s، *، کربنی، ARABIC، SEQ، ‏1

دو-بعدی گرافین در REF _Ref404341667 h * MERGEFORMAT شکل (‏12) نشان داده شده است. سلولِ واحد گرافین از دو اتم مجزا با فاصلهی دروناتمی تشکیل شده است. بردارهای واحدِ آن بهشکل زیر هستند:
( STYLEREF 1 s ‏1 SEQ Equation * ARABIC s 1 1)
که در آن ثابتشبکه است. سلول واحد از دو بردار شبکه تشکیل شده است، که در REF _Ref404341667 h * MERGEFORMAT شکل (‏12) بهرنگ خاکستری است [1].

شکل ( STYLEREF 1 s ‏1 SEQ شکل * ARABIC s 1 2) شبکه فضای حقیقی گرافین. سلول واحد بهرنگ خاکستری است [1].شبکه دوبعدی فضای k در REF _Ref404341890 h * MERGEFORMAT شکل (‏13) نشان داده شده است. بردارهای واحد همپاسخ 1b و 2b توسط معادله زیر قابل دستیابی هستند:
( STYLEREF 1 s ‏1 SEQ Equation * ARABIC s 1 2)
که ij دلتای کرونِکر است. در نتیجه:
( STYLEREF 1 s ‏1 SEQ Equation * ARABIC s 1 3)
ثابت شبکه همپاسخ است. اولین ناحیهی بریلوین گرافین در REF _Ref404341890 h * MERGEFORMAT شکل (‏13) بهرنگ خاکستری نشان داده شده است [1].

شکل ( STYLEREF 1 s ‏1 SEQ شکل * ARABIC s 1 3) شبکه فضای k گرافین. ناحیهی بریلوین بهرنگ خاکستری نشان داده شده است [1].مدل اتصال محکم بهطور معمول برای دستیابی بهشکل تحلیلی پاشندگی انرژی الکترونی و یا ساختار باند KE گرافین بهکار میرود. چون حل معادله شرودینگر عملا در سامانههای بزرگ غیرممکن است مدلهای تقریبی زیادی با افزایش یافتن پیچیدگی موجود است. تقریب اتصال محکم بهعنوان یکی از سادهترین روشها شناخته شده است. در این قسمت بهتوضیحی مختصر درباره چگونگی دستیابی بهرابطه پاشندگی الکترونی گرافین پرداخته میشود. چند فرض اولیه زیر را در نظر میگیریم:
برهمکنش الکترون-الکترون را نادیده میگیریم. این یک مدل تکالکترونی است.
تنها اتصالهای π در رسانایی تاثیر دارند.
ساختار گرافین، بینهایت بزرگ، کاملا متناوب و هیچگونه نقصی ندارد.
برای رسیدن بهتابع پاشندگی گرافین باید معادله شرودینگر برای یک الکترون مورد اعمال پتانسیلِ شبکه، مانند زیرحل شود:
( STYLEREF 1 s ‏1 SEQ Equation * ARABIC s 1 4)
H همیلتونینِ شبکه، rU پتانسیل شبکه،m جرم الکترون، KjE تابع ویژه وjK,r انرژی ویژه برای jامین باند با بردار موج k است. چون این یک مسئله متناوب است، تابع ویژه (یا تابع بلاخ) باید تئوری بلاخ را که بهشکل زیر داده شده برآورده کند:
( STYLEREF 1 s ‏1 SEQ Equation * ARABIC s 1 5)
بردار شبکه براوایس است، 1 و 2 عددهای صحیح هستند [1]. بنابراین تابع موج در فضای همپاسخ با بردار شبکه همپاسخ متناوب است که q1 و q2 عدد صحیح هستند:
( STYLEREF 1 s ‏1 SEQ Equation * ARABIC s 1 6)
در نهایت ساختار باند گرافین بهشکل زیر تقریب زده میشود [1]:
( STYLEREF 1 s ‏1 SEQ Equation * ARABIC s 1 7)
پارامتر انتقال 0 با محاسبههای فرض اولیه حدود 7/2 الکترونولت تخمین زده میشود. همانطور که انتظار میرود مقدارهای انرژی مثبت و منفی بهترتیب بهباند رسانایی و ظرفیت اشاره دارد. پاشندگی گرافین در REF _Ref404343267 h * MERGEFORMAT شکل (‏14) نشان داده شده است. دیده میشود که گرافین هیچگونه باند توقفی ندارد و نیمهرسانا با باند توقف صفر است. اگرچه کلمه رسانا بهگرافین یا نانولولهی کربنی با باند توقف صفر اشاره دارد. نقاطی که از انرژی فرمی عبور میکنند نقاط kگویند و با لبههای ششگوشه برخورد دارند. بیشترین مشخصههای رسانایی الکترونیک با بایاس کم توسط نواحی اطراف نقاط k تعیین میشوند [1].

شکل ( STYLEREF 1 s ‏1 SEQ شکل * ARABIC s 1 4) دیاگرام پاشندگی انرژی گرافین [1].بهصورت تئوری با لوله کردن صفحه گرافین بهنانولوله کربنی میرسیم. زاویههای مختلف لوله کردن بهسلولهای مختلف نانولولههای کربنی و درنتیجه بهمشخصههای الکترونی مختلف منجر میشود. بردار کایرال hC، زاویه لوله شدن و قطر نانولوله کربنی را توضیح میدهد که از بردارهای واحد شبکه حقیقی گرافین استفاده میکند و در REF _Ref404343443 h * MERGEFORMAT شکل (‏15) نشان داده شده است [1].
( STYLEREF 1 s ‏1 SEQ Equation * ARABIC s 1 8)
یک نانولولهکربنی را میتوان یک لولهی استوانهای نازک توخالی در نظر گرفت که بهطور کامل از کربن تشکیل شده است و دارای قطری در حدود چند نانومتر است، نانولولههای کربنی میتوانند دارای طولی در حدود چند میلیمتر باشد. که موجب شبهتکبعدی بودن ساختار نانولولههای کربنی در تمامی اهداف عملی میشود. بهدلیل محدودیت عرضی نانولولههای کربنی برخی از ویژگیهای آنها بهمیزان زیادی از طریق مکانیزم کوانتوم تعیین میشوند [1].

شکل ( STYLEREF 1 s ‏1 SEQ شکل * ARABIC s 1 5) گرافین یک صفحه تکاتمی از گرافیت است. نانولوله کربنی از لوله کردن گرافین بهشکل استوانه توخالی ایجاد میشود [1].بنابراین ساختارِ شبکه نانولوله کربنی مشابه گرافین است. در این بخش زیرساختِ گرافین و خصوصیتهای عامل ویژگی منحصر بهفرد الکترونیک آنها بیان شد و ویژگی الکترونیک نانولولههای کربنی از ویژگی گرافین استنباط شد. ناهمسانگردیِ شبکه، موجب تولید انواع مختلف نانولولههای کربنی میشود. نانولولههای کربنی با کایرالیتیشان بیان میشوند، که فلز بودن و یا شبهفلز بودن ماهیت نانولولههای کربنی را نشان میدهند [1].
انواع نانولولههای کربنیدر REF _Ref409151907 h * MERGEFORMAT شکل (‏16) ساختار ششگوشه تشکیلدهنده صفحه مختصات گرافین نشان داده شده است، دو بردار یکه i و j را مطابق شکل تعریف میکنیم. زاویه بین این دو بردار برابر با 60 درجه است. برای حرکت برروی صفحه مختصات گرافین که در REF _Ref409152085 h * MERGEFORMAT شکل (‏17) نشان داده شده است، بردار را تعریف میکنیم. این بردار را بردار کایرال مینامند. برای تبدیل یک صفحه گرافین بهیک نانولوله کربنی، ابتدا باید جهت لوله کردن صفحه گرافین را مشخص کنیم. برای این کار بردار کایرال موردنظر را گزینش میکنیم. همانطور که در REF _Ref409152085 h * MERGEFORMAT شکل (‏17) نشان داده شده است، نقاط و که بهترتیب نقاط ابتدایی و انتهایی بردار C هستند را برروی یکدیگر منطبق میکنیم و در نتیجه نانولوله کربنی با ضریب مشخصه بهدست میآید. در نتیجه نماد برای تعیین نوع نانولوله کربنی مورد مطالعه، بهکار میرود [2].

شکل ( STYLEREF 1 s ‏1 SEQ شکل * ARABIC s 1 6) ساختار ششگوشه در صفحه مختصات گرافین [2].
شکل ( STYLEREF 1 s ‏1 SEQ شکل * ARABIC s 1 7) صفحه مختصات گرافین. مسیر مبلی بهرنگ نارنجی، مسیر نامتقارن بهرنگ سبز و مسیر زیگزاگ بهرنگ آبی است [2].مدل مبلی ، مدل زیگزاگ و مدل کایرال است. با توجه بهنحوه اتصال دو سر صفحهی گرافین سه شکل مختلف برای نوع نانولوله کربنی بهدست میآید [2]:
نوع زیگزاگ: اتمهای متصل بههم، مطابق REF _Ref417113051 h * MERGEFORMAT شکل (‏18) شکل زیگزاگ را پدید میآورند.

شکل ( STYLEREF 1 s ‏1 SEQ شکل * ARABIC s 1 8): نانولوله کربنی از نوع زیگزاگ [2].
نوع مبلی: در این نوع، اتمها، مطابق REF _Ref417113111 h * MERGEFORMAT شکل (‏19) طوری بهیکدیگر اتصال یافتهاند که شکل مبل را تداعی میکنند.

شکل ( STYLEREF 1 s ‏1 SEQ شکل * ARABIC s 1 9): نانولوله کربنی از نوع مبلی [3].
نوع نامتقارن: ردیفهای اتمی در این نوع نانولوله، مطابق REF _Ref417113214 h * MERGEFORMAT شکل (‏110) بهصورت اریب قرار میگیرند، بنابراین اگر این نانولوله را مقابل آینه قرار دهید، تصویری متفاوت از اصل را خواهید دید و بههمین علت، نامتقارن نام گرفته است.

شکل ( STYLEREF 1 s ‏1 SEQ شکل * ARABIC s 1 10): نانولولههای کربنی از نوع نامتقارن [2].
علاوه براین، اندازه hC برابر محیط نانولوله کربنی است. بردار تبدیل، T، بردارِ واحد در جهت محور و عمود بر hC است [1].
( STYLEREF 1 s ‏1 SEQ Equation * ARABIC s 1 9)
( STYLEREF 1 s ‏1 SEQ Equation * ARABIC s 1 10)
همانطور که در REF _Ref406545790 h * MERGEFORMAT شکل (‏111) دیده میشود، T اولین دو نقطه همانند در شبکه را در جهت محور بههم وصل میکند [1]. dR بزرگترین مخرج مشترک و است. مستطیل تشکیلشده توسط Ch وT ، سلول واحد نانولوله کربنی است. بردارهای واحد فضای k برای نانولوله کربنی با مشخصه با استفاده از رابطههای زیر بهدست میآیند:
( STYLEREF 1 s ‏1 SEQ Equation * ARABIC s 1 11)
( STYLEREF 1 s ‏1 SEQ Equation * ARABIC s 1 12)

(الف) (ب)
شکل ( STYLEREF 1 s ‏1 SEQ شکل * ARABIC s 1 11) شبکه و سلول واحد فضای واقعی نانولوله کربنی (الف) از نوع زیگزاگ (3،0) و (ب) نانولوله کربنی از نوع مبلی (3،3) [1].با حل معادلههای بالا خواهیم داشت:
( STYLEREF 1 s ‏1 SEQ Equation * ARABIC s 1 13)
Nتعداد ششگوشهها در سلول واحدِ حقیقی نانولوله کربنی است.
( STYLEREF 1 s ‏1 SEQ Equation * ARABIC s 1 14)

(الف) (ب)
شکل ( STYLEREF 1 s ‏1 SEQ شکل * ARABIC s 1 12) شبکه فضای k و ناحیه بریلوین نانولوله کربنی از نوع (الف) زیگزاگ (3،0) و (ب) مبلی (3،3) [1].در REF _Ref406546922 h * MERGEFORMAT شکل (‏112) اولین ناحیه بریلوین و شبکه فضای k نشان داده شده است. خطهای موازی، زیرباندها را نشان میدهند که به فاصله K1 از یکدیگر قرار گرفتهاند و دارای طولی بهاندازه K2 هستند.
برای بهدست آوردن معادلههای پاشندگی، شرایط مرزی متناوب در جهت محیط نانولوله کربنی بهشکل زیر اعمال میشود:
( STYLEREF 1 s ‏1 SEQ Equation * ARABIC s 1 15)
که s ضریب جهتِ زیرباند است [1].
نانولوله کربنی زیگزاگ
این نوع نانولوله کربنی میتواند هم فلز و هم نیمهرسانا باشد. ناحیهی بریلوین نقطه k را قطع میکند و تنها زمانیکه باشد (q عدد صحیح است) فلز خواهد بود. در غیر اینصورت شکاف باندی را خواهد داشت که بهطور معکوس متناسب با قطرش است. برای این نوع نانولوله کربنی معادله REF _Ref404618011 h * MERGEFORMAT (‏115) بهشکل زیر نوشته میشود:
( STYLEREF 1 s ‏1 SEQ Equation * ARABIC s 1 16)
که در آن است، با قرار دادن معادله REF _Ref406546650 h (‏116) در REF _Ref406546659 h (‏17) و جاگذاری ky با kz بهعنوان جهت محور بهرابطه پاشندگی زیر خواهیم رسید:
( STYLEREF 1 s ‏1 SEQ Equation * ARABIC s 1 17)
رابطه REF _Ref406546693 h * MERGEFORMAT (‏117) در REF _Ref406546704 h * MERGEFORMAT شکل (‏113-الف) برای نانولوله کربنی از نوع زیگزاگ (3،0) با ماهیت فلزی در طول اولین ناحیهی بریلوین رسم شده است. دو تا از زیرباندها انرژی فرمی را در قطع میکنند. با مقایسه REF _Ref406546922 h * MERGEFORMAT شکل (‏112-الف) با REF _Ref406546704 h * MERGEFORMAT شکل (‏113-الف) مشاهده میکنیم که زیرباندهای متناظر، لبهی ساختار ششگوشه را در نقاط مشخصشده در REF _Ref406546922 h * MERGEFORMAT شکل (‏112) قطع میکنند [1].
نانولوله کربنی مبلی
نانولوله کربنی ِمبلی از نوع فلز است، زیرا ناحیهی بریلوین یک بعدی آن همیشه نقاطk را قطع میکند. با استفاده از REF _Ref404618011 h * MERGEFORMAT (‏115) شرایط مرزی تعیین میشود که بردار موجِ محیطیِ مجاز را تعیین میکند:
( STYLEREF 1 s ‏1 SEQ Equation * ARABIC s 1 18)
برای با جاگذاری kx از معادله REF _Ref406547076 h (‏118) در معادله REF _Ref406546659 h (‏17) و جاگذاری ky با kz بهرابطه پاشندگی نوع مبلی خواهیم رسید:
( STYLEREF 1 s ‏1 SEQ Equation * ARABIC s 1 19)
در حالیکه kz در جهت k2 است و تناوبی بهاندازه دارد. در REF _Ref406546704 h * MERGEFORMAT شکل (‏113-ب) رابطه پاشندگی از نوع مبلی رسم شده است [1].
نانولولههای کربنی که در دو دسته گفته شده در بالا نباشند، از نوع کایرال، ، هستند.

(الف) (ب)
شکل ( STYLEREF 1 s ‏1 SEQ شکل * ARABIC s 1 13) دیاگرام پاشندگی الکترونی نانولوله کربنی از نوع (الف) زیگزاگ (3،0) و (ب) مبلی (3،3). ناحیه سایهخورده زیرِ انرژی فرمی، ناحیه باند ظرفیت است [1].مباحث فیزیکیناحیهی بریلویندر انتشار هر گونه حرکت موجی از میان شبکه کریستالی، بسامد، تابعی متناوب از بردار موج k است. این تابع ممکن است بهدلیل چند مقداره بودن پیچیده باشد، بهمنظور سادهسازی رفتارِ حرکت موج در کریستال، یک ناحیه در فضای k تعریف میشود که ناحیه متناوب پایه را تشکیل میدهد. بسامد یا انرژی برای یک بردار موج k خارج از این ناحیه ممکن است توسط یکی از بردارهای k که در داخل این ناحیه است، تعیین شود. این ناحیه را ناحیهی بریلوین گویند. معمولا توجهها بهبردارهای k در داخل این ناحیه متمرکز میشود. ناپیوستگی تنها در روی مرزها رخ میدهد. بهطور خلاصه، هر بردار موج در خارج از این ناحیه برابر با برخی بردارهای داخل این ناحیه است [3-2].
حالت بلاخیک موج بلاخ (حالت بلاخ، تابع بلاخ و یا تابع موجِ بلاخ نیز گفته میشود) که بهخاطر فیزیکدان سوییسی بهنام فلیکس بلاخ بهاین نام شناخته شده است، یک نوع تابع موج برای ذرهای است که در یک محیط متناوب باشد، معمولا برای الکترونها در کریستال کاربرد دارد. یک تابع موج یک موج بلاخ است اگر بهصورت زیر باشد:
( STYLEREF 1 s ‏1 SEQ Equation * ARABIC s 1 20)
که r موقعیت، موج بلاخ، u یک تابع متناوب با تناوب مشابه با کریستال است، k یک عدد حقیقی است که بردارموج کریستال نامیده میشود، e عدد اولر نامیده میشود وj واحد موهومی است.
بهعبارت دیگر اگر یک موج صفحهای را در یک تابع متناوب ضرب کنید موج بلاخ حاصل میشود [4].
نوسانهای بلاخزمانیکه الکترونها در زنجیرهی یک بعدی و خطی از اتمهای مورد اعمال میدان الکتریکی ثابت خارجی قرار میگیرند، شاهد نوسانهای بلاخ خواهیم بود. الکترونها در انواع مختلف نانولولههای کربنی، نوسانهایی با بسامد زاویهای بلاخ متناسب با میدان الکتریک

Author:

دیدگاهتان را بنویسید

نشانی ایمیل شما منتشر نخواهد شد. بخش‌های موردنیاز علامت‌گذاری شده‌اند *