جسم، تقریب، بهینهسازی، معادلهی، آنتن، مثلاً

پرکاربردتر است. در اکثر موارد یافتن پاسخ مساله معکوس دشوارتر است. ولی بهقدری پرکاربرد است که به صورت جدی در دستور کار محققان قرار میگیرد.
مسائل خوش رفتار و بدرفتاربه طور کلی هر مساله ای که سه ویژگی زیر را داشته باشد خوش رفتار نامیده می شود:
1. مساله دارای جواب باشد(وجود)
2. حداکثر یک جواب برای مساله وجود داشته باشد(یکتایی)
3. جواب به طور پیوسته با تغییر داده تغییر کند(پایداری)
تعریف ریاضی سه مورد بالا در مورد تابع خوش رفتار به این قرار است:
تعریف: فرض کنیم و فضاهای نرمال باشند و یک نگاشت(خطی یا غیر خطی) باشد به طوری که داشته باشیم. معادلهی در صورتی خوش رفتار است که سه ویژگی زیر را داشته باشد:
1. به ازای هر حداقل یک وجود داشته باشد به طوری که (وجود)
2. به ازای هرحداکثر یک وجود داشته باشد به طوری که (یکتایی)
3. به ازای هر دنبالهی اگر با ، در آن صورت (پایداری)
هر مسالهای که خوشرفتار نباشد(حداقل یکی از سه ویژگی بالا را نداشته باشد) بدرفتار نامیده میشود.
مهمترین دغدغه در حل مسائل معکوس مورد سوم یا همان مساله پایداری است. در همین مثال حرکت ابرها و بارش باران که در بخش اول بیان شد، فرض کنیم که با مشاهده نقشههای هواشناسی و مخابره کشورهای اطراف به این نتیجه برسیم که مثلاً به علت عبور سامانه ابری از غرب به شرق، سه روز دیگر در تهران بارندگی خواهیم داشت، در این حالت وزش بادی از شمال به جنوب که پیشبینی آن صورت نگرفته است و یا اینکه غیر قابل پیشبینی است و جابجایی ابرها به شهر دیگری مانند اصفهان نتیجهای که دربر خواهد داشت بارش باران در این شهر است. در این صورت تغییر کوچک در داده ورودی منجر به تغییر اساسی در خروجی شده است. بنابراین در حل مسائل معکوس باید به پایداری یا پایدارسازی مساله توجه ویژه داشته باشیم.
مسائل معکوس در مغناطیسدر حوزه الکترومغناطیس نیز میتوان مسائل مستقیم و معکوس را متصور بود. اغلب در الکترومغناطیس به دلیل کاربرد بسیار گسترده، مسائل معکوس در حوزه پراکندگی بررسی و طبقهبندی میشوند. به این صورت که در مساله مستقیم میدانی را به محیطی میتابانیم. به طوری که جنس و موقعیت جسم درون محیط برای ما مشخص است. در این صورت محاسبه میدان پراکندگی مطلوب مساله است. اما در حالت معکوس میدانی را با دامنه و فاز مشخص به محیطی میتابانیم و میدانهای پراکنده شده را جمعآوری میکنیم. در این صورت مطلوب ما شناسایی جنس و موقعیت پراکنده کنندههای داخل محیط است. بیایید سه مورد بدرفتاری را درمورد مساله معکوس بررسی کنیم. با این فرض که میدانیم جنس جسم پراکنده کننده فلز است و ما به دنبال موقعیت آن هستیم.
وجود جواب: ممکن است میدانی که آنتن گیرنده دریافت میکند بهقدری تغییر کرده باشد که مقداری که نشان میدهد ناشی از هیچ نوع جسم پراکنده کنندهی فلزی نباشد.
یکتایی جواب: در صورتی که مشاهدات محدود باشد، مثلاً تعداد آنتن گیرنده کم باشد یا به طور 360درجه نتوان میدانهای برگشتی و عبوری را در حالت دوبعدی دریافت کرد، در این حالت ممکن است بازهم به علت دریافت دادههای نویزی یا ناصحیح و البته محدود به جوابی برسیم که ناشی از دو یا چند نوع جسم است.
ناپایداری: فرض کنید که میدانی که یک آنتن گیرنده دریافت میکند برابر یا نزدیک صفر باشد و میدان بقیه نقاط تغییر اندازه پیوسته و آرام حول مقدار 10ولتبرمتر داشته باشند. به عنوان مثال دلیل این باشد که دو موج با دامنه نزدیک به هم و اختلاف فاز 180درجه قبل از برخورد به آنتن گیرنده برهم اثر کرده و اثر همدیگر را در موقعیت آن آنتن خنثی کرده باشند. در این صورت با اندکی جابجایی آنتن به اختلاف قابل توجه میرسیم. این حالت نمونهای از ناپایداری در حوزه دریافت عملی آن است.
مشکلات حل مسائل پراکندگی معکوسیکی از مشکلات اساسی در این مسائل، غیر یکتا بودن آنهاست. مثلاً میدانهای محوشونده ناشی از محیط با تلفات و یا قسمتهای با ابعاد بسیار کوچک، قابل شناسایی نخواهد بود. مشکلات دیگری را میتوان نام برد از جمله:
1. از دست دادن داده: به علت محدود بودن فضا و تأثیر امواج پراکنده شده بر هم، یا اطلاعات تکراری در اندازهگیری داده
2. دادهی نویزی: دادهی گرفته شده در آنتن گیرنده آغشته به نویز تصادفی خواهد بود.
3. دادهی غیرقابل مشاهده: یعنی اینکه حل مسئلهی بهینهسازی، منجر به اطلاعات غیر فیزیکی میشود. به عبارت دیگر اطلاعاتی که از طریق مدل مستقیم قابل مدلسازی نباشد.
4. روش غیر دقیق: روش های بهینه سازی ممکن است منجر به ناپایداری شود.
کاربردهای پراکندگی و پراکندگی معکوسپراکندگی امواج صوتی و مغناطیسی نقش اساسی در علوم کاربردی ایفا می کند. پارهای ازموارد استفادهی آن به قرار زیر است:
1. عکسبرداری از بدن بیماران برای مصارف پزشکی: مانند استفاده از امواج مغناطیسی برای تشخیص سرطان مغز استخوان در افراد
2. عکسبرداری زیر سطحی: برای کاربردهایی چون مینزدایی، اکتشاف نفت، تحقیقات باستان شناسی و…
3. کاربردهای راداری: شناسایی تعداد، شکل و ابعاد اجسام متحرک همچون هواپیما، کشتی و…
4. انجام تستهای غیر مخرب مانند تشخیص ترکخوردگی داخل اجسام، تشخیص حضور مواد خطرناک مثلاٌ قابل احتراق در داخل اجسام و…
روش های کلی حل مسائل معکوسبسته به نیازی که در حل مسئله معکوس وجود دارد میتوان صورت سوال را تنظیم کرد. مثلاً در تعیین میزان فلز به کار رفته داخل یک بلوک بتونی قطعاً جنس برای ما مهم نیست و چیزی که اهمیت دارد شکل و موقعیت فلزات داخل بتون است. یا در تشخیص ترکیدگی لوله در آزمایشهای غیر مخرب فقط شکل داخلی برای ما اهمیت دارد که ببینیم آیا ترکی وجود دارد یا خیر.
روش های بازسازی کیفیهمانطور که از اسمش بر میآید با عدد و رقم کاری ندارد و کیفیت جسم را مشخص میکند. یعنی موقعیت و شکل کلی اجسام را مشخص میکند. روشهایی مانند روش نمونهبرداری خطی، روش تنظیم سطح، معکوسسازی زمانی و… از جمله این روشها هستند که فرایند آنها شناسایی موقعیت و شکل کلی اجسام است و در دسته روشهای کیفی شناسایی جسم قرار میگیرند.
روش های بازسازی کمیروش بازسازی کمی جنس جسم را مشخص میکند. پارامترهایی از قبیل به کمک ایندسته از روشها شناسایی میشوند. از جمله مهمترین روشهای پراکندگی معکوس که در این شاخه جای میگیرند روشهای برمبنای بهینهسازی است. به این شکل که تابعی تعریف میشود که بهینه کردن آن منجر به شناسایی مقادیر در محیط مطالعه میشوند. روشهای متنوعی در زمینه بهینهسازی وجود دارد. از جمله میتوان به الگوریتم ژنتیک، روش تکامل تفاضلی، روش هجوم ذرات و جستوجوهای هارمونی اشاره کرد.

روش های کمی و کیفی پراکندگی معکوس در این فصل قصد داریم ابتدا صورت مسئله پراکندگی معکوس را روشنتر نماییم و آن را به کمک روابط ریاضی بیان کنیم. سپس در ادامه به توصیف برخی از روشهای کیفی و کمی خواهیم پرداخت.
فرم کلی یک مسئله پراکندگی معکوسبیان یک مسئله پراکندگی معکوس به این صورت است: مجموعهای از آنتنهای فرستنده امواج الکترومغناطیسی را دورتادور محیط به شکل یکنواخت یا هر حالت دیگری که نتیجهگیری بهتر آن تشخیص داده شده است قرار میدهیم. در صورتی که در حالت نیمفضا قرار داشته باشیم در آن صورت محل استقرار آنتنها فقط در نصف فضای اطراف محیط است. امواج به محیط تابانده میشود و امواج برگشتی و عبوری از محیط توسط دسته دیگری از آنتنها دریافت میشود.

شکل STYLEREF 1 s ‏2– SEQ شکل * ARABIC s 1 1: شکل کلی یک مسأله پراکندگی معکوس[1]اگر محدوده تحت بررسی در طول مرحلهی اندازهگیری بدون تغییر بماند، معادله انتگرالی زیر را خواهیم داشت:[1]
(2-1)
اثبات: در محیط REF _Ref409558757 h شکل ‏2–1 معادلهی موج بهصورت رابطهی زیر است:
(2-2)
بهطوریکه در داخل محیط پراکندهساز داریم:
(2-3)
در اطراف محیط و در محل آنتنها نیز:
(2-4)
برای حل این معادله بهعلت عدم تقارن و دلخواه بودن شکل محیط پراکندهکننده، از تابع گرین کمک میگیریم. بنابراین معادلهی گرین را به شکل زیر تشکیل میدهیم:
(2-5)
همچنین میتوان رابطهی (2-2) را بهصورت زیر نوشت:
(2-6)
اکنون دوطرف معادلهی (2-6) را در ضرب کرده از دو طرف معادلهی حاصل در کل محیط اطراف پراکنده کننده انتگرال حجمی میگیریم. دراینحالت به کمک رابطهی (2-5)، (معادله گرین) خواهیم داشت:

(2-7)
بهسادگی و براساس تعریفی که از تابع گرین انجام دادهایم، مشخص است که جملهی اول عبارت سمت راست تساوی معادلهی بالا، برابر میدان تابشی است. بنابراین داریم:
(2-8)
از این مرحله به بعد معادله به یک معادلهی انتگرالی غیرخطی بدرفتار تبدیل میشود که حل آن معادل حل مسئلهی پراکندگی معکوس است.
روش های پراکندگی معکوسدر ادامه به صورت گذرا به روشهای مختلف کمی و کیفی پراکندگی معکوس اشاره خواهد شد.
تقریب برندریکسری از مسائل، درمورد جسم تحت بررسی اطلاعات اولیهای در دست است. در نتیجه، برای جسم میتوان یک مدل تقریبی ارائه داد. وقتی که جسم پراکندهساز نسبت به محیط انتشاری اطراف خود پراکندهساز ضعیف محسوب میشود، تقریب برن قابل استفاده است. سادهترین تقریب برن، تقریب مرتبه اول است. در این تقریب، معادله پراکندگی بصورت زیر تغییر پیدا می کند:

(2-9)که برابراست. چون طبق فرض، پراکندهساز ضعیف است، بنابراین میتوانیم از دربرابر صرفنظر کنیم. در این حالت معادلهی زیر حاصل میشود که معادلهای خطی است:
(2-10)این معادله، تقریب اول برن محسوب میشود. تقریب برن هم در مسائل مستقیم )یعنی محاسبه میدان ناشی از یک پراکنده ساز ضعیف( و هم در مسائل معکوس، کاربرد دارد. برخلاف معادله اصلی که هم و هم که خود تابع است مجهول بودند و در نتیجه مساله فرم غیرخطی داشت، در تقریب مرتبه اول برن تنها مجهول بوده و مساله خطی شده است. برای افزایش دقت تقریب برن میتوان مرتبه تقریب را افزایش داد. روش این افزایش مرتبه، استفاده از یک الگوریتم تکرار است. تقریب مرتبهیام برن از طریق رابطه زیر بدست می آید:[1]

(2-11)
روشهای تقریب دیگری نیز وجود دارد که از جملهی آنها عبارتند از: تقریب ریتوف، تقریب نور فیزیکی و…
روش تکرار برنروش تکرار برن برگرفته از تقریب برن است. در حالاتی که تقریب برن به جواب نمیرسد این روش انعطاف بیشتری دارد. در این روش طبق رابطه (2-8) میتوان بهسادگی دریافت که حاصل انتگرال جمله دوم عبارت سمت راست معادل میدان پراکندگی است. برای محاسبه عددی انتگرال رابطه (2-8) مقدار میدان پراکندگی را از طریق تقریب برن بهدست میآوریم. سپس مجموعه انتگرال را با سلولبندی محیط محاسبه تبدیل به جمع با مقادیر مجهول میکنیم. این مقادیر مجهول با معرفی تابع هزینه که اختلاف میدان دریافتی و میدان محاسبه طبق توضیحات گذشته است طی یک فرایند بهینهسازی تعیین میشوند. بنابراین روش تکرار برن در حوزه روشهای بهینهسازی قرار میگیرد. مقادیر بدست آمده برای مجهول طی این فرایند بهینهسازی مقادیری است که اختلاف میدان واقعی و میدان محاسبه شده بهازای آن کمترین مقدار است. بنابراین میتوان نتیجه گرفت که محیط محاسبه شناسایی شده است.[1]
روش بهینه سازیاز جمله روشهای مهم پراکندگی معکوس ، روش بهینهسازی است. همانطور که از اسمش بر میآید این دسته روشها مبتنی بر تعیین شکلی از تابع و بهینه کردن آن هستند. به عنوان مثال تابعی با عنوان تابع هزینه معرفی میکنند که برابر اندازه اختلاف میدان ناشی از جسم پراکنده کننده (میدان اندازهگیری) و ناشی از محاسبه جسم حدس زده شده (میدان محاسبه شده) است. سپس طی فرایندهای بهینهسازی این تابع را کمینه میکنند و خروجی مقادیر کمینه کننده تابع هزینه را به عنوان جواب مسئله درنظر میگیرند. مسئله پایداری در اینگونه مسائل بوجود میآید. مثلاً اگر به عنوان مقدار اولیه که لازمه شروع حل مسئله به کمک روشهای بهینهسازی است مقادیری دور از مقادیر مطلوب انتخاب شود احتمالاً پروسه بهینهسازی با شکست مواجه خواهد شد. بنابراین یکی از ضعفهای این دسته از روشها نیاز به مقادیر اولیه مناسب است که این مورد نیاز به اطلاعات جزئی از محیط و جسم پراکنده کننده را واجب میسازد. برای ایجاد پایداری همچنین از اضافه کردن جملات کمکی به تابع هزینه استفاده میشود که ضریب تنظیم نام دارد.[2]
روش نمونه برداری خطیاین روش در گروه روشهای کیفی که هدف آنها شناسایی شکل و موقعیت جسم است قرار میگیرد. در روش نمونهبرداری خطی معادله الگوی میدان دور جسم به نام معادله فردهلمدرنظر گرفته میشود. مجهول که خود تابعی در داخل انتگرال است از طریق روشهای معکوسسازی به دست میآید. جاهایی که مجهول در آن مقدار بزرگتری دارد به هدف نزدیکتر و شاید در داخل هدف قرار دارند و مقادیر کوچکتر فاصله بیشتری از هدف خواهند داشت. بنابراین با مشخص کردن مقدار آستانه و مقایسه مقادیر به دست آمده به صورت سلول به سلول موقعیت جسم استخراج میشود. در شناسایی با این روش از تنظیم تیخونوف استفاده میگردد. مهمترین ویژگی این روش نیاز به زمان کوتاه برای پردازش است. مهمترین اشکال این روش نیز نیاز به اطلاعات اولیه زیاد برای رسیدن به جواب مطلوب است.[3]
روش تنظیم سطحاین روش نیز در گروه روشهای کیفی قرار دارد. روش تنظیم سطح روش قدرتمندی برای شناسایی موقعیت و شکل اجسام است. دو ویژگی اصلی این روش نیاز به اطلاعات کم و شناسایی چند جسم جدا از هم بدون داشتن اطلاعات اولیه از آنهاست. ایراد اساسی نیز زمانبر بودن آن است. در این روش مثلاً برای حالت دوبعدی یک تابع سهبعدی تعریف میشود و سطح صفر آن استخراج و میدان ناشی از آن محاسبه و با میدان جسم اصلی مقایسه میشود. در واقع این روش نیز به گونهای در حوزه روشهای بهینهسازی قرار میگیرد. با این تفاوت که از الگوریتم بهینهسازی خاصی استفاده نمیشود. بلکه از طریق تعیین ضریبی مناسب معادلهای حل میشود و خروجی آن تابعی سهبعدی است که سطح صفر آن استخراج و با شکل اصلی مقایسه و اختلاف آنها دوباره برا

Author:

دیدگاهتان را بنویسید

نشانی ایمیل شما منتشر نخواهد شد. بخش‌های موردنیاز علامت‌گذاری شده‌اند *