λ

now browsing by tag

 
 

دانلود تحقیق علمی - دانلود پایان نامه ایرانداک

اسماعیل
احسان
و شما خواننده گرامی . . .
 
سپاسگزاری
با تقدیر و تشکر شایسته از استاد فرهیخته و فرزانه سرکارخانم دکترمریم شرفی که با نکته های ارزشمند و گفته های بلند، صحیفه های سخن را  علم پرور نمود و همواره راهنما و راه گشای نگارنده در اتمام واکمال پایان نامه بوده است. از جناب آقای دکتر علیرضا نعمت اللهی که از مشورت و جهتدهی ایشان کمال استفاده را بردم و مرا مدیون اخلاق کریمانه، راهنماییهای ارزندهی خود قرار دادند سپاسگزارم. همچنین از جناب آقای دکتر بازرگان لاری که زحمت مشاورهی این تحقیق را تقبل نموده کمال تشکر را دارم. از جناب آقای دکتر برهانی حقیقی که زحمت داوری این پایان نامه را به عهده گرفتند و همواره لطفشان را از من دریغ نکردند کمال تشکر را دارم، و از سایر اساتید محترم بخش آمار که در طول دورهی کارشناسی و ارشد هرگونه یاری و مساعدت تحصیلی و معنوی را با لطف و بزرگواری به اینجانب هدیه نمودند، قدردانی مینمایم. از بهترین پشتیبان زندگیم پدر عزیز و مادر مهربانم که همواره مأمن آرامش و آسایش مرا فراهم نمودند همچنین از برادرانم که در دوران تحصیل همواره مشوق و یار و یاورم بودند، صمیمانه تشکر میکنم. امیدوارم که این رساله به یاری خداوند متعال قدمی برای پیشرفت علم باشد.
چکیده
استنباط آماری مدل رگرسیونی با خطاهای خودبازگشتی به روش لاسو
به کوشش
احمدرضا زنبوری
درمدلهای رگرسیون خطی، روشهای انقباضی یکی از راهحلها برای بهبود برآورد کمترین مربعات میباشد. در این پایاننامه، پس از معرفی مدل رگرسیون خطی چندگانه و مسئله چندهمخطی، ابتدا به معرفی روشهای انقباضی پرداخته و سپس به برآوردیابی در مدلهای رگرسیونی خطی با خطاهای خودبازگشتی به وسیله روش انقباضی لاسو میپردازیم. دو نوع برآوردگر لاسو سنتی و اصلاح شده را معرفی و خواص مجانبی آنها را مطالعه کردهایم. الگوریتمی را جهت محاسبه این برآوردگرها ارایه داده و در پایان با ارایه دو مثال به مقایسه این برآوردگرها پرداختهایم.
کلید واژه: برآوردگرپیشگو، انقباض،مدل رگرسیونی با خطای خود بازگشتی، لاسو
فهرست مطالب
عنوان صفحه
فصل اول: مقدمات و تعاریف TOC o "1-3" h z u
مقدمه : PAGEREF _Toc382381016 h 21-1-رگرسیون خطی چندگانه و مسئله چند همخطی PAGEREF _Toc382381017 h 21-2-رگرسیون ریج PAGEREF _Toc382381018 h 41-3-بریج PAGEREF _Toc382381019 h 51-4-لاسو PAGEREF _Toc382381020 h 61-4-1-رفتار مجانبی βn PAGEREF _Toc382381021 h 81-5-تعاریف PAGEREF _Toc382381022 h 101-5-1- تُنُکی PAGEREF _Toc382381023 h 101-5-2-برآوردگر پیشگو PAGEREF _Toc382381024 h 101-5-3-نماد لاندا PAGEREF _Toc382381025 h 111-5-4-بهینه سازی محدب PAGEREF _Toc382381026 h 121-5-5-1-همگرایی در توزیع PAGEREF _Toc382381027 h 121-5-5-2-همگرایی در احتمال PAGEREF _Toc382381028 h 131-5-5-3-سازگاری با نرخ ریشه n ام PAGEREF _Toc382381029 h 131-5-5-4-همگرایی با احتمال یک PAGEREF _Toc382381030 h 141-5-6-فرایند ایستا PAGEREF _Toc382381031 h 141-5-7-فرایند خودبازگشتی-میانگین متحرک PAGEREF _Toc382381032 h 141-5-8-معیارهای انتخاب مدل PAGEREF _Toc382381033 h 151-5-8-1-معیار اطلاع بیزی PAGEREF _Toc382381034 h 151-5-8-2-اعتبارسنجی متقابل PAGEREF _Toc382381035 h 16اعتبارسنجی متقابل K لایه PAGEREF _Toc382381036 h 17فصل دوم: برآوردگرهای لاسو برای پارامترهای مدل رگرسیون خطی با خطاهای خودبازگشتی
2-1-مدل رگرسیون خطی با خطای سری زمانی PAGEREF _Toc382381037 h 212-2-برآوردکمترین مربعات درمدل رگرسیونی باخطاهای خودبازگشتی میانگین متحرک PAGEREF _Toc382381038 h 222-3-برآورد کمترین مربعات پارامترها PAGEREF _Toc382381039 h 242-4-توزیع برآوردها PAGEREF _Toc382381040 h 262-5-برآوردیابی به روش لاسو برای پارامترهای مدل رگرسیون خطی با خطاهای خودبازگشتی PAGEREF _Toc382381041 h 282-6-خواص نظری برآوردگرهای لاسو PAGEREF _Toc382381042 h 302-6-1-خواص برآوردگر لاسو سنتی PAGEREF _Toc382381043 h 312-6-2-خواص برآوردگر لاسو اصلاح شده PAGEREF _Toc382381044 h 35فصل سوم: الگوریتم دستیابی به برآوردگرهای لاسو در مدل رگرسیون خطی با خطای خود بازگشتی
3-1-فرایند تکراری PAGEREF _Toc382381045 h 423-2-تحدب موضعی PAGEREF _Toc382381046 h 443-3-برآوردگر شروع PAGEREF _Toc382381047 h 453-4-پارامترهای تنظیم کننده PAGEREF _Toc382381048 h 45فصل چهارم: مثالهای کاربردی و شبیه سازی
4-1-مثال شبیه سازی PAGEREF _Toc382381049 h 494-2-مثال واقعی PAGEREF _Toc382381050 h 52پیوست PAGEREF _Toc382381051 h 55مارتینگل و قضیه حد مرکزی مارتینگلها PAGEREF _Toc382381053 h 56قضیه ارگودیک PAGEREF _Toc382381055 h 57فهرست منابع و مآخذ PAGEREF _Toc382381056 h 58واژه نامه فارسی به انگلیسی PAGEREF _Toc382381057 h 61واژه نامه انگلیسی به فارسی PAGEREF _Toc382381058 h 66
فهرست جدول ها
عنوان صفحه
جدول4-1: نتایج شبیه سازی برای ρ=0.551
جدول4-2: نتایج مثال واقعی53
فهرست علائم اختصاریLASSO: Least Absolute Shrinkage and Selection Operatori.i.d: independent and identical distribution
MSE: Mean Square Error
CV: Cross Validation
GCV: Generalized Cross Validation
OLS: Ordinary Least Square
فصل اول
مقدمات و تعاریف
مقدمه :در این فصل به تعاریف و مقدمات لازم از جمله مدل رگرسیون خطی چندگانه استاندارد، مفهوم چند همخطی، رگرسیون ریج، بریج، روش لاسو و ... که در فصلهای بعد به آنها نیاز داریم، خواهیم پرداخت.
1-1-رگرسیون خطی چندگانه و مسئله چند همخطییک مدل رگرسیون که شامل بیش از یک متغیر مستقل باشد و نسبت به پارامترها خطی باشد را مدل رگرسیون خطی چندگانه می نامند. فرم کلی یک مدل رگرسیون خطی چندگانه استاندارد به صورت زیر میباشد:
yi=xi'β+eii=1,…,n(1-1)
که درآن e1,…,en متغیرهای تصادفی مستقل و هم توزیع با میانگین صفر و واریانس σ2 میباشد .β=(β1,…,βk)' بردار پارامترها، برای i=1,…n xi=(x1i,…,xki)' بردار متغیرهای مستقل و yi متغیر پاسخ میباشد. ماتریسxn×k=(x1',…,xn') را ماتریس طرح مینامیم.
هنگامی که بین متغیر های مستقل همبستگی وجود داشته باشد، می گوییم بین آنها چند همخطی وجود دارد. از آثار چند همخطی می توان به موارد زیر اشاره کرد:
الف : از آنجاییکه در این حالت اطلاعات مستقل در مورد هریک از متغیرهای مستقل وجود ندارد، لذا نمی توان اثرات جزئی متغیرهای مذکور روی متغیر وابسته را برآورد کرد .
ب : هنگامی که همبستگی شدید بین متغیرهای مستقل وجود داشته باشد، کوواریانس و واریانس ضرایب، بزرگتر برآورد خواهند شد .
ج : در حالتی که با چند همخطی شدید در مدل مواجه هستیم، پیش بینی های صورت گرفته از آن غیر قابل اعتماد خواهد بود. در این حالت پیش بینی ها براساس مدلی که دارای زیر مجموعه ای از متغیرهای مستقل مدل اصلی است، بهتر صورت می گیرد .
د : رابطه قوی بین دو یا چند متغیر مستقل سبب می شود که نتوان ماتریس x'x را معکوس کرد. زیرا در این صورت ستون های ماتریس x به هم وابسته هستند و در نتیجه ستون های x'x نیز با هم وابسته هستند و پررتبه نیست.
همان طور که در قسمت ج گفتیم یکی از روش ها برای بهبود برآورد کمترین مربعات، زیر مجموعه منتخب می باشد که نتیجه گزینش بهترین زیر مجموعه رگرسیون می باشد . از روشهای زیر مجموعه منتخب میتوان به رگرسیون گام به گام، حذف پیشرو و انتخاب پسرو اشاره کرد. البته قابل ذکر است که زیر مجموعه منتخب خود دارای مشکل عدم استواری می باشد . به عنوان مثال با تغییر کوچک در داده ها مدل های خیلی متفاوتی را بوجود می آورد، که این امر درستی پیشبینی را کاهش می دهد.
معمولا می توان درستی پیش بینی را با انقباض تعدادی از ضرایب و یا با صفر قرار دادن آنها بهبود بخشید. روش پیشنهادی برای بهبود روش برآورد کمترین مربعات، رگرسیونهای انقباضی است. از جمله رگرسیون ریج، لاسوو بریجکه به اختصار این روشها را توضیح میدهیم. برای توضیح بیشتر در مورد این روشها به سلیمانی(1392) مراجعه شود.
1-2-رگرسیون ریج
رگرسیون ریج در سال 1962 برای اولین بار توسط هوئرل و کنارد معرفی شد. همان طور که می دانیم اساس و پایه برآوردگر کمترین مربعات یک رگرسیون خطی این است که (x'x)-1 وجود داشته باشد. دو دلیل وجود دارد که این معکوس وجود نداشته باشد : یکی ماتریس طرح x پر رتبه ستونی نباشد و دیگری چند همخطی بودن می باشد. روش رگرسیون ریج یکی از بهترین و محبوب ترین گزینهها برای رفع این مشکل می باشد.
اضافه کردن ماتریس قطری λI به x'x راهی آسان برای تضمین معکوس پذیری می باشد یعنی x'x+λI. (I یک ماتریس k×k همانی می باشد). بنابراین برآوردگر رگرسیون ریج پارامتر β به صورت زیر می باشد :
βr=(x'x+λI)-1x'yکه λ>0 می باشد .این برآوردگر را نیز میتوان با مینیمم کردن عبارت
i=1n(yi-j=1kβjxij)2نسبت به βj تحت شرط j=1kβj2≤t بدست آورد. t≥0 یک پارامتر تنظیم کننده میباشد که میزان انقباض ضرایب را کنترل میکند.
بطور معادل با مینیمم کردن
i=1n(yi-j=1kβjxij)2+λj=1kβj2نسبت به βj بدست میآید.
همانطور که میدانید، برآوردگر کمترین مربعات β به صورت زیر میباشد:
βols=(x'x)-1x'yβr یک برآوردگر اریب با میانگین و واریانس زیر میباشد :
E(βr)=β+λ(x'x+λI)-1βVarβr=(x'x+λI)-1x'x(x'x+λI)-1σ2همانطور که میدانید برآوردگر کمترین مربعات نااریب با واریانس زیر میباشد:
Varβols=(x'x)-1σ2هوئرل و کنارد ثابت کردهاند که اگر β'β کراندار باشد می توان λ>0-یی را پیدا کرد به طوریکه :
MSE(βr)<MSE(βols)بنابراین رگرسیون ریج می تواند برآورد βols را بهبود ببخشد.
1-3-بریجفرانک و فریدمن در سال 1993 در مورد تعمیم رگرسیون ریج و زیرمجموعه منتخب، از راه اضافه کردن یک جمله تاوان به شکل λjβjγ به مجموع مربعات باقی‌مانده ها پرداختند که هم ارز قیدی به فرم jβjγ≤t γ≥0, می‌باشد، که آنرا "بریج" نامیدند.
لازم به ذکر است برای توابعی به فرم خطی، تعداد زیادی تابع تاوان وجود دارد : تاوان L0 با γ→0 (که به تابع تاوان آنتروپی معروف است) که توسط بریمن در سال 1996 در روش انتخاب بهترین زیر مجموعه مورد استفاده قرار گرفت. تاوان L1 با γ=1 (لاسو) که توسط تیبشیرانی در سال 1996 و تاوان L2 با γ=2 (ریج) توسط هوئرل و کنارد در سال 1962 مورد مطالعه قرار گرفت. همچنین فن و لی(2001) کلاس بزرگی از تابع تاوانها را معرفی و سپس مورد مطالعه قرار دادند. آنها نشان دادند که چون تاوان L1 منحصر به فرد میباشد، از اینرو لاسو خود به خود انتخاب متغیر را انجام میدهد، که در بخش بعد آنرا بیان میکنیم.
1-4-لاسو
روش حداقل انقباض مطلق و عملگر انتخاب که به اختصار لاسو نامیده میشود را اولین بار تیبشیرانی (1996) معرفی کرد. این روش بصورت همزمان به برآورد پارامترها و انتخاب متغیر میپردازد. انگیزه اصلی تیبشیرانی در تعریف لاسو، از پیشنهاد گرُت نامنفی فردی به نام بریمن (1993) می آید. در روش گرُت نامنفی بریمن عبارت
i=1n(yi-j=1kcjβjolsxij)2تحت شرایط j=1kcj≤t و cj≥0 مینیمم می‌شود.
تیبشیرانی این دو شرط را به یک شرط تبدیل کرد و اسم کانادایی "لاسو" را برای آن انتخاب کرد. این روش اساسا شبیه رگرسیون ریج می‌باشد، با این تفاوت که به جای استفاده از تابع تاوان درجه دوم، از تابع تاوان مجموع قدرمطلق ضرایب استفاده می‌شود و عبارت
i=1n(yi-j=1kβjxij)2 تحت شرط j=1kβj≤t مینیمم میشود. در اینجا نیز t≥0 پارامتر تنظیم کننده بوده و میزان انقباض ضرایب را کنترل می کند. برای برآورد پارامتر t میتوان از روشهای اعتبارسنجی متقابل و اعتبارسنچی متقابل تعمیم یافته استفاده کرد که در بخش 1-5-8 به معرفی این دو روش خواهیم پرداخت.
لاسو را در حالت کلی نیز میتوان با مینیمم کردن عبارت زیر بدست آورد :
y-j=1kxj'βj+λj=1kβj
که در آن λ یک پارامتر تنظیم کننده نامنفی و همچنین λj=1kβj را تاوان L1 مینامیم که این تاوان برای موفقیت لاسو حیاتی میباشد. لاسو با افزایش λ ضرایب را به سمت صفر انقباض میدهد و زمانیکه λ به اندازه کافی بزرگ باشد، بعضی ضرایب را دقیقا صفر برآورد میکند. حال میخواهیم رفتار مجانبی برآوردگر لاسو را در مدلهای رگرسیون خطی چندگانه استاندارد با استفاده از تحقیقات نایت و فو(2000) بررسی کنیم. برای این منظور مدل رگرسیون خطی(1-1) را در نظر بگیرید. بدون از دست دادن کلیت مسئله، فرض میکنیم متغیرهای مستقل مرکزی شده باشند بهطوریکه دارای میانگین صفر باشند. حال میخواهیم با مینیمم کردن معیار کمترین مربعات تاوانیده زیر، β را بدست آوریم:
(1-2) i=1n(yi-xi'β)2+λnj=1kβjγبرای یک λn داده شده، γ>0 میباشد. همانطور که در بخش 1-3 گفته شد، این چنین برآوردگری به نام برآوردگر بریج نام گذاری شده است.
برای حالتی که γ≤1، اگر λn به اندازه کافی بزرگ باشد، برآوردگرهایی که رابطه (1-2) را مینیمم می‌کنند، پتانسیل لازم جهت صفر شدن دقیق را دارا میباشند.
برای یک λn داده شده، برآوردگری که رابطه (1-2) را مینیمم کند با βn نشان می‌دهیم. λn=0 مطابق با برآوردگر کمترین مربعات βols میباشد.
فرض کنید شرایط نظم زیربرای xi برقرار باشد :
Cn=1ni=1nxixi' →C(1-3)
که در این رابطه C یک ماتریس معین نامنفی می‌باشد و
(1-4) 1nmax1≤i≤nxi'xi→0در عمل از آنجایی که متغیرهای مستقل مقیاس گذاری شده اند، عناصر قطری ماتریس Cn (و در نتیجه C) برابر با یک می‌باشد.
تحت شرایط (1-3) و (1-4) (با فرض ناتکین بودن ماتریسC)، مشخص می‌شود که برآوردگر کمترین مربعات سازگار بوده و
n(βols-β) d N(0,σ2C-1)1-4-1-رفتار مجانبی βn
در این بخش فرض بر این است که ماتریس C ناتکین ‌باشد. رفتار حدی برآوردگر بریج βn را می‌توان با مطالعه روی رفتار مجانبی تابع هدف (1-2) مشخص کرد. به عنوان مثال برای سازگاری βn، تابع تصادفی زیر را تعریف می‌کنیم :
Znβ=1ni=1n(yi-xi'β)2+λnnj=1kβjγکه به ازای β=βn مینیمم می‌شود . قضیه زیر نشان میدهد که اگر λn=O(n) آنگاه βn سازگار است .
قضیه 1-1 : اگر ماتریس C ناتکین ‌باشد و λnn→λ0≥0. آنگاه βn p argmin(Zδ)، بهطوریکه:
Zδ=(δ-β)TCδ-β+λ0j=1kβjγبنابراین اگر λn=On آنگاه argminZδ=β و بنابراین βn سازگار می‌باشد .
اثبات : نایت و فو (2000)
در حقیقت نرخ رشد λn جهت بدست آوردن یک توزیع حدی بستگی به این دارد که γ≥1 یا γ<1 باشد . قضیه 1-2 به این نکته اشاره می‌کند که در حالت γ≥1، برای سازگاری βn با نرخ n ، به شرط λn=On نیازمندیم. در حالی‌که قضیه 1-3 این پیشنهاد را به ما می‌دهد که در حالت γ<1، برای سازگاری βn با نرخ n، باید λn=Onγ2 باشد. (در واقع برای γ<1 کافیست λn=On )
قضیه 1-2 : فرض کنید که γ≥1 باشد. اگر λnn→λ0≥0 و ماتریس C ناتکین ‌باشد، آنگاه
n(βn-β)dargmin(Vu)بهطوریکه برای γ>1 :
Vu=-2uTW+uTCu+λ0j=1kujsgn(βj)βjγ-1و برای γ=1 ،
Vu=-2uTW+uTCu+λ0j=1kujsgnβjIβj≠0+ujI(βj=0)وقتی که W دارای توزیع N(0,σ2C) می‌باشد.
اثبات : نایت و فو (2000)
قضیه1-3 : فرض کنید که γ<1 باشد. اگر λnnγ2→λ0≥0 ، آنگاه
n(βn-β)dargmin(V)بهطوریکه
Vu=-2uTW+uTCu+λ0j=1kujγI(βj=0)وقتی که W دارای توزیع N(0,σ2C) می‌باشد.
اثبات : نایت و فو (2000)
1-5-تعاریف1-5-1- تُنُکیتعریف1-1: قانون آستانه: قانونی است که به صورت خود به خود ضرایب کوچک برآورد شده را جهت کاهش پیچیدگی مدل، برابر صفر قرار میدهد.
تعریف1-2: برآوردگری که در قانون آستانه صدق کند را برآوردگر تنک گویند.
(برای اطلاعات بیشتر به فن و لی ( 2001) مراجعه کنید)
1-5-2-برآوردگر پیشگو
تعریف 1-3: فرض کنید مدل واقعی y=x'βo+e و مجموعه A را بصورت زیر تعریف شده است.
A=1≤j≤k ;βj≠0 بطوریکه A=k0<k. همچنین فرض کنید β(M) برآوردگر ضریب بدست آمده از روشM  باشد، آنگاه β(M) را یک برآوردگر پیشگو گوییم هرگاه:
الف) این برآوردگر قادر به شناسایی زیر مجموعه صحیحی از مدل باشد یا به عبارت دیگر مجموعه A=j:βj≠0  .
ب) برآوردگر حاصل دارای نرخ برآوردیابی بهینه باشد. یعنی
(1-5) n(βA(M)-βA0)dN(0,Σ*)Σ* ماتریس واریانس کواریانس زیر مجموعه صحیح مدل می باشد .
بر اساس مقاله وانگ و همکاران(2007)، برآوردگری را که بر اساس مدل واقعی بدست میآید را برآوردگر پیشگو میگوییم.
1-5-3-نماد لاندانماد لاندا در نظریههایی از جمله، علوم کامپیوتر و ریاضیات جهت توصیف رفتار مجانبی یک تابع به کار میرود. این نماد نشان میدهد که یک تابع با چه سرعتی رشد یا کاهش پیدا می کند. اولین بار دانشمند آلمانی ادماند لاندا(1909) این نماد را بکار برد. حرف O به این دلیل مورد استفاده قرار میگیرد که اغلب سرعت رشد تابع را با Order نشان میدهیم.
فرض کنید g(x) و f(x) تابعهایی باشند که در زیر مجموعههایی از اعداد حقیقی تعریف شده باشند، در اینصورت
fx=Ogx ⇔ f(x)≤Cg(x) for x>N , C>0که عبارت بالا نشان میدهد که تابع f نمیتواند سریعتر از g رشد پیدا کند.
علاوه بر نماد O بزرگ، نماد دیگری در ریاضیات به کار میرود که به نام نماد o کوچک معروف میباشد.
فرض کنید که fx=o(gx) که این رابطه نشان میدهد که تابع f با سرعت کمتر نسبت به g رشد پیدا میکند، که در صورتیکه g(x)≠0 باشد، با رابطه زیر معادل است :
limx→∞f(x)g(x)=01-5-4-بهینه سازی محدب
به مسئلهای بهینه سازی محدب میگویند که به کمک آن میتوان مقدار مینیمم یک تابع محدب (یا ماکزیمم یک تابع مقعر ) را پیدا کرد. مهمترین مزیت این نوع مسائل بهینهسازی در این است که نقطه بهینه نسبی همان نقطه بهینه مطلق میباشند. هر الگوریتم بهینهسازی که نقطه بهینه نسبی را پیدا کند، نقطه بهینه مطلق را پیدا کرده است.
1-5-5-همگراییها و سازگاری
1-5-5-1-همگرایی در توزیع فرض کنید دنباله‏ی Fnn=1+∞ ، یک دنباله از توابع توزیع باشد، همچنین فرض کنید تابعی مانند F (یک تابع توزیع) وجود داشته باشد، بطوریکه برای هر x∈CF (CF نقاط پیوستگی تابع F می‌باشد) داشته باشیم:
limn→+∞Fnx=Fx آنگاه می‏گوییم دنباله‏ی Fnn=1+∞ در توزیع به سمت F میل می‏کند.(فضاهای احتمال هر کدام از اعضای دنباله و تابع توزیع حدی می‌توانند کاملاً متفاوت باشند)
اگر برای هر n، متغیر تصادفی Xn دارای تابع توزیع Fn باشد و تابع توزیع F مربوط به متغیر تصادفی X باشد، آنگاه می‏گوییم دنباله‏ی متغیرهای تصادفی Xnn=1+∞ در توزیع به سمت متغیر تصادفی X میل می‏کند و با نماد XndX نشان می‏دهیم.
1-5-5-2-همگرایی در احتمال فرض کنید X یک متغیر تصادفی و Xnn=1+∞ دنباله‏ای از متغیرهای تصادفی تعریف شده روی یک فضای احتمالΩ,F,P باشند. گوئیم دنباله‏ی Xnn=1+∞ در احتمال به X همگراست، هرگاه برای هر ε>0 داشته باشیم:
limn→∞PXn-X>ε=0,این همگرایی را با نماد XnpX نشان می‏دهیم. به عبارتی دیگر
∀ ε>0,∃ δ>0, ∃ N ,∀ n≥N; PXn-X>ε≤δفرض کنید Xn دنباله‌ای از متغیرهای تصادفی باشد. می‌گوییم Xn=op(1) (oکوچک مرتبه‌ی یک در احتمال) اگر و تنها اگر Xnp0 هنگامیکه n→∞. همچنین می‌گوییم Xn=OP(1) (O بزرگ مرتبه‌ی یک در احتمال) اگر و تنها اگر دنباله‌ی Xn در احتمال کراندار باشد، یعنی Xn≤C.
برخی از ویژگیهای همگرایی در احتمال به صورت زیر است :
الف: Xn در احتمال به متغیر تصادفی X همگرا میباشد و مینویسیم XnpX ، اگر و تنها اگرXn-X=op(1)ب: Xn=op(an) اگر و تنها اگر an-1Xn=op(1)ج: Xn=Op(an) اگر و تنها اگر an-1Xn=Op(1)1-5-5-3-سازگاری با نرخ ریشه n ام (فیشر (1922))
تحت فضای احتمال pn ، θn با نرخ ریشه n ام به سمت θ0 همگراست اگر:
θn=θ0+Op(1n)
1-5-5-4-همگرایی با احتمال یک فرض کنید X یک متغیر تصادفی و Xnn=1+∞ دنباله‏ای از متغیرهای تصادفی تعریف شده روی یک فضای احتمالΩ,F,P باشند. گوئیم دنباله‏ی Xnn=1+∞ همگرای با احتمال یک (تقریباً مطمئن) به X است، هرگاه داشته باشیم:
Pω:Xnω→Xω=1,یا بصورت معادل
Pω:∀ε>0 ∃N , ∀ n≥N;Xn-X<ε=1توجه شود که همگرایی با احتمال یک، همگرایی در احتمال و همگرایی در احتمال، همگرایی در توزیع را نتیجه می‌دهد و عکس این روابط در حالت کلی(بجز در حالات خاص) برقرار نیست. (بلینگزلی(1995))
1-5-6-فرایند ایستا
فرایند Xt ایستای (ضعیف) است هرگاه به ازای هر عدد صحیح h و صحیح مثبت n، دو بردار X1,…,Xn و X1+h,…,Xn+h دارای بردار میانگین و ماتریس واریانس کوواریانس یکسان باشند.
d
فرایند Xt ایستای (قوی) می باشد اگر :
X1,…,Xn=X1+h,…,Xn+h(به ازای تمام اعداد صحیح h و n≥1)
1-5-7-فرایند خودبازگشتی-میانگین متحرکسری Ztt=1∞ یک فرایند ARMA(p,q) ایستا گوییم اگر :
ΦBZt=θBatکه در آن
و
ΦB=1-Φ1B-…-ΦpBp θB=1-θ1B-…-θqBq
at متغیرهای ناهمبسته و همتوزیع با میانگین صفر، واریانس σ2 و گشتاور چهارم متناهی میباشد.
1-5-8-معیارهای انتخاب مدلدر این پایاننامه، برای انتخاب پارامتر تنظیم کننده بهینه در روش لاسو، از دو معیار اطلاع بیزی و اعتبار سنجی متقابل استفاده شده است که در این بخش به معرفی این دو معیار میپردازیم. در بخش 3-4 از این دو معیارجهت انتخاب پارامتر تنظیم کننده بهینه استفاده خواهیم کرد.
1-5-8-1-معیار اطلاع بیزی
معیار اطلاع بیزی، معیاری برای شناسایی و انتخاب بهترین مدل در میان مجموعهای از مدلهای برآورد شده میباشد و شباهت زیادی به معیار اطلاع آکائیکی (AIC) دارد. این معیار اولین بار توسط شوارتز در سال 1978 معرفی شد.
اگر n اندازه نمونه، k تعداد پارامترهای برآورد شده مدل و lθ ماکزیمم درستنمایی مدل برآورد شده باشد، آنگاه معیار اطلاع بیزی را با BIC نشان داده و به صورت زیر معرفی میکنیم:
BIC=-2lθ+0.5klog(n)در بین مدلهای برازش شده، مدلی که BIC کمتری داشته باشد، انتخاب میشود.
1-5-8-2-اعتبارسنجی متقابلاعتبار مدل عبارتست از پاسخ به این سؤال که آیا مدل در راستای اهداف تعیین شده قابلیت های لازم را دارد یا خیر؟
تعیین اعتبار درست یک مدل رگرسیونی بایستی مشتمل بر یک مطالعه روی علامتها و اندازههای ضرایب باشد، بدین معنی که آیا βj میتواند بصورت قابل قبولی به عنوان یک برآورد از اثر xj تعبیر شود؟ همچنین بایستی پایداری ضرایب رگرسیون مورد رسیدگی واقع شود. بدین معنی که آیا βj بدست آمده از یک نمونه جدید تا حد امکان شبیه ضرایب جاری میباشد؟ نهایتاً تعیین اعتبار ایجاب میکند پیشبینی انجام گرفته بوسیلهی مدل مورد رسیدگی قرار گیرد.
برای تعیین اعتبار یک مدل رگرسیونی سه روش بکار گرفته میشود:
تحلیل ضرایب مدل و مقادیر پیش بینی: برای تعیین پایداری و قابل قبول بودن علامتها و اندازههای ضرایب نهایی رگرسیون بایستی آنها را با تجربیات قبلی و دیگر مدلهای تحلیلی یا نتایج شبیه سازی مقایسه کرد.
جمعآوری دادههای جدید: مؤثرترین روش تعیین اعتبار یک مدل نسبت به نقش پیش بینی آن جمعآوری دادههای مناسب و مقایسهی مستقیم پیشبینیهای مدل با آنها میباشد.
تقسیم یا جداسازی دادهها: در بعضی وضعیتها جمعآوری دادههای جدید برای تعیین اعتبار امکانپذیر نیست. به عنوان مثال ممکن است منبع جمعآوری دادهها تخلیه شده باشد یا ماشینآلات به تولیدات دیگر پرداخته باشند و یا دیگر وسایل جمعآوری اطلاعات و منابع لازم در دسترس نباشد. در چنین شرایطی دادههای موجود با روش قابل قبولی به دو قسمت تقسیم میشوند. اِسنی در سال 1977 این دادهها را دادههای برآورد و دادههای پیش بینی نامگذاری کرده است.(رضوی پاریزی1388)
در این پایاننامه تنها روش سوم از روشهای تعیین اعتبار مدل را در نظر گرفته که در ادامه به آن میپردازیم.
گاهی تقسیم دادهها، اعتبارسنجی نامیده میشود (موستلر و توکی(1968) ). تقسیم دادهها از چند راه انجام میشود. به عنوان مثال اگر دادهها بر پایهی دنبالهای از زمان جمعآوری شده باشند، در این صورت زمان میتواند به عنوان مبنای تقسیم دادهها بکار رود. یعنی دورهی خاصی از زمان معین شود و همه مشاهدات جمعآوری شده قبل از این دوره زمانی تشکیل دادههای برآورد (آموزشی) و دادههای بعد از این دوره زمانی تشکیل دادههای پیشبینی(اعتبار) را میدهند. در مواردی که مبنای خاصی برای تقسیم دادهها وجود ندارد میتوان بطور تصادفی مشاهداتی را برای مجموعه دادههای برآورد و پیش بینی تخصیص داد.
فرض کنید n داده داریم که n=nν+nc که nν تعداد دادههای آموزشی و nc تعداد دادههای اعتبار است. در این صورت تعداد nnν راه متفاوت برای تقسیم دادهها وجود دارد.
شاید بتوان گفت روش اعتبارسنجی متقابل یکی از سادهترین و پرکاربردترین روشهای برآورد خطای پیش بین است.
برای جزییات بیشتر به معرفی خطای پیش بین میپردازیم، فرض کنیدX∈RP یک بردار تصادفی از مقادیر ورودی حقیقی مقدار باشد و Y∈Rمتغیر تصادفی خروجی حقیقی مقدار با توزیع توأم احتمال FX, Y و fX تابعی حقیقی مقدار است که برای پیشبینیY از روی X در نظر گرفته میشود. حال LY,fX برای پیشبینی تاوان خطا در نظر گرفته میشود. اکثراً برای راحتی کار تابع زیان درجهی دوم را در نظر میگیرند، یعنی
LY,fX=Y-fX2در این صورت خطای پیشبین PE)) بصورت
PEf=EY-fX2 تعریف میشود. خطای پیش بین معیاری برای انتخاب f به ما ارائه میدهد.
اعتبارسنجی متقابل K لایه
در حالت ایدهآل اگر به اندازهی کافی داده داشته باشیم یک مجموعه از دادهها را برای پیش بینی کنار میگذاریم و از آن برای برآورد خطای پیشبین استفاده میکنیم. با توجه به اینکه اغلب تعداد دادهها کم میباشند، چنین چیزی امکانپذیر نیست. خوبی مسئلهی اعتبارسنجی متقابل K لایه در این است که دادههای در دسترس را به دو قسمت تقسیم میکند، بخشی از آن را برای برازش مدل و بخش دیگر را برای پیشبینی بکار میبرد.
برای مثال 5 K= در نظر گرفته و روش CVی Kلایه را برای آن بکار میبریم.
5 4 3 2 1
آموزشی آموزشی اعتبار آموزشی آموزشی
برای k امین قسمت (مثلاٌ سومین قسمت در شکل بالا)، مدل را بهK-1 (برای K=5،
K-1=4) قسمت دیگر از دادهها برازش میدهیم و خطای پیشبین از مدل برازش شده را وقتی kامین قسمت از دادهها را پیشبینی میکنیم، محاسبه میکنیم. برای k=1,2,…,K این عمل را انجام داده و Kبرآورد از خطای پیشبین را بدست میآوریم. سپس برآورد CV از میانگین وزنی Kخطای پیشبین حاصل میشود.
بصورت دقیقتر فرض کنید 1,2,…,n→1,2,…,K:???? که ???? نشان میدهد که مشاهدهیiام بصورت تصادفی در کدام افراز قرار گرفته است. f-κx تابع برازش داده شدهای است که با حذف kامین قسمت از مجموعهی دادهها محاسبه شده است. پس برآورد CVاز خطای پیشبین بصورت میانگین وزنیK لایه است. اگر K=nباشد، آنگاه CV، از حذف تکی مشاهدات حاصل میشود. در این مورد κi=i، برای برازش مشاهدهی iام همهی دادهها به جز خود دادهی iام بکار میرود.
CVf=1ni=1nLyi,f-κixiمعمولاً K را برابر با 5 یا 10 میگیریم.
در مجموعهای از مدلهایfx,α که بوسیلهی یک پارامتر تنظیم کنندهی ???? اندیسگذاری شدهاندf-κx,α، از برازش مدل????ام با حذف kامین قسمت از مجموعهی دادهها محاسبه میشود. پس برای مجموعهای از این مدلها
1ni=1nLyi,f-κi xi,α =CVf,αتعریف میکنیم. ????ای که CVf,αرا مینیمم کند، α (پارامتر تنظیم کنندهی بهینه) مینامیم. مدل نهایی f,α است که به همهی دادهها برازش میشود. (هستی و همکاران(2008)- تیب شیرانی(1996)- افرون و تیب شیرانی(1993))
محاسبهی CV بسیار وقتگیر است به همین دلیل کراون و واهبا در سال 1979 از GCV به عنوان جایگزینی برای CV استفاده کردند که به صورت زیر تعریف میشود:
GCVf=1ni=1nyi-f(xi)1-trace(S)n2که در آن ماتریس تصویر S از رابطهی Y=SY بدست میآید . یکی از مزایای این معیار وابسته نبودن آن به پارامتر σ2 است.
فصل دوم
برآوردگرهای لاسو برای پارامترهای مدل رگرسیون خطی با خطاهای خودبازگشتی
مقدمه :
همان طور که می دانیم مدل رگرسیون خطی یک ابزار مهم آماری برای تجزیه و تحلیل ارتباط بین متغیرهای پاسخ و رگرسیونی می باشد . یکی از فرضیات استاندارد موجود در این زمینه، استقلال بین مشاهدات مختلف است. اگرچه در زمان جمع آوری داده ها ممکن است همبستگی سریال مانند معنی داری، بین داده ها وجود داشته باشد. در اینگونه موارد اغلب مدل رگرسیونی با خطاهای سری زمانی در نظر گرفته می شود. در این فصل ابتدا به معرفی این گونه مدلها پرداخته و سپس به برآورد کمترین مربعات پارامترهای آن پرداخته و خواص مجانبی آنها را بیان میکنیم. سپس برآوردگرهای لاسو و لاسو اصلاح یافته این مدلها معرفی کرده و در پایان خواص مجانبی آنها را ارائه و اثبات میکنیم.
2-1-مدل رگرسیون خطی با خطای سری زمانی
یک کلاس مفید و بزرگ از مدلها برای توصیف داده های مربوط به فعالیت های اقتصادی، تجاری، محیطی و . . . ، مدلهای رگرسیونی با خطای سری زمانی میباشد. فرم کلی این مدلها به صورت زیر بیان میشود :
(2-1) yt=fxt,β+et
که در آن yt سری مورد علاقه ،et یک سری زمانی غیر قابل مشاهده ،xt نشاندهنده یک بردار از متغیرهای ورودی ،β برداری از پارامترها و f(xt,β) نشاندهنده نوع تاثیر xt روی yt میباشد. واضح است که مدلهای رگرسیون کلاسیک (خطی و غیر خطی) و سریهای زمانی، حالتهای خاصی از (2-1) میباشند.
اگر در مدل (2-1) قرار دهیم، fxt,β=i=1kβixit در اینصورت این مدل را یک مدل خطی گوییم که در این پایاننامه چنین مدلی در نظر گرفته و مورد بررسی قرار میدهیم.
تاکنون مطالعات فراوانی روی مدل (2-1) انجام شده است، به ویژه برآوردیابی پارامترهای این مدل تحت فرض ایستاییZt میباشد. ازجمله دوربین در سال 1960 یک روش دو مرحلهای را جهت یافتن برآوردهای مجانبا کارا در مدلهای خطی ارائه داد. هنان(1971)، خواص سازگاری برآوردهای کمترین مربعات وزنی پارامتر β وقتیکه f(xt,β) غیرخطی باشد را ثابت کرد . پیرس (1971) برآوردیابی از طریق روش کمترین مربعات وقتیکه مدل خطی بوده و Zt از مدل خودبازگشتی میانگین متحرک (ARMA) پیروی کند را مورد بررسی قرار داد. فولر در سال1976بعضی از خواص مدل (2-1) را مورد بررسی قرار داد.
در ادامه قصد داریم با استفاده از پیرس (1971)، به بررسی برآوردهای کمترین مربعات مدلهای رگرسیون خطی با خطاهای خودبازگشتی–میانگین متحرک را مورد مطالعه قرار دهیم.
2-2-برآوردکمترین مربعات درمدل رگرسیونی باخطاهای خودبازگشتی میانگین متحرکپیرس در سال 1971 مدل زیر را در نظر گرفت :
(2-2) yt=i=1kβixit+etکه در آن خطاهای et مستقل نمی‌باشند. برای نمایش ساختار همبستگی خطاهای این مدل، فرض می‌کنید که et ها از یک سری زمانی ایستای خودبازگشتی میانگین متحرک زیر پیروی میکند:
(2-3) et=j=1pϕjet-j-r=1qθrεt-r+εtبهطوریکه εt مجموعه‌ای از متغیرهای تصادفی مستقل با میانگین صفر و واریانس σ2 می‌باشد، به عبارت دیگر، εt یک سری نوفه سفید است. بر اساس باکس و همکاران (1970) میتوان یک عملگر عقب رونده مثل B تعریف کرد، بطوریکه برای هر دنباله wt داشته باشیم Brwt=wt-r. اگر
(2-4) θB=1-θrBrو ϕB=1-ϕjBj بر اساس B چندجمله‌ایهایی به ترتیب از درجه p و q بر اساسB باشند، آنگاه (2-3) را می‌توان به صورت زیر نوشت :
ϕBet=θBεtیا
(2-5) et=ϕ-1BθBεt=θ(B)ϕ(B)εt
با در نظر گرفتن مشاهدات به صورت (x1t,…,xkt ,yt) برای t=1,…,n، (2-5) را با (2-2) ترکیب کرده و مدل رگرسیونی با خطاهای ایستا را به صورت زیر در نظر میگیریم :
(2-6) yt=i=1kβixit+θ(B)ϕ(B)εtحال فرضیات زیر را برای چنین مدلی در نظر می‌گیریم :
الف) εt ها متغیرهای تصادفی مستقل و هم‌توزیع با میانگین صفر و واریانس σ2 می‌باشند.
ب) ریشه‌های چندجمله‌ای‌های ϕz=0 و θz=0 مشترک نبوده و خارج از دایره واحد باشند.
ج) ثابت‌های xit کراندار می‌باشند و برای i ، j ، k و l ثابت limn→∞1nxi,t-kxj,t-1 وجود دارد و ماتریس k×k lim⁡(1n)xitxjt معین مثبت می‌باشد.
فرض (ب) تضمین میکند که خطاهای et درحالیکه دارای واریانس متناهی می‌باشد، ایستا خواهد بود . علاوه بر این ضرایب معکوس چندجمله‌ایهای (2-4)، سری‌های همگرا را تشکیل می‌دهند، به عنوان مثال اگر
ψB=ϕ-1B=j=0∞ψjBjآنگاه ψj<∞ .
براساس والکر (1964) پارامترهای η=(β',ϕ',θ')' که می‌توان برای سادگی به صورت (β,ϕ,θ) نوشت، پارامترهای ساختاری ‌گویند و یک مجموعه کامل از r=k+p+q+1 پارامترهای مدل را به صورت (η,σ2)' نشان داده می‌شود.
2-3-برآورد کمترین مربعات پارامترهاهدف اصلی در این بخش بدست آوردن برآورد پارامترهای مدل (2-6) از روش کمترین مربعات می‌باشد. فرض کنید که xit;1≤i≤k و yt سری‌هایی باشد که از (2-6) تولید شده باشند. اگر مقادیر واقعی پارامتر η=(β,ϕ,θ)' معلوم باشد، آن‌گاه متغیر تصادفی εt را می توان با حل کردن رابطه (2-6) بر حسب εt به صورت زیر بدست آورد:
(2-7) εt=ϕBθ-1Byt-i=1kβiϕ(B)θ-1Bxitهمانطور که میدانید مقدار واقعی پارامترها معمولا نامعلوم می‌باشند، اما با این وجود برای هر بردار از مقادیرη=(β1,…,βk , ϕ1,…,ϕp ,θ1,…,θq) بطوریکه ϕ و θ در شرط (ب) صدق کنند، می‌توان
(2-8) εt=ϕBθ-1Byt-i=1kβiϕ(B)θ-1Bxitرا تعریف کرد. یا بهطور معادل (با توجه به جایگذاری (2-2) در (2-3))

متن کامل در سایت امید فایل 

(2-9) εt=k=1qθkεt-k-j=0pϕjyt-j+i=1kj=0pβiϕjxi,t-jوقتیکه ϕ0=-1 . همانطور که مشاهده میکنید در (2-8)، خطاهای εt از طریق عملگر بی نهایت θ-1B، دربرگیرنده تمام اطلاعات گذشته سری می‌باشد.
از آنجاییکه مشاهدات ما در زمان‌های t=1,…,n گرفته می‌شوند، بنابراین لازم است که مسئله مقادیر شروع فرایند را در نظر بگیریم. در (2-9) نیازمندیم که مقادیر اولیه xi0,…,xi ,-p+1,y0,…,y-p+1,ε0,ε-1,…,ε-q+1 را مشخص کنیم. یک راه ساده این است که این مقادیر را برابر صفر در نظر بگیریم و یک روش دیگر، استفاده ازروش پیشبینی پسرو باکس و جنکینز (1970) میباشد.
با خطای εt در (2-9)و مقادیر شروع تقریبی، برآوردهای کمترین مربعات η=β,ϕ,θ ، مقدار ηیی است که مجموع مربعات Sη=εt2 را به عنوان تابعی ازη می‌نیمم کند. ازآنجاییکه εt یک تابع خطی از η نمی‌باشد‌، این برآوردها را می‌توان در عمل با روش‌های برآوردیابی غیرخطی مطرحشده در هارتلی (1961)، دراپر و اسمیت (1966) و بهطور مشخص برای مدل‌های سری زمانی به باکس و جنکینز(1970) محاسبه نمود.
تا اینجا اشاره‌ای به فرم تابعی توزیع εt نکرده‌ایم . اگر εt به صورت نرمال توزیع شده باشند، آنگاه لگاریتم تابع درستنمایی پارامترهای (η,σ2)' به‌صورت زیر خواهد بود:
(2-10) logL=c-12nlogσ2-12σ2εt2که در آن c مقداری ثابت است.
با ماکزیمم کردن (2-10) همان برآوردهای کمترین مربعات η بدست میآید و یک برآورد برای واریانس خطا نیز به صورت زیرحاصل میشود:
(2-11) σ2=1nεt2که در آنεt باقی‌مانده‌های حاصل از جایگذاری η با η در رابطه‌های (2-8) یا (2-9) می‌باشد. تحت فرض‌هایی مشابه با فرضهای (الف)-(ج)، هیلدرس(1969) توزیع بزرگ-نمونهای برآوردگرهای ماکزیمم درستنمایی (β,ϕ,σ2)با خطاهای خودبازگشتی مرتبه اول توزیع نرمال را بدست آورد.
هیلدرس(1969) نشان داد که برآوردگرهای ماکزیمم درستنمایی پارامترهای یک مدل رگرسیون خطی با خطاهای خود بازگشتی دارای توزیع نرمال چند متغیره با میانگینی برابر با مقدار صحیح پارامتر میباشند. وی با بررسی ماتریس واریانس کواریانس مشخص کرد که این برآوردگرها مجانبا کارا می باشند.
در بخش بعدی برای بدست آوردن توزیع این برآوردگرها، باید از لگاریتم تابع درستنمایی (2-10) استفاده نمود و در بعضی از موارد برای بدست آوردن توزیع بزرگ- نمونهای η و σ2 از روشهای کلاسیک (کرامر 1964) استفاده کرد. اگر چه ممکن است که نتایج بدست آمده به شکل تابعی توزیع خطا، بستگی نداشته باشد اما تنها در حالتی که توزیع خطا نرمال باشد، برآوردگرهای در نظر گرفته شده همان برآوردگرهای ماکزیمم درستنمایی میباشند.
2-4-توزیع برآوردهاپیرس (1971)، رفتار مجانبی برآوردگرهای کمترین مربعات بدست آمده در بخش (2-3) را تحت شرایطی بدست آورد که در این بخش قصد داریم این نتایج را بدون ارائه میدهیم.
الف)β دارای توزیع نرمال چندمتغیره با میانگین β و ماتریس واریانس-کواریانسσ2B-1n می‌باشند بطوریکه:
(2-12) B=limn→∞1nt=1nbitbjtو bit (i=1,…,k) توسط رابطه زیر تعریف میشود:
ϕBxit=θBbit(2-13)

ب) η=(ϕ,θ) از β مستقل می‌باشند و همچنین دارای توزیع نرمال با میانگین η=(ϕ,θ) و ماتریس واریانس-کواریانس زیر میباشد:
(2-14) σ2nCEE'D-1
که در آن
(2-15) C=γi-j, D=δi-j, E=ωi-jبعلاوه γk=E(utut+k) و δk=E(vtvt+k) خودکوواریانس تاخیر k-ام فرآیندهای خودبازگشتی زیر می‌باشد:
(2-16) ϕBut=εt , θBvt=εtو ωk=E(utvt+k) کواریانس متقابل در تاخیر k ام بین دو فرایند بالا می‌باشد.
ج)σ2 دارای توزیع نرمال با میانگین σ2 و واریانس 2σ4(1+12γ2)n میباشد. این برآوردگر از(ϕ,θ) مستقل و همچنین درصورتیکه γ1 صفر باشد، از β نیز مستقل می‌باشد. (γ1 و γ2 چولگی و کشیدگی εt میباشند)
تا اینجا سعی شد مدل رگرسیونی با خطاهای سری زمانی را شرح داده و به کمک روش‌ ارائه شده توسط پیرس (1971) برآورد کمترین مربعات پارامترهای این مدل را بدست آوریم. اما بحث اصلی پایاننامه، استنباط آماری مدل رگرسیونی با خطاهای خودبازگشتی به روش لاسو می باشد که براساس مقاله وانگ و همکاران(2007) میباشد. در ابتدا این روش برآوردیابی را برای اینگونه مدلها معرفی کرده و سپس خواص نظری برآوردگرهای حاصل از این روش را مورد بررسی قرار میدهیم.
2-5-برآوردیابی به روش لاسو برای پارامترهای مدل رگرسیون خطی با خطاهای خودبازگشتیهمانطور که در فصل اول گفته شد، روش حداقل انقباض مطلق و عملگر انتخاب که به اختصار لاسو خوانده می شود، اولین بار توسط تیب شیرانی در سال 1996 معرفی گردید. این روش برآوردیابی، انتخاب متغیر و برآورد پارامترها را همزمان انجام میدهدکه این انگیزهای شد تا وانگ و همکاران (2007) در مدلهای رگرسیون خطی با خطاهای خودبازگشتی به برآورد پارامترها با این روش پرداخته و برای این منظور تاوان نوع لاسو را نه تنها برای ضرایب رگرسیونی بلکه برای ضرایب خودبازگشتی هم در نظر گرفتند.
همانند(2-2) مدل رگرسیون خطی با خطاهای خودبازگشتی زیر را در نظر بگیرید:
(2-17) (t=1,…,n0)yt=xt'β+etکه xt=(xt1,…,xtk) یک بردار k بعدی از متغیرهای رگرسیونی و β=(β1,…,βk) بردار پارامترها میباشد.
علاوه بر این، فرض کنید متغیر et از فرایند خودبازگشتی AR(p) زیر پیروی می کند:
(2-18) et=ϕ1et-1+ϕ2et-2+…+ϕpet-p+εtکه در آن ϕ=(ϕ1,…,ϕp) ضرایب خودبازگشتی و εt ها متغیرهای تصادفی مستقل و هم توزیع با میانگین صفر و واریانسσ2 می باشد .
پارامترهای رگرسیونی و خودبازگشتی را بصورت α=(β',ϕ')' تعریف می کنیم. فرض کنید εt در مدل (2-18)، از توزیع نرمال پیروی کند و p مشاهده اول ثابت باشد. تابع درستنمایی شرطی n0-p مشاهده باقیمانده (yp+1,…,yn0)' به صورت زیر می باشد :
(12πσ)nexp-12σ2t=p+1n0yt-xt'β-j=1pϕj(yt-j-xt-j'β)2جاییکه n=n0-p اندازه نمونه موثر میباشد.
با ماکزیمم کردن تابع درستنمایی شرطی فوق، برآوردگر ماکزیمم درستنمایی شرطی به دست می آید. این برآوردگر میتواند با مینیمم کردن تابع هدف زیر نیز بدست آید:
(2-19) Lnα=t=p+1n0(yt-xt'β-j=1pϕj(yt-j-xt-j'β)2
برای انقباض دادن ضرایب کم اهمیت به صفر، از روش تیبشیرانی استفاده کرده به طوریکه رابطه بالا را تحت شرایط j=1kβj≤t و j=1pϕj≤tمینیمم میکنیم و برآوردگرهای لاسو سنتی را برای α بدست میآوریم، یعنی عبارت
Qnα=t=p+1n0yt-xt'β-j=1pϕj(yt-j-xt-j'β)2+nj=1kλβj+nj=1pγϕj(2-20)
را نسبت به βj و ϕj مینیمم می کنیم.
چون روش لاسو سنتی از پارامترهای تنظیم کننده یکسان λ وγ بهترتیب برای ضرایب رگرسیونی و خودبازگشتی استفاده می کند، برآوردگر حاصل α=(β',ϕ')' اریب خواهد بود، زیرا با این روش تمامی ضرایب رگرسیونی (یا خودبازگشتی) سهم یکسانی در انقباض یافتن دارند (فن و لی 2001). لذا برای برطرف کردن این مشکل وانگ و همکاران (2007) برآوردگر لاسو اصلاح شده را با مینیمم کردن عبارت زیر ارائه دادند :
Qn*α=t=p+1n0yt-xt'β-j=1pϕj(yt-j-xt-j'β)2+nj=1kλj*βj+nj=1pγj*ϕj(2-21)
روش لاسو اصلاح شده این اجازه را می دهد که برای ضرایب متفاوت و متناظر با پارامترها ، پارامترهای تنظیم کننده متفاوت λj* و γj* در نظر گرفته شود. بنابراین با این روش انقباض زیادی برای ضرایب کم اهمیت بی معنی و یک مقدار انقباض کم برای ضرایب پر اهمیت معنی دار مدل در نظر گرفته میشود.
از اینرو میتوان انتظار داشت که برآوردگر به دست آمده از روش لاسو اصلاح شده α*، اریبی کمتری نسبت به برآوردگر α داشته باشد.
2-6-خواص نظری برآوردگرهای لاسوبه منظور مطالعه خواص تئوری دو برآوردگر لاسو معرفی شده در بخش قبل ، فرض می کنیم که یک مدل واقعی با ضرایب رگرسیونی و خود بازگشتی، α0=β0',ϕ0''=(β10,…,βk0,ϕ10,…,ϕp0)' وجود دارد. همچنین فرض می کنیم که k0 (k0≤k) ضریب رگرسیونی غیرصفر و p0 (p0≤p) ضریب خودبازگشتی غیر صفر وجود دارند. برای راحتی کار S1 و S2 را به صورت زیر تعریف می کنیم :
S1=1≤j≤k : βj0≠0 و S2=1≤j≤p : ϕj0≠0بنابراین مجموعه های S1 و S2 به ترتیب شامل اندیس هایی از ضرایب معنیدار رگرسیونی و خودبازگشتی هستند، در حالیکه S1c و S2c به ترتیب دربرگیرنده اندیس هایی از ضرایب بیمعنی رگرسیونی و خودبازگشتی می باشند. βS1 نشان دهنده یک بردار k0×1 از ضرایب معنیدار رگرسیونی با βS1 برآوردگر لاسو مربوطه می باشد. همچنین βS1c ، βS1c ، βS1c* ، ϕS1 و ϕS1 و α10=βS10',ϕS20'' و α20=βS1c0',ϕS2c0'' را نیز تعریف میکنیم. αk و αk* برای k=1,2 برآوردگرهای لاسو(سنتی) و اصلاح شده مربوط به آنها می‌باشند. به منظور بررسی خواص نظری α و α* شرایط زیر را در نظر میگیریم :
الف : دنباله xt از دنباله εt مستقل باشد.
ب : تمام ریشه های چندجمله ای 1-j=1pϕj0zj، خارج از دایره واحد باشند.
ج : Eεt4<∞د : xt اکیدا ایستا و ارگودیک با گشتاور دوم متناهی باشد (یعنی Ext2<∞ ). علاوه بر این، ماتریس k×k زیر معین مثبت باشد:
A=E(xt-j=1pϕj0xt-j)(xt-j=1pϕj0xt-j)'2-6-1-خواص برآوردگر لاسو سنتیهمانند بخش 1-4-1در این بخش قصد داریم خواص برآوردگر لاسو سنتی را مورد مطالعه قرار دهیم .
قضیه 2-1 : فرض کنید که برای برخی از مقادیر λ0≥0 و γ0≥0 داشته باشیم: nλn→λ0 و nγn→γ0 . تحت شرایط الف-د ذکر شده در بخش 2-6 داریم :
n(α-α0) d argminκ(δ)
که در آن
kδ=-2δ'w+δ'Σδ'+λ0j=1kujsgnβj0Iβj0≠0+ujIβj0=0 +γ0j=1pνjsgnϕj0Iϕj0≠0+νjIϕj0=0و
ξk=Eetet+k,C=ξi-j,Σ=diagA,C,w~N0,σ2Σ,δ=u',ν''اثبات :
قرار دهید δ=(u,v) ، u=(u1,…,uk) و v=(v1,…,vp) . سپس تعریف کنید :
κnδ=Qnα0+n-12δ-Qnα0 =Lnθ0+n-12δ-Lnθ0 +nλnj=1kβj0+ujn-12-βj0 + nγnj=1pϕj0+vjn-12-ϕj0حال با توجه به نایت و فو (2000) داریم :
nλnj=1kβj0+ujn-12-βj0→λ0j=1kujsgnβj0Iβj0≠0+ujI(βj0=0)nγnj=1kϕj0+vjn-12-ϕj0→γ0j=1kvjsgnϕj0Iϕj0≠0+vjI(ϕj0=0)(2-22)
بهعلاوه :
Lnα0+n-12δ-Lnα0=tyt-xt'βo+n-12u-j=1p(ϕj0+n-12vj)yt-j-xt-j'(βo+n-12u)2-tεt2=tet-j=1pϕj0+n-12vjet-j-n-12u'xt-j=1p(ϕj0+n-12vj)xt-j2-tεt2=tεt-n-12j=1pvjet-j-n-12u'(xt-j=1pϕj0xt-j)+n-1u'j=1pvjxt-j2-tεt2= R1+R2+R3+R4+R5,جاییکه
R1=-2n-12t(εtj=1pvjet-j)-2n-12u'tεtxt-j=1pϕj0xt-jR2=2n-1u't{(j=1pvjet-j)(xt-j=1pϕj0xt-j)} ,R3=n-1t(j=1pvjet-j)2+n-1u't(xt-j=1pϕj0xt-j)(xt-j=1pϕj0xt-j)'u ,R4=2n-1t(u'j=1pvjxt-j)εt-n-12j=1pvjet-j-n-12u'(xt-j=1pϕj0xt-j) ,R5=n-2u't(j=1pvjxt-j)(j=1pvjxt-j)'u ,با استفاده از قضیه حد مرکزی مارتینگل و قضیه ارگودیک (پیوست)، میتوان نشان داد که :
R1d-2δ'w , R2=op1 , R3pδΣδ' ,R4=op1, R5=op1برای توضیحات بیشتر به وانگ و همکاران 2007 مراجعه نمایید.
در نتیجه :
(2-23) Lnα0+n-12δ-Lnα0d-2δ'w+δΣδ'بنابراین با توجه به (2-22) و (2-23) داریم:
κnδdκ(δ)حال باید نشان دهیم که
argminκn(δ)dargminκ(δ)برای نشان دادن رابطه فوق، باید ثابت کنیم که argminκn(δ)=Op(1) .
κnδ≥tεt-n-12j=1pvjet-j-n-12u'(xt-j=1pϕj0xt-j)+n-1u'j=1pvjxt-j2-εt2 -nλnj=1kujn-12-nγnj=1pvjn-12 ≥tεt-n-12j=1pvjet-j-n-12u'(xt-j=1pϕj0xt-j)2-εt2 -(λ0+ε0)j=1kuj-(γ0+ε0)j=1pvj+ξn(δ) ≔κnδ,وقتیکه ε0 مقدار ثابت مثبت باشد. علاوه بر اینκn0=κn0 و ξnδ=op(1). همچنین برای n به اندازه کافی بزرگ و هر δ، جملات درجه دوم در κnδ سریعتر از uj و vj رشد مییابند. بنابراین argminκnδ=Op(1) پس argminκnδ=Op(1)و از آنجاییکه argminκnδ با احتمال یک منحصر به فرد است(نایت و فو(2000))، اثبات قضیه تمام میشود.
قضیه2-1نشان میدهدکه برآوردگر لاسو سنتی دارای خواص مجانبی نایت– فو(بخش1-4-1) می باشد. در نتیجه پارامترهای تنظیم کننده در برآوردگر لاسو سنتی نمی توانند با سرعتی بیشتر از n-12 به صفر انقباض پیدا کنند، مگر اینکه هم λ0 و هم γ0 تباهیده در صفر ‌باشند و κδ به یک تابع درجه دوم استاندارد تبدیل شود یعنی :
κδ=κu,v=-2u',v'w+u',v'Σu',v''که این قادر به تولید جوابهای تنک نمی‌باشد. بنابراین قضیه 2-1 نتیجه میدهدکه برای بدست آوردن برآوردگر لاسو سنتی باید λ0>0 و γ0>0 باشد.
تذکر2-1 : فن و لی در سال 2001 نشان دادند که در یک مدل رگرسیون استاندارد با مشاهدات مستقل، برآوردگر لاسو سنتی دارای اریبی قابل توجهی می باشد. از این رو بررسی کردن این موضوع در مدل رگرسیونی با خطای خودبازگشتی و چک کردن این‌که آیا در این مدل نیز با مشکل اریبی مواجه هستیم یا نه، مورد علاقه قرار گرفت. به همین منظور حالت خاصی را که در آن βj0>0 برای 1≤j≤k و ϕj0=0 برای 1≤j≤p را در نظر می‌گیریم. اگر مینیمم کننده κδ به درستی قادر به تشخیص مدل واقعی باشد، آنگاه u≠0 ولی ν=0 . علاوه براین κδ در معادله زیر صدق می کند :
∂κ(u,0)∂u=-2w1+2u'A+λ01=0بهطوریکه w1 شامل k مولفه اول w و 1 برداریk×1 با مولفههای 1 می‌باشد. در نتیجه :
n(β-β0) d u= B-1(w1-0.5λ01)~N(-0.5λ0A-11,σ2A-1)از آنجاییکه λ0>0، قضیه 2-1 نشان میدهد که برآوردگر لاسو سنتی مجانبا اریب می‌باشد. بنابراین کارایی این برآوردگر به اندازه کارایی برآوردگر پیشگو که دارای توزیع N(0,σ2A-1) است، نمیباشد.
2-6-2-خواص برآوردگر لاسو اصلاح شده
در این بخش به بررسی خواص برآوردگر لاسو اصلاح شده می پردازیم. به منظور تسهیل در مطالعه ویژگیهای این برآوردگر، نمادهای زیر را معرفی می کنیم:
an=max⁡(λj1*,γj2*,j1∈S1,j2∈S2)bn=min⁡(λj1*,γj2*,j1∈S1c,j2∈S2c)وقتیکه λ1* و γ2* توابعی از n می‌باشند. در ابتدا سازگاری برآوردگر لاسو اصلاح شده را بررسی می‌کنیم .
لم2-1 :فرض کنید که برای n→∞ داشته باشیمan=o(1)، آنگاه تحت شرایط الف-د بخش 2-6، یک مینیمم کننده موضعی α* از Qn*(α) به صورت زیر وجود دارد:
α*-α0=Op(n-12+an)اثبات :
فرض کنید که ψn=n-12+an و α0+ψnδ;δ≤d گویی در اطراف α0 باشد. بنابراین برای δ=d داریم :
Dnδ≔Qn*α0+ψnδ-Qn*(α0) ≥Lnα0+ψnδ-Lnα0+nj∈S1λj*βj0+ψnuj-βj0 + nj∈S2ψj*ϕj0+ψnvj-ϕj0 ≥Lnα0+ψnδ-Lnα0-nψnj∈S1λj*uj-nψnj∈S2ψj*vj ≥Lnα0+ψnδ-Lnα0-nψn2k0d-nψn2p0d(2-27) =Lnα0+ψnδ-Lnα0-nψn2k0+p0 حال، همانند اثبات قضیه (2-1) داریم:
Lnα0+ψnδ-Lnα0=tεt-ψnj=1pvjet-j-ψnu'(xt-j=1pϕj0xt-j)+ψn2u'j=1pvjxt-j2-tεt2=A1+A2+A3+A4+A5,(2-28)
جاییکه
A1=ψn2t(j=1pvjet-j)2+u'(xt-j=1pϕj0xt-j)(xt-j=1pϕj0xt-j)'uA2=-2ψntεtj=1pvjet-j+u'(xt-j=1pϕj0xt-j)A3=2ψn2t(j=1pvjet-j)u'(xt-j=1pϕj0xt-j)A4=ψn3t(u'j=1pvjxt-j)ψnu'j=1pvjxt-j-2u'(xt-j=1pϕj0xt-j)-2j=1pvjet-jA5=2ψn2tεt(u'j=1pvjxt-j)علاوه بر این، داریم :
A1=nψn2δ'Σδ+op(1)A2=δ'Op(nψn2)A3=nψn2op1=op(nψn2)A4=nψn3Op1=nψn2op1=op(nψn2)A5=nψn2op1=op(nψn2)برای توضیحات بیشتر به وانگ و همکاران 2007 مراجعه نمایید.
چونA1 از بقیه چهار عبارت دیگر رابطه (2-28) و همچنین nψn2k0+p0d در رابطه (2-27 ) بزرگتر میباشد. از اینرو برای هر ε>0 یک مقدار ثابت بزرگ مثل d وجود دارد بطوریکه :
Pinfδ=dQn*(α0+ψnδ>Qn*(α0)≥1-εاین نشان میدهد که با احتمالی حداقل 1-ε، در گوی α0+ψnδ;δ≤d مینیمم کننده موضعی وجود دارد (فن و لی 2001). در نتیجه یک مینیمم کننده موضعی Qn*(α) وجود دارد بهطوریکه α*-α0=Op(ψn) وجود دارد. و اثبات کامل میشود.
لم2-1 نتیجه میدهدکه اگر پارامترهای تنظیم کننده مرتبط با متغیرهای رگرسیونی و خودبازگشتی معنیدار با سرعتی بیشتر از n-12 به صفر میل‌کنند، آنگاه یک مینیمم کننده موضعی از Qn*(α) که دارای سازگاری با نرخ n میباشد، وجود دارد.
در قضیه بعد نشان داده میشود که اگر پارامترهای تنظیم کننده مرتبط با متغیرهای رگرسیونی و خودبازگشتی بی معنی کندتر از n-12 به سمت صفر انقباض پیدا کنند، آنگاه ضرایب رگرسیونی و خودبازگشتی آنها با احتمال متمایل به یک، دقیقا صفر برآورد می‌شوند.
قضیه 2-2 : فرض کنید که nbn→∞ و α*-α0=Op(n-12) ، آنگاه :
P(βS1c*=0)→1 و P(ϕS2c*=0)→1اثبات :
اثبات این قضیه با توجه به این نکته بدست میآید که، مینیمم کننده موضعی α* باید در معادله زیر صدق کند:
0=∂Qn*(α*)∂βj=∂Ln(α*)∂βj-nλj*sgn(βj*) =∂Ln(α0)∂βj+nΣjα*-α01+op1-nλj*sgn(βj*) (2-29)
وقتیکهΣj، نشان دهنده j امین سطر از Σ و j∈S1cمیباشد. با استفاده از قضیه حد مرکزی، اولین جمله معادله (2-29)، از مرتبه Op(n12) میباشد. بهعلاوه شرط موجود در قضیه 2-2 نتیجه میدهد که دومین جمله از مرتبهOp(n12) میباشد. چونnbn→∞ ، هردو جمله توسط nλj* غالب شدهاند. بنابراین علامت معادله (2-29) توسط علامت βj* مشخص شده است و در نتیجه داریم P(βS1c*=0)→1. به طور مشابه میتوان نشان داد که P(ϕS1c*=0)→1. در نتیجه اثبات قضیه کامل میشود.
قضیه 2-2 نشان می‌دهد که لاسو اصلاح شده می‌تواند یک جواب تنک برای ضرایب بی معنی رگرسیونی و خودبازگشتی، تولید کند. بعلاوه این قضیه، بههمراه لم 2-1 نشان میدهد که برآوردگرα*آ
با نرخ سازگاری n، زمانی‌که پارامترهای تنظیم کننده در شرایط مناسبی صدق کنند، در رابطه P(α2*=0)→1 صدق میکند.
درپایان این بخش، توزیع مجانبی برآوردگر لاسو اصلاح شده را بدست می آوریم:
قضیه2-3 :فرض کنید که nan→0 و nbn→∞. آنگاه تحت شرایط الف-د بخش2-6، مولفه α1* از مینیمم کننده موضعی α* که از لم (2-1) بدست میآید، در رابطه زیر صدق می کند:
n(α1*-α10) d N(0,σ2Σ0-1)وقتیکهΣ0 زیرماتریس از ماتریس Σ مطابق با α10 می‌باشد.
اثبات :

ریسرچ - پایان نامه های ارشد

عنوان صفحه
TOC h z c "جدول (3-" جدول 3- 1 پارامترهای برازش شده برای سه مدل دمای ثابت، جابجایی گاز فرمی و مدل جابجایی گاز فرمی وابسته به انرژی برای تعدادی هسته PAGEREF _Toc365932758 h 44 TOC h z c "جدول(4-" جدول 4- 1 چگالی تراز تک ذرهای پروتونی و نوترونی در انرژی فرمی برای هستههای مختلف مربوط به پتانسیل وودز-ساکسون بدون در نظر گرفتن پتانسیل کولنی و با اعمال آن..................................................................................................................... PAGEREF _Toc365933144 h 56جدول 4- 2 چگالی تراز تک ذرهای پروتونی و نوترونی در انرژی فرمی برای هستههای مختلف مربوط به پتانسیل نوسانگر هماهنگ بدون در نظر گرفتن پتانسیل کولنی و با اعمال آن PAGEREF _Toc365933145 h 62جدول 4- 3 پارامتر چگالی تراز a با اعمال پتانسیل وودز-ساکسون برای تعدادی از هستههای سبک، نیمه سنگین و سنگین، با در نظر گرفتن پتانسیل کولنی و بدون پتانسیل کولنی PAGEREF _Toc365933146 h 66جدول 4- 4 پارامتر چگالی تراز a با اعمال پتانسیل نوسانگر هماهنگ برای تعدادی از هستههای سبک، نیمه سنگین و سنگین، با در نظر گرفتن پتانسیل کولنی و بدون پتانسیل کولنی PAGEREF _Toc365933147 h 67جدول 4- 5 پارامتر چگالی قطع اسپین با اعمال پتانسیل وودز-ساکسون برای تعدادی از هستههای سبک، نیمه سنگین و سنگین، با در نظر گرفتن پتانسیل کولنی و بدون پتانسیل کولنی PAGEREF _Toc365933148 h 67جدول 4- 6 پارامتر چگالی قطع اسپین با اعمال پتانسیل نوسانگر هماهنگ برای تعدادی از هستههای سبک، نیمه سنگین و سنگین، با در نظر گرفتن پتانسیل کولنی و بدون پتانسیل کولنی PAGEREF _Toc365933149 h 71جدول 4- 7 مقادیر برازش شده برای جابجایی انرژی برانگیختگی و ثابت η. PAGEREF _Toc365933150 h 71
فصل اول
مقدمه
مقدمهچگالی تراز تک ذرهای، g یکی از عناصر مهم در بررسی ساختار هسته میباشد، زیرا در تعیین چگالی تراز هسته، ρ نقش مهمی دارد. در بررسی چگالی تراز تک ذرهای از روشهای مختلفی استفاده شدهاست که از آن جمله به روشهای مکانیک کوانتومی از قبیل روش تابع گرین، روش اسموث و روش جابجایی فاز میتوان اشاره کرد، که در این روشها بازه انرژی به دو ناحیه تقسیم میشود، ناحیه انرژی پیوسته و نواحی انرژی مقید که بیشتر تمرکز روی نواحی پیوسته است.
یکی دیگر از روشها در بررسی چگالی تراز تکذرهای روش نیمه کلاسیکی میباشد که در این روش از میدان متوسط برای محاسبات استفاده شده است، که میدان متوسط نوترون شامل جملات پتانسیل هستهای و برهمکنش اسپین مدار و برای پروتون علاوه بر این جملات، پتانسیل کولنی را نیز دربرمیگیرد. تاکنون برای محاسبه چگالی تراز تک ذرهای با استفاده از روش نیمه کلاسیکی پتانسیلهای مختلفی برای هستههای کروی و تغییر شکل یافته پیشنهاد شده است که از جمله آنها به پتانسیل چاه مربعی متناهی و نامتناهی، پتانسیل نوسانگر هماهنگ و پتانسیل وودز-ساکسون میتوان اشاره کرد. در روش محاسبه مستقیم پارامتر چگالی تراز با استفاده از این روش، انتخاب پتانسیل میدان میانگین برای بدست آوردن چگالی تراز تک ذرهایg و مقدار آن در انرژی فرمی نقش تعیین کنندهای دارد[1].
انرژی فرمی بصورت انرژی بالاترین حالت تک ذرهای پرشده در حالت پایه هسته تعریف میشود. مقدار انرژی فرمی برای پروتون و نوترون متفاوت است[2].در هستههای سنگین به دلیل نزدیک شدن ترازها به همدیگر و همپوشانیهای آنها تمایز بین ترازها سخت میباشد و با افزایش انرژی، ترازها بیشتر بهم نزدیک میشوند. به همین دلیل چگالی تراز برای هستههای سنگین دارای اهمیت قابل توجهی است. چگالی تراز یکی از پارامترهای مهم ساختار هسته به حساب میآید که با استفاده از آن سایر پارامترهای ترمودینامیکی هسته از قبیل دما، آنتروپی، فشار و ظرفیت گرمایی را میتوان بدست آورد[3,4].بطورکلی برای محاسبه چگالی تراز از دو روش مستقیم وغیر مستقیم استفاده میشود. در روش غیرمستقیم با محاسبه آنتروپی و تابع پارش هسته و با استفاده از رابطه بین آنتروپی و چگالی تراز هستهای، چگالی تراز محاسبه میشود. به عنوان مثال به مدلهای آماری BCS ، SMMC و SPA+RPA میتوان اشاره کرد[5-7].
در محاسبه چگالی تراز بطور مستقیم از روشهای آماری که به صورت تئوری ارائه میشوند استفاده میشود. به عنوان مثال به مدلهای آماری CTM ، FGM ، BSFGM و GSM می توان اشاره کرد. در این مدلها پارامتر چگالی تراز بطور تئوری و نیمه تجربی محاسبه میشود. در بسیاری از مطالعات مربوط به محاسبه برهمکنشهای هستهای، فرمولهای تحلیلی مربوط به چگالی تراز ترجیح داده میشوند[3,8-10].
در این مدلها پارامترهای چگالی تراز بطور تئوری و نیمه تجربی محاسبه میشوند. در بسیاری از مطالعات مربوط به محاسبه برهمکنشهای هستهای، فرمولهای تحلیلی مربوط به چگالی تراز ارجعیت دارند.
در مدل دمای ثابت،CTM بازه انرژی به دو بخش تقسیم میشود که در بخش انرژیهای پایین از ثابت بودن دما میتوان استفاده کرد و در انرژیهای بالا مدل گاز فرمی مورد استفاده قرار میگیرد. مسئله اصلی در این مدل ایجاد ارتباط بین نواحی کم انرژی و نواحی انرژی بالاست. این مدل پدیدهشناختی براساس فرمول بت که در آن برهمکنشهای هستهای لحاظ نمیشود، بنا شده است[11].
سادهترین بیان تحلیلی برای بررسی چگالی تراز مدل گاز فرمی است که در آن هستهها بدون برهمکنش در نظر گرفته شده واز اثرات تجمعی صرفنظر میشود. مدل BSFGMبا اعمال برخی اصلاحات در مدل گاز فرمی و با درنظرگرفتن جفت شدگیهای نوکلئونی در بر همکنشهای هستهای، ارائه شده است، این مدل در همهی انرژیها برای بررسی چگالی تراز مورد استفاده قرار میگیرد.
در مدل BSFGM چگالی تراز هستهای دارای دو پارامتر چگالی تراز تک ذرهای و انرژی جابجایی برانگیختگی است. معمولا این پارامترها به عنوان پارامترهای قابل تنظیم از طریق برازش دادههای تجربی تعیین میشوند. اگرچه برای محاسبه پارامتر چگالی تراز، به جز برازش از مدلهای مختلف هستهای مثل مدل قطره مایع، مدل لایهای و رابطه نیمه تجربی نیز میتوان استفاده کرد و این پارامتر را بطور مستقیم محاسبه نمود.
مدلهای هستهایمدلهای هستهای تقریبها و فرضهایی هستند که برای شناخت ساختار هسته و نیروی هستهای و بر اساس شواهد تجربی معرفی میشوند و به دو دسته تقسیم میشود مدلهای نیمه کلاسیکی (Semi-classical models) یا مدلهای ذرهای مانند مدل قطره مایع (Liquid drop model) و مدلهای کوانتومی (quantum mechanics models) مثل مدل لایهای (Shell model).
1-2مدل قطره مایعبا توجه به اینکه در هسته هر نوکلئون با نوکلئونهای مجاور خود برهمکنش میکند و به هر نوکلئون از اطراف توسط نوکلئونهای مجاور نیرو وارد میشود، در نتیجه نوکلئونهای داخل هسته را می توان در حال حرکت فرض کرد. در ضمن نیروی هستهای ضمن اینکه جاذبه است، دارای یک جمله دافعه نیز میباشد که نوکلئونها را در یک فاصله معینی از همدیگر نگه می دارد. با توجه به اینکه وضعیت نوکلئونها در هسته مانند وضعیت مولکولها در مایع میباشد ماده هستهای را میتوان سیال هستهای نامید. هر نوکلئونی که در نزدیکی لایهی هستهای قرار دارد نیروی خالصی به سمت داخل احساس میکند به طوری که موجب میشود سطح خارجی خود را به کمترین مقدار سازگار با حجم خود تغییر دهد. شکل هندسی که این سازگاری را دارد کروی است. بنابراین شکل هسته را بصورت کروی میتوان فرض کرد. با توجه به این توضیحات میتوان هسته را مانند یک قطره مایع در نظر گرفت.
انواع مدلهای تجمعی هستهای (Collective model) همانند مدل دورانی (Rotational model) و مدل ارتعاشی (Vibrational model) در محاسبات از مدل قطره مایعی استفاده میکنند. با توجه به این اصل که دوران و ارتعاش هسته بطور کامل مشابه دوران و ارتعاش یک قطره مایع معلق میباشد.
1-3 مدل لایهایمدل لایهای یکی از مدلهای هستهای به حساب میآید که با در نظر گرفتن پتانسیل میدان متوسط و پتانسیل ناشی از برهمکنش نوکلئونها، ترازهای نوترون و پروتون هسته را با دقت بالایی نتیجه میدهد. فرض اساسی در مدل لایهای این است که علیرغم جاذبه شدید بین نوکلئونها که انرژی بستگی کل هسته را ایجاد میکند حرکت هر نوکلئون در واقع مستقل از نوکلئونهای دیگر است، اگر تمام جفت شدگیهای بین نوکلئونی یا تمام برهمکنشهای زوجیت نادیده گرفته شوند، مدل لایهای را مدل لایهای تک ذرهای میگویند. بنابراین در مدل لایهای تک ذرهای هر نوکلئون در پتانسیل متوسط یکسان با سایر نوکلئونها حرکت میکند. بنابراین انتخاب یک پتانسیل هستهای مناسب مهم است. پتانسیل هستهای مناسبی که بتوان نوکلئونها را تحت آن پتانسیل در ترازهای انرژی قرار داد بایستی بتوانند نظام هسته را توجیه کند و با آزمایش و تئوری هماهنگ باشد. پتانسیلهای هستهای معرفی شده عبارتند از پتانسیل کروی، پتانسیل چاه مربعی متناهی و نامتناهی، پتانسیل نوسانگر هماهنگ و پتانسیل وودز-ساکسون.
با اعمال پتانسیل چاه مربعی و نوسانگر هماهنگ ترازها به صورت تبهگن بدست میآیند. پتانسیل شعاعی وودز-ساکسون به همراه پتانسیل ناشی از برهمکنش اسپین مدار ترازهای هستهای و اعداد جادویی را که نشان دهنده لایههای بسته هستهای هستند به درستی نتیجه میدهد[13].
با حل معادله شرودینگر برای پتانسیلهای میدان میانگین، بدون در نظر گرفتن جفتشدگی نوکلئونها، ترازهای انرژی و معادله موج نوکلئونی بدست میآید. ترازهای انرژی تک-نوکلئونی نوترونی و پروتونی بعنوان یک پارامتر اساسی در تعیین پارامترهای ترمودینامیکی هسته از قبیل دما، آنتروپی، فشار و ظرفیت گرمایی نقش ایفا میکنند. چگالی تراز هستهای بصورت تعداد ترازهای هسته در واحد انرژی برانگیختگی مؤثر تعریف میشود.
در فصل دوم این پژوهش، به بررسی چگالی تراز تک ذرهای و روشهای مختلفی که در بررسی چگالی تراز تک ذرهای دارای اهمیت اند پرداخته ایم. در فصل سوم چگالی تراز هستهای و مدلهایی که در آنها پارامترهای چگالی تراز بطور تئوری و نیمه تجربی محاسبه میشوند معرفی شدهاند و همچنین شیوههای برازش و اثرات تجمعی نیز ارائه شدهاند. در نهایت در فصل چهارم پارامتر چگالی تراز در مدل BSFGM بصورت تابعی از چگالی تراز تک ذرهای با استفاده از مدل نیمه کلاسیکی برای پتانسیلهای نوسانگر هماهنگ، چاه پتانسیل مربعی و پتانسیل وودز-ساکسون برای تعدادی از هستههای سبک، متوسط و سنگین محاسبه شده اند و نتایج بدست آمده با نتایج سایر روشها مقایسه شده است.
فصل دومچگالی تراز تک ذرهای
چگالی تراز تک ذرهاییکی از اجزا مهم در بررسی ساختار هسته و برهمکنشهای هستهای چگالی تراز تک ذرهای، g میباشد که به میدان متوسط هستهها وابسته شده است. از چگالی تراز تک ذرهای در محاسبه چگالی تراز هستهای ρ که برای توصیف برهمکنشهای هستهای و خصوصیات ترمودینامیکی آن مورد نیاز است، استفاده میشود. در روش محاسبه پارامتر چگالی تراز با استفاده از مدل لایهای، g چگالی تراز تک ذرهای، نقش تعیین کنندهای دارد. بطور خاص چگالی تراز تک ذرهای که با روش تصحیح لایهای تعریف شده است، یکی از عناصر اصلی در محاسبه انرژیهای حالت پایه و تغییر شکل هستههای سرد میباشد.
برای بررسی کمیتهای بالا دانستن چگالی تراز تک ذرهای در بازه بزرگی از انرژی E که شامل نواحی پیوسته و مقید است، مورد نیاز است. برای توصیف خواص هسته، محاسبه چگالی تراز در نواحی پیوسته بسیار اهمیت دارد و بطور خاص برای هستههای برانگیخته این اهمیت بیشتر هم میشود.
در مرجع [13] چگالی تراز تک ذرهای جزیی glE و چگالی تراز تک ذرهای کل gE معرفی شدهاند که چگالی تراز تک ذرهای کل بصورت جمع روی glE چگالی تراز تک ذرهای در نواحی lmax≤40 میباشد، که این بازه به چاههای پتانسیل متناهی مربوط میشود. در محاسبه چگالی تراز تک ذرهای از روشهای مختلفی استفاده شده است که از آن جمله روش جابجایی فاز، روش اسموث، روش تابع گرین و روش نیمه کلاسیکی را میتوان نام برد که در ادامه به تفصیل معرفی میشوند.
با در نظر گرفتن یک ذره مانند نوکلئون که در یک پتانسیل کروی تک ذرهای (میدان متوسط) درحال حرکت است هامیلتونی، H چنین ذرهای به شکل زیر تعریف می شود
(2-1) H=P22m+Vrچگالی تراز تک ذرهای متناظر با آن با رابطه زیر معرفی می شود
(2-2) gE=TrδE-Hکه در آن Vr پتانسیل میدان متوسط هستهای و m جرم نوکلئون میباشد. برای یک چاه پتانسیل نامتناهی، مقادیرویژه انرژی حالت مقید Hو چگالی تراز تک ذرهای gE بصورت زیر معرفی می شود
(2-3) gE=iδE-Eiکه در آن Eiها ویژه توابع انرژی میباشند که با استفاده از رابطه زیر حاصل میشوند
(2-4) Hψi=Eiψi.
در بررسی چگالی تراز تک ذرهای طیف مربوط به تک ذره به دو ناحیه تقسیم میشود، حالتهای مقید در E≤0 و حالتهای پیوسته E>0 که مقید نیستند و بیشتر تمرکز روی نواحی پیوسته است. اگر سیستمی را بصورت یک ذره در جعبه کروی نامتناهی با شعاع R بزرگتر از بازهی Vr در نظر بگیریم که رابطه (2-1) توصیف کننده آن است، بایستی پیوستگی را از آن مجزا کنیم. چگالی تراز تک ذرهای که با استفاده از معادلات (2-3) و (2-4) تعریف شده است به R وابسته است و برای E>0 چگالی تراز تکذرهای با افزایش R افزایش مییابد. این رابطه به سهم به اصطلاح چگالی تراز تک ذرهای گاز آزاد gFE در چگالی تراز تک ذرهای gE بستگی دارد که با استفاده از هامیلتونی ذره آزاد H0 محاسبه میشود، این هامیلتونی با رابطه زیر تعریف میشود
(2-5) H0=P22m.
در نتیجه چگالی تراز تک ذرهای که به چاه پتانسیل متناهی Vr وابسته است بصورت زیر معرفی میشود
(2-6) gE=limR→∞gvE-gfEکه در آن gv با استفاده از هامیلتونی H و gf با استفاده از هامیلتونی H0 محاسبه می شوند. با درنظرگرفتن اندازه حرکت زاویهای، چگالی تراز تک ذرهای بصورت رابطه زیر تعریف میشود
(2-7) gE=limR→∞l=0lmaxglEکه در آن glE شامل 22l+1 فاکتور است که تبهگنی را نشان میدهد و به اسپین و پتانسیل کروی مربوط میشود[14].
2-1 روش جابجایی فازروش جابجایی فاز یکی از روشهایی است که در بررسی چگالی تراز تک ذرهای بسیار مورد استفاده قرار میگیرد. در این روش چگالی تراز تک ذرهای glE به صورت حاصل جمع دو بخش تعریف میشود
(2-8) glE=gBlE+gClEکه در آن gBlE سهم مربوط به حالتهای مقید میباشد که از هامیلتونی H با ویژه انرژیهای Enl حاصل میشود. و با رابطه زیر تعریف میشود
(2-9) gBlE=Enl≤022l+1δE-Enl.
برای توصیف سهم مربوط به حالتهای پیوسته gClE، سیستمی بصورت یک جعبه کروی بزرگ با شعاعR در نظر گرفته میشود که در آن جوابهای منظم ψl هامیلتونی H برای E>0 در حالتهای مقید ψl0=0 میباشد و برای دیگر حالات رابطه زیر معرفی شده است
(2-10) ψlrr→∞→const1rsinkr-12lπ+δlEکه در آن k=2mEħ2 عدد موج است و δlE جابجایی فاز میباشد. در این رابطه Vr یک پتانسیل در بازهی محدود فرض شده است که در بینهایت سریعتر از 1r میرا میشود. ویژه حالتهای با E>0 با استفاده از حالتهایی که درآن ψlR=0 است، بدست آمدهاند که به رابطه زیر منجر میشود
(2-11) kR-12lπ+δlE=sπدر رابطه (2-11) s عدد صحیح است. در نتیجه چگالی تراز کل از رابطه زیر بدست میآیند
(2-12) gCltotE=22l+1dsdE=1π22l+1dδlEdE+22l+1πRdkdEجمله دوم در معادله بالا که با R متناسب است مربوط به سهم گاز آزاد ناشی از هامیلتونی H0 است که با استفاده از یک جمله کروی با شعاع Rبدست آمده است. با کم کردن بخش مربوط به گاز آزاد رابطه زیر برای چگالی تراز تک ذرهای بدست می آید
(2-13) gClE=1π22l+1dδldE.
با توجه به اینکه چگالی تراز تک ذرهای که با معادلات (2-4)،(2-5)و(2-9) معرفی میشود مستقل از Rاست و ψlR ارائه شده برای rهای بزرگتر از بازه پتانسیل معرفی شده است، بنابراین جابجایی فاز به درستی تعریف شده است.
همانطور که مشاهده میشود رابطه (2-9) با تغییراتی در سهم مربوط به حالتهای مقید رابطه (2-5) درمورد حالتهایی با عمر طولانی با ГR→0 حاصل شده است که در آن ГRپهنای تشدید برای حالتهای متناظر با انرژی ER است.
برای جابجایی فاز δE در نواحی نزدیک انرژی ER رابطه زیر را داریم
(2-14) δE≈δ0+arctanГR2ER-Eکه در آن δ0 یک مقدار ثابت است و در ГR→0 ازرابطه زیر بدست می آید
(2-15) .dδdE=ГR2ER-E2+ГR22≈πδE-ERیک رابطه بسیار کاربردی بین جابجایی فاز در انرژی صفر δl0و تعداد حالات مقید NL بصورت
(2-16) δl0-δl∞=Nlπمی باشد که درآن Nl تعداد حالتهای مقید برای معادله شرودینگر کاهش یافته شعاعی به ازای رابطه ulr=rψlr میباشد[15]
(2-17) d2uldr2-ll+1r2+2mħ2Vr-k2ul=02-2 روش تابع گریندر بررسی چگالی تراز تک ذرهای روش تابع گرین نیز یکی از روشهای پرکاربرد میباشد. در این روش برای بررسی glE سیستمی بصورت یک جعبه کروی بزرگ با شعاع R بطوریکه در آن پیوستگی مجزا شده است، در نظر گرفته میشود. بنابراین تابع گرین تکذرهای که به هامیلتونی Hوابسته است توسط رابطه زیر معرفی میشود
(2-18) H-EGr,r,E=δr-rکه تابع گرین با نمایشی بصورت زیر معرفی میگردد
(2-19) Gr,r,E=nφn*rφnrEn-Eدر این رابطه φnها حالتهای تک ذرهای مقید متناظر با ویژه انرژیهای En میباشند. همچنین تعریف مشابهی برای G0r,r,Eبصورت وابسته به هامیلتونی H0 ارائه میشود. با در نظر گرفتن بخش موهومی Gr,r,Eو G0r,r,E و جداکردن اجزا زاویهای آنها، چگالی تراز تک ذرهای باتوجه به معادله (2-4) از رابطه زیر بدست میآید
(2-20) glE=limα→0,R→∞22+11π0RdrImGlr,r,E+iα-ImG0lr,r,E+iαr=rتوابع گرین Glr,r,Eو G0lr,r,E معرفی شده در معادله بالا بصورت زیر تعریف میشوند
(2-21) Glr,r,E=-2mћ2ulr<vlr>Wدر این رابطه r<و r> به ترتیب دارای مقادیر کوچکتر و بزرگتر از r و rمیباشند. توابع ul و vl به ترتیب جوابهای منظم و نامنظم برای معادله شعاعی (2-17) میباشند که به هامیلتونی H وابستهاند و W مساوی 4πR است.
تابع گرین تک ذرهای برای ذرات آزاد بدون اسپین در حالت خاص پتانسیل Vr=0 بصورت رابطه زیر بدست میآید
(2-22) G0r,r,E=-2mħ2expikR4πRکه در آن R=r-r است.

متن کامل در سایت امید فایل 

در نتیجه با توجه به معادلات (2-22) و (2-24) چگالی تراز تک ذرهای برای ذره آزاد بصورت زیر تعریف میشود[16]
(2-23) g0E=14π22mћ232E.
2-3 روش هموارنتایج حاصل از تصحیح لایهای روش استروتینسکای، در مدل لایهای که به اصطلاح روش میکروسکوپیک-ماکروسکوپیک نامیده میشود، موجب شد که اصلاحاتی را در پیشبینی جرم هستهها و محاسبات مربوط به هسته های شکافت پذیر بتوان اعمال کرد. این مدل شامل ترکیبی از مدلهای قطره مایع و تصحیح لایهای است، در مدل قطره مایع انرژی E به آرامی با تعداد نوکلئونها N و Z تغییر میکند در صورتیکه در تصحیح لایهای این تغییرات به تندی صورت میگیرد.
در این روش gME به صورت یک تقریب چند جملهای از درجه M برای چگالی تراز واقعی درنظر گرفته شده است.
این تقریب در حوالی نقطه λ (که تراز فرمی واقعی را بیان میکند) در یک بازهی موثر –γ+λ , γ+λ با استفاده از تابع گوسی e-E-λ2γ2 بکار گرفته میشود. به همین دلیل چند جملهای ذکر شده علاوه بر M به λ و γ نیز مرتبط است. بهترین تقریب برای این مدل چند جملهایهای خطی هرمیت میباشند که به صورت Hk در محاسبات وارد میشود.
در نتیجه برای چگالی تراز تک ذرهای متوسط در این روش رابطه زیر تعریف میشود
(2-24) gM,γE,λ=k=0MckHkE-λγبنابراین بایستی gM,γE,λ بر حسب چند جمله ای طوری معرفی شود که انتگرال زیر را کمینه سازد
(2-25) Iλ,M,γ=-∞∞g0E-gM,γE,λ2exp-E-λγ2dEدر مرجع [20] این کمینه سازی از طریق برازش مجذور مربعی انجام شده است. این روش را که در فصل بعدی به تفصیل توصیف خواهیم نمود، براساس کمینه سازی روابط بالا نسبت به ck با استفاده از خاصیت اورتوگنالیتی چند جملهایهای هرمیت انجام میگیرد.
(2-26) gM,γE,λ=m=0McmHmE-λγcmλ,γ=1m!2mπn=0∞Hmun1γexp-un2 un=En-λγ در معادله (2-26) λ به صورت ثابت فرض میشود و چند جملهای gM,γE,λ تنها در نواحی E~λ مقدار چگالی تراز واقعی را ارضاء میکند. بنابراین برای رفع این مشکل لازم است λ به صورت یک متغیر درنظر گرفته شود.
از آنجا که ثابت cm در معادله (2-26) به λ وابسته است و کمییت gM,γE,λ تنها یک چند جملهای از λ نیست، واضح است که چگالی تراز در روش استروتینسکای یک چند جملهای واقعی نیست. در نتیجه با اعمال اصلاحات و جایگزینی λ با E روابط زیر برای این روش بدست میآید
(2-27) gM,γλ=n=0∞FMUn, un=En-λγ,FMx=PMx1γexp-x2, PMx=m=0MAmHmx, Am=Hm0m!2mπکه در آن چند جملهای PM ترم تصحیح انحنا میباشد و برای چگالی تراز تک ذرهای در روش هموار رابطه زیر معرفی شده است
(2-28) gM,γE,λ=-∞∞g0EFME-λγdEواضح است که وقتی M به بینهایت افزایش یابد و یا γ به سمت صفر میل کند، gM,γE,λ نیز به سمت g0E میرود. این روش اگر چه خیلی مناسب است ولی ضعفهایی هم دارد از جمله اینکه به نتایج حاصل از دو پارامتر γ پهنا و M مرتبه وابسته است و با پیوستگی در پتانسیلهای واقعی مشکل دارد[17].
2-4 روش نیمه کلاسیکی
یک سیستم N فرمیونی بدون برهمکنش در نظر بگیرید که در دمای صفر قرار دارد بطوریکه فرمیونها در یک پتانسیل تک جسمی معین درحال حرکت باشند. برای توصیف بخش هموار انرژی از تابع پارش به صورت زیر استفاده میشود
(2-29) Zβ=Trexp-βHسادهترین راه برای اعمال اثرات لایهای جایگزین کردن تابع پارش کلاسیکی به جای تابع پارش معرفی شده دررابطه (2-29) میباشد که در آن H هامیلتونی موجود در رابطه نیز با هامیلتونی کلاسیکی جایگزین میگردد. این جابجایی به رابطه نیمه کلاسیکی منجر میشود که به رابطه توماس- فرمی نیز معروف است.
در روش نیمه کلاسیکی از یک روش بسطی برای تابع پارش باتوجه به نمای ℏ ثابت پلانک استفاده میشود که درآن جمله اول بسط به تابع پارش کلاسیکی مربوط میشود، جزئیات این روش را در مراجع [18,22] میتوان یافت. در این روش تا نمای چهارم ℏ در بسط استفاده میشود. در نهایت با استفاده از بسط نیمه کلاسیکی برای تابع پارش رابطه زیر بدست میآید
(2-30) Z4β=β-324π322mħ232dr exp-βV1-β2ħ224m∇2V+β31440ħ22m2-7∇4V+5β∇2V2+β∇2∇V2 .
چگالی تراز تک ذرهای نیمه کلاسیکی بطور مستقیم از تابع پارش نیمه کلاسیکی با استفاده از لاپلاس معکوس محاسبه میشود
(2-31) g=ГE-1Z4βدر نهایت رابطه زیر برای چگالی تراز تک ذرهای در روش نیمه کلاسیکی حاصل می شود[18](2-32) gE=12π22mћ232drE-VrθE-Vrکه در آن θE تابع پلهای میباشد. برای توجیه خواص هستهای از طریق مدل لایهای ابتدا باید یک پتانسیل هستهای تعریف کنیم که با این مدل مطابقت داشته باشد و بتواند ترازهای انرژی و لایهها را بطور دقیق مشخص کند. یکی از پتانسیلهای هستهای ابتدایی و متناسب با مدل لایهای پتانسیل چاه مربعی متناهی است که بصورت زیر تعریف میشود[23]
(2-33) VSQr=-V0 r<R0 r>R.
از آنجا که با صرف انرژی متناهی یک نوکلئون را از هسته میتوان خارج کرد، بنابراین پتانسیل چاه مربعی باید دارای عمق متناهی باشد که در رابطه بالا V0نشاندهنده عمق چاه میباشد که در مراجع مختلف روابط مختلفی برای آن ارائه شده است و رابطهای که در این مطالعه از آن استفاده شده بصورت زیر تعریف میشود
(2-34) V0=47±33N-ZAکه درآن علامت مثبت مربوط به پروتون و علامت منفی مربوط به نوترون است.
با جایگذاری پتانسیل رابطه (2-33) و (2-34) در رابطه (2-32) چگالی تراز تک ذرهای مربوط به چاه مربعی متناهی بصورت زیر بدست میآید
(2-35) gE=12π22mħ2324πR033E-V0θE-V0در شکل (2-1) برای هسته 56Fe چگالی تراز تک ذرهای مربوط به روش نیمه کلاسیکی (روش توماس فرمی) برای چاه پتانسیل متناهی در بازه انرژی رسم شده است

شکل (2- SEQ شکل_2- * ARABIC 1) نمودار چگالی تراز تک ذرهای نوترونی با استفاده از روش نیمه کلاسیکی برای چاه پتانسل مربعی برحسب انرژی [16]همانطور که از شکل (2-1) مشخص است در نواحی انرژی مقید با افزایش انرژی چگالی تراز تکذرهای نیز افزایش مییابد در حالی که در نواحی پیوسته با افزایش انرژی چگالی تراز تک ذرهای کاهش مییابد و اثرات پیوستگی روی چگالی تراز تک ذرهای به خوبی در مدل نیمه کلاسیکی نمایش داده شده است.
اشکال عمده چاه مربعی در این است که دارای لبه تیز است در حالی که پتانسیل هستهای فاقد لبه تیز بوده و به تدریج صفر میشود. پتانسیل نوسانگر هماهنگ نیز بصورت زیر تعریف میشود
(2-36) VHOr=12mω2r2-VOکه در این رابطه V0عمق چاه و ω فرکانس نوسان است. و شکل این پتانسیل بصورت (2-2) میباشد.

شکل (2- SEQ شکل_2- * ARABIC 2) نمودار پتانسیل نوسانگر هماهنگ[24]با جایگذاری رابطه (2-36) در معادله (2-32) چگالی تراز تک ذرهای مربوط به پتانسیل نوسانگر هماهنگ بصورت زیر بدست میآید
(2-37) gHOE=E-V02ħω31-1-2πarcsinV0E-V0+43πV0E-V032EE-V0+2πV0E-V0EE-V0θE
این درحالی است که پتانسیل نوسانگر هماهنگ نسبت به چاه مربعی به آرامی تغییر میکند و دارای لبه کاملاً تیز نمیباشد بطوریکه انرژی جداسازی در آن بینهایت میشود. از سوی دیگر در یک هسته فاصله بین ترازها یکسان نیست درحالی که در نوسانگر هماهنگ فاصله بین ترازها یکسان است ولی در چاه مربعی این طور نیست.
باتوجه به نکات ذکر شده پتانسیل ابتدایی دیگری بصورت شکل(2-3) برای هسته معرفی شده است که یک چاه پتانسیل مربعی بالبه گرد شده است و به آن پتانسیل وودز-ساکسون گفته میشود، که به پتانسیل بینابینی نیز معروف است این پتانسیل براساس شکل چگالی ماده هستهای برحسب فاصله از مرکز هسته ارائه شده و با رابطه زیر معرفی میشود
(2-38) VWSr=-Vo1+expr-Raکه در آن R شعاع هسته و a پارامتر ضخامت سطح میباشند و V0عمق چاه است که بصورت زیر تعریف می شود
(2-39) V0=51±33N-ZAکه درآن علامت مثبت مربوط به پروتون و علامت منفی مربوط به نوترون است. پتانسیل وودز-ساکسون در شکل (2-3) رسم شده است.

شکل (2- SEQ شکل_2- * ARABIC 3) نمودار پتانسیل وودز-ساکسون بصورت تابعی از فاصله از مرکز هسته[24]در محاسبه چگالی تراز تک ذرهای با روش نیمه کلاسیکی برای پتانسیل وودز-ساکسون جمله مربوط به برهمکنش اسپین مدار درنظر گرفته نشده است و همانطور که از معادله (2-32) مشخص است در روش نیمه کلاسیکی با استفاده از پتانسیلهای میدان متوسط هسته، چگالی تراز تک ذرهای بصورت تابعی از انرژی تک نوکلئونها تعیین میشود.
برای هسته 56Fe نمودار چگالی تراز برحسب انرژی با اعمال پتانسیل وودز-ساکسون در روشهای نیمه کلاسیکی و روش هموار در شکل (2-4) رسم شده است.

شکل (2- SEQ شکل_2- * ARABIC 4) نمودار چگالی تراز تک ذرهای نوترونی برحسب انرژی برای پتانسیل وودز-ساکسون خطوط نقطه چین مربوط به روش نیمه کلاسیکی و دیگری روش هموار [16]همانطور که از شکل (2-4) نیز مشخص است برای هر دو مدل روند تغییرات بر حسب انرژی مشابه یکدیگر است یعنی در نواحی انرژی مقید با افزایش انرژی، چگالی تراز تک ذرهای نیز افزایش مییابد، در حالی که در نواحی پیوسته با افزایش انرژی، چگالی تراز تک ذرهای کاهش مییابد.
چاه پتانسیل برای پروتونها و نوترونها متفاوت است، البته ترتیب ترازهای انرژی مربوط به آنها تا تراز نوکلئونی 50 یکسان است بعد از این تراز است که تفاوت آشکار میشود. چون برای این اعداد نوکلئونی نیروی دافعه کولنی بین پروتونها زیاد شده و با نیروی هستهای مقابله میکند.