sz در پایهی + و - قطری است و چنین نوشته میشود،
(2.4) .Sz=ћ21∘∘-1مشاهدهپذیرهای Sxو Sy در پایهی + و - با ماتریسهای هرمیتی 2⨉2 نشان داده میشوند،
(2.5) Sx=ћ2∘11∘،
(2.6) .Sy=ћ2∘-ii∘ویژه بردارهای عملگرهای S xوSy، را به ترتیب با ±y و ±x نشان میدهیم (علامت داخل کت همان علامت ویژه مقدار متناظر است). بسط آنها بر حسب پایهی متشکل از ویژه بردارهای عملگر Sz چنین است،
، ±x=12 +± - .±y=12 +±i -حال به بررسی ماتریسهای پاؤلی میپردازیم. ماتریسهای نمایش سه مولفهی Sx، Syو Sz با اسپین Sدر پایهی + و - (ویژه بردارهای Sz) نشان داده شده است. اغلب مناسب است که در مکانیک کوانتومی، عملگر بدون بعد σ را که با S متناسب است و با رابطهی،
(2.7) S=ћ2 σ ،
تعریف میشود وارد کنیم. ماتریسهای نمایش مولفههای σ در پایهی + و - ماتریسهای پاؤلی نامیده میشوند.
به معادلههای (2.4)، (2.5)، (2.6) باز میگردیم. با بکار بردن رابطهی (2.7) دیده میشود که تعریف ماتریسهای پاؤلی چنین است،
(2.8) σx=∘11∘ σy=∘-ii∘ .σz=1∘∘-1این ماتریسها هرمیتی هستند که هر سه دارای یک معادلهی سرشت نمائی به صورت،
λ2-1=∘ ،
هستند. پس ویژه مقادیرσz و σ y ،σ x عبارتند از،
.λ=±1به سادگی از تعریف (2.8)، ویژه بردارهای σz و σ y ،σ x را بدست میآوریم،
، σx±x=±±x ، σy±y=±±y .σz±z=±±zبا،
، ±x=12+±- .±y=12+±i-خواص ساده ماتریسهای پاؤلی به صورت زیر هستند،
det σi=-1 ، i=xو y یا z ، Trσi=∘ (I ماتریس یکه 2⨉2 است)σx2=σy2=σz2=I ،
.σxσy=-σyσx=iσz2-8 بیت کلاسیک و کوانتومی
بیت مفهومی بنیادی در محاسبات و اطلاعات کلاسیک است. مفهوم متناظر در محاسبات و اطلاعات کوانتومی، بیت کوانتومی یا همان کیوبیت است.
ما قصد داریم کیوبیتها را به عنوان اشیاء ریاضی با برخی از خصوصیات خاص نشان دهیم. کیوبیتها در اصل، مانند بیتها، اشیائی فیزیکی هستند و به عنوان یک سامانهی فیزیکی واقعی شناخته میشوند. با این حال، برای اکثر موارد ما کیوبیتها را به عنوان موجودات انتزاعی ریاضی بحث میکنیم. زیبایی بحث کردن کیوبیتها به عنوان موجودی انتزاعی این است که به ما یک آزادی عمل برای ساختن یک نظریهی عمومی از محاسبات و اطلاعات کوانتومی میدهد. یک بیت کلاسیکی دارای یک حالت ∘ یا 1 است همچنین دو حالت ممکن برای کیوبیت حالتهای ∘ و 1 هستند، که متناظر با حالتهای ∘ و 1 برای یک بیت کلاسیکی است]1[.
تفاوت بین بیتها و کیوبیتها این است که کیوبیتها میتوانند در حالت دیگری غیر از ∘ یا 1 باشند، یعنی به شکل ترکیب خطی از این دو حالت باشند، که برهم نهی خطی نامیده میشود،
.ψ=α∘+β1مقادیرα و β در حالت کلی اعداد مختلط هستند، هر چند برای بسیاری از اهداف، آنها را به عنوان اعداد حقیقی در نظر میگیریم. به عبارت دیگر، یک کیوبیت یک بردار حالت در فضای برداری دو بعدی است. حالتهای ویژه ∘ و 1 به عنوان حالتهای پایهی محاسباتی شناخته میشوند که پایه راستهنجار برای این فضای برداری هستند. ما میتوانیم یک بیت، که در حالت ∘ یا 1 است را بررسی کنیم. به عنوان مثال: رایانهها این کار را در کل زمانیکه مطالب را از حافظهی خود بازیابی میکنند انجام میدهند.]1[.
کیوبیت درحالت برهم نهش، برای درک درستی از دنیای فیزیکی اطراف ما نشان داده میشود. تا زمانیکه کیوبیت اندازهگیری میشود، میتواند در یک زنجیره از حالتهای بین ∘ و 1 وجود داشته باشد. هنگامی که یک کیوبیت اندازهگیری میشود همیشه احتمال آن روی ∘ یا 1 است.
به عنوان مثال کیوبیت میتواند در حالت زیر باشد،