مکانیک، حوضه، تونل، مشتقات، جبری، الاستیک

هنر تونلسازی، نشانگر این مطلب است که مانند بسیاری دیگر از علوم و فنون بیشتر رشد این هنر در قرن گذشته صورت گرفته وتا حال نیز ادامه دارد.
هم اکنون کارشناسان در زمینههای مختلف کاربرد تونلها،مزایای متفاوت و گوناگونی را بر میشمرند.از آن جمله ویلت، استفاده فزاینده فعلی از فضاهای زیر زمینی را به دلایل زیر رو به افزایش دانسته است.
– تفرق محیط ساختاری به معنای وجود یک حصار و ساختار طبیعی فراگیر
– عایق سازی با سنگ های فراگیر که دارای ویژگی های عالی عایقها می باشند.
– محدودیت کمتر در احداث سازه های بزرگ به دلیل نیاز کمتر به استفاده از وسایل نگهداری عمده در مقایسه با احداث همان سازه بر روی سطح زمین.
-کمتر بودن تاثیرات منفی زیست محیطی.
از دیگر مزایای تونل ها در راههای ارتباطی می توان به:
-کوتاهتر شدن مسیرها و افزایش راندمان ترافیکی.
– بهبودمشخصات هندسی مسیر
– جلوگیری از خطرات ریزش کوه و بهمن
– ایمنی بیشتر در برابر زلزله
مثال های متعددی می توان از نقش و تاثیر عمده تونل سازی و پروژه های بزرگ این صنعت از گذشته تا حال ذکر کرد. تونل مشهور مونت بلان دو کشور فرانسه و ایتالیا را به هم متصل می سازد.عملیات ساختمانی آن در سال 1959 آغاز گردید و حفر این تونل فاصله بین میلان و پاریس را به 304 کیلومتر، کوتاهتر نموده است. از دیگر نمونهها کشور فنلاند است که سازه های زیر زمینی را به صورت غارهای عظیم بدون پوشش بتنی، به منظور انبار مواد نفتی مورد استفاده قرار داده و در حال حاضر بیش از 75 انبار نفتی در سراسر کشور فنلاند با گنجایشی بیش از 10 میلیون متر مکعب ساخته شده است.
1-4- مروری برتکنیکهای عددی در مکانیک سنگ:بحث در مورد روشهای عددی موجود در سنگ بسیار مفصل، پیچیده و دارای جزئیات فراوان است. در این فصل سعی خواهیم داشت مروری بر روشهای عددی در سنگ، اساس تئوری آنها، نقاط ضعف و قوت هر روش و دامنهی کاربرد آنها بپردازیم.
نظر به اینکه مدلهای مکانیکی برای طراحی سازههای مهندسی سنگی در شرایط مختلف و اهداف متفاوت توسعه پیدا کرده است، و چون تکنیکهای مدلکردن متفاوت نیز پیشرفت چشمگیری داشتهاند، ما اکنون یک پهنهی وسیعی از روشهای مدل و طراحی را داریم. این روشها میتوانند به روشهای مختلف ارائه گردند. یک گروهبندی در 8 رویکرد بر پایه 4 روش در دو سطح در شکل1-3 نشان دادهشده است. کار طراحی و مدلکردن با هدف در بالای شکل1-3 آغاز میگردد. سپس هشت روش مدل کردن در مرکز شکل نشان داده شدهاست. 4 ستون نیز روشهای اصلی مدل کردن را نشان میدهند]7[.

شکل1-3- روشهای اساسی تحلیل مکانیک سنگ توسط مرجع]7[
روش A طراحی بر اساس تجربیات قبلی
روش B طراحی بر اساس مدلهای ساده شده
روش C طراحی بر اساس مدل کردن مناسبترین مکانیزمها
روش D طراحی بر اساس روشهای عددی توسعه یافته
در قسمت مرکزی شکل دو سطر وجود دارد. سطر بالایی یا همان سطر اول، که در آن کوششی برای تبدیل مکانیزم یک به یک در مدل انجام یافته است، مانند رابطه صریح تنش کرنش. اما در سطر دوم، روشهایی داریم که در آنها تبدیل مکانیزمها مستقیم نمیباشد، مانند سیستم طبقهبندی سنگ.
مطلب مهم اینست که در طراحیهای مهندسی سنگ بدست آوردن دادههای سنگ بسیار مهم است و این دلیل باعث توسعه روشهای تجربی مانند طبقهبندی سنگ میباشد.
عمومیترین روشهای عددی کاربردی در مکانیک سنگ مطابق زیر میباشند.
1-روشهای پیوستاری مانند روش تفاضل محدود، روش اجزای محدود، روش اجزای مرزی
2-روشهای مجزا مانند روش اجزای مجزا،
3-روشهای ترکیبی پیوستاری/ مجزا
انتخاب روشهای مجزا یا پیوستاری به تعداد زیادی فاکتورهای مشخص بستگی دارد که مهمترین آنها هندسه مسئله و مقیاس آن میباشد. روشهای پیوستاری بیشتر زمانی قابل استفاده میباشند که نمونه مورد نظر دارای تعداد کمی درزه باشد ویا در صورت وجود درزه، بازشدگی درزهها وقطعات بلوکه شده ناشی از آنها،زیاد تاًثیر گذار نباشند. روشهای مجزا بیشتر زمانی قابل استفاده میباشند که تعداد درزهها بسیار زیاد باشند و امکان استفاده از روشهای پیوستاری با المانهای درزهای وجود نداشته باشد. هیچکدام از این روشها برتری مطلقی نسبت به دیگری ندارد، اگرچه تعدادی از نقاط ضعف یک روش میتواند بوسیله ترکیب این دو روش مدل کردن، از بین برود]8[.
1-4-1- روش تفاضل محدود:روش تفاضل محدود قدیمیترین روش عددی برای بدست آوردن حل تقریبی برای معادلات دیفرانسیل با مشتقات جزئی در مهندسی مخصوصاً در دینامیک سیالات، انتقال حرارت و مکانیک جامدات میباشد. مفهوم اصلی این روش جایگزین کردن مشتقات جزئی تابع مورد نظر(مثلاً تغییر مکان) بوسیلهی تفاضلات تعریف شده روی بازههای مشخص در جهات مختصات x∆،y∆، z∆ که منجر به یکسری معدلات جبری از تابع مورد نظر بر روی شبکهای از نقاط روی حوضه مورد نظر مانند شكل 1-،4 میشود.

شکل1-4- شکل نحوهی مش بندی روش تفاضل محدود

شکل 1-5- طرحی از مدل تفاضل محدود 5 نقطهای
با اعمال شرایط مرزی و حل معادلات جبری مقادیر تابع در تمام نقاط بدست میآید.معادلات دیفرانسیل با مشتقات جزئی مرسوم، از یکسری مشهای منظم مستطیلی استفاده میکند.با استفاده از طرح استاندارد روش تفاضل محدودکه طرح تفاضل 5 نقطهای نامیده میشودمعادله روش تفاضل محدود حاصله در نقطه (i,j) به صورت ترکیبی از مقادیر تابع در 4 نقطه مجاورش نوشته میشود. برای یک معادله تعادل برای مصالح الاستیک در فضای 2 بعدی معادلات تعادل تفاضل محدوددر نقطه (i,j) مطابق زیر است.
1-1 2-2
در جایی که ضرایب و توابعی از مشخصات الاستیک جسم و بازههای x∆،y∆ وونیروهای گرانشی در نقطه (i,j) میباشند.با گردآوری کلیه معادلات برای تمام نقاط به یک سیستم از معادلات جبری میرسیم که میتوانیم به روش مستقیم یا سعی و خطا حل کنیم.این طرح را برای بازههای زمانی، نیز میتوانیم انجام دهیم. به اینصورت مقادیر تابع در زمان t را به وسیله مقادیر بدست آمده در t-بدست میآوریم.
همانطور که قبلاً اشاره کردیم اساس روش تفاضل محدود بر اساس تبدیل معادلات مشتقات جزئی به یکسری معادلات جبری از طریق جایگزینی مشتقات با تفاضلات نقاط مجاور آن میباشد. سیستم شبکهبندی مستطیلی یک روش مرسوم میباشد. البته هر چه بازهها کوچکتر باشد خطاها نیز کمتر میشود. لازم به ذکر است که در این روش ما هیچگونه تابع شکل برای تقریب معادلات مشتقات جزئی در نقاط مجاور، مانند آنچه در روش اجزای محدود و یا روش اجزای مرزی به کار گرفته میشود، نداریم. در نتیجه میشود گفت که این روش مستقیم تر و قابل درکتر میباشد.
روش تفاضل محدود با شبکه مستطیلی یکسان و یک اندازه، دارای نواقصی نیز میباشد که از آن جمله میتوان به ناتوانی در مدل کردن درزهها،شرایط مرزی پیچیده و مصالح ناهمگن اشاره کرد.در نتیجه در مکانیک سنگ اجرایی، ناکارآمد میباشد. اگر چه با استفاده از شبکههای نامنظم(چهار ضلعی) میتوان تا حدودی این نقیصه را برطرف کرد.
از مهمترین نرمافزارهای تجاری موجود در زمینهی تونل که بر اساس این روش عمل میکنند میتوان بهFlac 2D و Flac 3D اشاره کرد.
1-4-2- روش اجزای محدود:اگرچه بحث اصلی تقسیم بندی یک حوضه توسط کارانت (1943) وپراگر(1947) آغاز گردید اما کار بنیادی در زمینه روش اجزای محدودتوسط تورنر (1956) وقتی که المانهای مثلثی برای آنالیز سازهها ابداع گردیدند، انجام شد. اولین بار روش اجزای محدود برای مسائل کرنش صفحهای بکار گرفته شد. آرگاریس(1960) روش ماتريسي را برای آنالیز سازهها با استفاده از رابطه تغییر مکان ونیرو بر مبنای اصل کار مجازی ارائه داد. این روش به سرعت مورد قبول واقع شد و در خیلی از زمینههای مهندسی و و علوم مورد استفاده قرار گرفت.
اندازه وشکل المانهای موردنظر، به میزان دقت مورد نیاز ما از این تحلیل بستگی دارد.این روش پرطرفدارترین روش عددی در علوم مهندسی از جمله مکانیک سنگ و مهندسی تونل میباشد. مقبولیت این روش به خاطر انعطاف و توانایی آن در مقابل ناهمگنی و ناهمسانی مواد،شرایط مرزی پیچیده،درزههاو مسائل دینامیکی میباشد. تمام ابن مزیتها باعث شد که این روش در حدود سال 1960 تا 1970 یعنی زمانی که روش عددی اصلی تفاضل محدود بود،گسترش یابد.
المان اتصال گودمن شناختهشدهترین المانها در مقالات مکانیک سنگ و پرکاربردترین در برنامههای اجزای محدود و مسائل اجرایی میباشد. ضخامت صفر المان گودمن سبب شرایط نامرغوب که ناشی ازمقدار زیاد نسبت ابعاد المان به هم میباشد، میگردید.البته این ایراد به مرور زمان و توسط المانهای بهبود یافته برطرف گردید.
مشبندی فضاهایی با سازههای داخلی پیچیده و مرزهای خارجی پیچیدهتر، یک کار طاقت فرسا برای مسائل اجرایی خواهد بود. مسئله بحرانیتر خواهد شد وقتی با مسائل سه بعدی و هندسه پیچیده سروکار داشته باشیم. در دهه اخیر تلاشهای زیادی بعنوان “روش كاهشمش” برای کم کردن این سختیها انجام گرفته است. در این روش، trial functions با شکل استاندارد خود فرقی نمیکنند، فقط از نقاط مجاور خود با یک حوضه تاثیر بوسیلهی تقریبهای مختلف، مانند روش حداقل مربعات، ایجاد شدهاند]9[.
با تمام این تلاشها رفتار شناسی گسیختگی و رشد ترکها و درزها،بزرگترین مانع در مسیر استفاده از روش اجزای محدود در مکانیک سنگ و مهندسی تونل بود. هنگام شبیهسازی روند توسعه گسیختگی، روش اجزای محدودناچار به استفاده از مشهای ریز میباشد. این ایراد باعث شد روش اجزای محدود در برابر مسائل گسیختگی سنگهای درزهدار، از اثر کمتری نسبت به روش اجزای مرزی برخوردار باشد. با این وجود، الگوریتمهای خاصی برای غلبه بر این نقصها، مانند تابعهای شکل ناپیوسته برای مدلسازی مجازی شروع و توسعه ترکهای گسیختگی در روش اجزای محدودتکامل یافته، پدیدار شدهاند.
به طور کل برای یک آنالیز اجزای محدود سه مرحله مورد نیاز است :
1- تقسیمبندی حوضه
2- تقریبات محلی(المانی)
3- گردآوری و حل معادله ماتریس کلی
مرحله تقسیم بندی حوضه یا همان مشبندی شامل تقسیم حوضه یا همان جسم مربوطه به تعدادی المانهای محدود داخلی با شکلهای مشخص(مثلاً المان مثلثی سه نقطهای برای حالت 2 بعدی و یا المان مکعب مستطیلی برای 3 بعدی) و تعداد معینی گره میباشد.یک فرض خیلی اساسی در اجزای محدود این است که تابع ناشناخته و غیر معلوم روی هر المان میتواند به صورت یکسری توابع آزمایشی از مقادیر گرهی تابع مجهول و نامعلوم ما،،در فرم چند جملهای تخمین زده شود.این توابع آزمایشی باید بتوانند معادله حاکمرا ارضا کنند وبه صورت زیر نوشته میشوند.
1-3 میشود.N تابع شکل میباشد وMدر جایی که
با استفاده از این فرض میتوانیم معادلات جبری مطابق زیر جایگزین کنیم.
1-4 در جایی که بردار مقادیر گرهی وترکیبی از نیروهای وزنی و شرایط ابتدایی میباشد. بردار بردار مقادیر گرهی از متغیر ناشناخته میباشد. ماتریس ماتريس سختي عضو ميباشد. توسط رابطه 1-5 محاسبه میشود.
1-5 در جایی که ماتریس ماتریس الاستیک و ماتریس هندسی رابط بین تنش و کرنش میباشد.ماتریس سختی کلی و ماتریس الاستیک هر دو متقارن میباشند.یکی از کاربردهای عمومی روش اجزای محدود در مواد ناهمگن است که هر قسمت از ماده دارای خواص مخصوص به خود است، در هر منطقه مشخصات مواد را به المانهای همان منطقه منتقل میکنیم. البته این نکته نیز مهم است که درجه تابع شکل در 2 المان مجاور هم باید یکسان باشد تا ناپیوستگی تغییر مکان در لبه بین 2 المان بوجود نیاید]10[.
1-4-2-1-روشهای مشبندی:در این قسمت لازم است برای درک بهتر روش اجزای محدود، توضیحاتی در مورد مشبندی یک حوضه داده شود. روش اجزای محدود یکسری نواقص مخصوصاًدر بحث اثر قفل شدگی و بحثهای مرتبط با نحوهی مشبندی نیز دارد.
دو نوع اثر قفل شدگی درروش اجزای محدودداریم:قفل شدگی عددی و قفل شدگی عضو.قفل شدگی عددی پدیدهای است که در آن تقریب عددی در حدود بعضی از مشخصات ماده یا در هندسه خاص با مشکل مواجه میشود. مثالهای معمول آن ضریب پواسون برای مسائل الاستیک، زمانی که این ضریب برابر 0.5 شود و همچنین قفل شدگی برشی برای پوستهها و صفحات، زمانی که ضخامت آنها بسیار کم شود، میباشد.
قفل شدگی المانی یک ناپایداری عددی به خاطر اعوجاج در مش میباشد،مانند هنگامی که المانهایی با نسبت ابعاد زیاد تحت تاثیر بارهای متمرکز دینامیکی قرار گیرند.مشبندی یک خواسته مهم در روش اجزای محدود برای مسائل اجرایی در سازههای پیچیده و شرایط مرزی پیچیدهتر میباشد.مشبندی باید به اندازه کافی ریز باشد تا تمام سطح شکل را بتواند به خوبی بپوشاند و از طرفی نتایجی با دقت بالا و همگرایی خوب و از همه مهمتر در یک زمان مناسب و اقتصادی ارائه دهد.مسئله هنگامی که با هندسه 3 بعدی روبرو میشویم، پیچیدهتر میشود.همانطور که گفتیم این روش پرطرفدارترین روش و رو به گسترشترین روش برای آینده میباشد.انعطافپذیری در برخورد با مواد ناهمگن و غیر خطی وهم چنین اقتصادی بودن در پروژههای بزرگ و کوچک،از مهمترین برتریهای این روش میباشد.گرچه یکی از برتریهای روش اجزای محدود یعنی قدرت مدل کردن سنگ های درزه دار در روش اجزای مرزی به نحوی بهتر قابل مدل کردن میباشد، اما در کل این روش بسیار پرطرفدارتر میباشد]11[ و ]24[.
1-4-3- روش اجزای مرزی:
برخلاف روشهای اجزای محدودوتفاضل محدود در روش اجزای مرزی ما از همان ابتدا به دنبال حل در فرم ضعیف در سطح کلی و به صورت انتگرالی بر پایه تئوریهای بتی وسمیگلیانامیباشیم. معادله برای یک مسئله الاستیک با محدوده و مرز و بردار واحد خارجی عمود بر آن،ونیروی وزنی ثابت برای مثال انتگرال، بصورت زیر میباشد.
1-6
در جایی که و بردارهای تغییر مکان و نیروهای خارجی بر روی مرز و و هستههای تغییر مکان و نیرو نامیده میشوند. ترم ترم آزاد تعیین شده بهوسیلهی هندسه موضعی سطوح مرزی میباشد. وقتی که نقاط زمینه داخل حوضه باشند.
حل

Author:

دیدگاهتان را بنویسید

نشانی ایمیل شما منتشر نخواهد شد. بخش‌های موردنیاز علامت‌گذاری شده‌اند *