*88

دانشکده آموزشهای الکترونیکی
پایان نامه کارشناسی ارشد مهندسی ابزار دقیق و اتوماسیون در صنایع نفت
کنترل غیرخطی بهینهی جرثقیلهای حامل کانتینر با استفاده از معادلات ریکاتی وابسته به حالت(SDRE) در حضور اغتشاش باد
به کوشش
وحید رحمانی قلعه
استاد راهنما:
پروفسور حمید خالوزاده
تابستان 1392

تقدیم به:
همدلترین یارم، همسر مهربانم، دکتر فاطمه آرامش که با تشویق و سماجتش مجال نداد تا کاهشی در تلاشم برای به سرانجام رساندن این تحقیق انجام پذیرد
و
ستارگان همیشه فروزان آسمان زندگیمان
پدر و مادر گرانقدرمان
سـپاسگـزاری
اکنون که این رساله به پایان رسیده است بر خود فرض میدانم که از استاد ارجمند جناب آقای پروفسور خالوزاده تشکر ویژهای انجام دهم که از ابتدای کار تا به پایان همواره با راهنماییهای لازم و بسیار مفید و ارزشمند، بنده را در انجام هر چه بهتر کار یاری رساندند. همچنین سپاس ویژهای نیز از اساتید محترم جناب آقای پروفسور خیاطیان و جناب آقای دکتر لطفآور میدارم که نهایت تلاش و راهنماییهای لازم را برای ارایه هر چه بهتر و خالی از خطا بودن این اثر به انجام رساندهاند.

چکیده
کنترل غیرخطی بهینهی جرثقیلهای حامل کانتینر با استفاده از معادلات ریکاتی وابسته به حالت (SDRE) در حضور اغتشاش باد
به کوشش
وحید رحمانی قلعه
هدف اصلی از انجام این پروژه، طراحی یک کنترلکنندهی غیرخطی بهینه به منظور کاهش و تضعیف اثر اغتشاش باد بر تاب خوردن جرثقیلهای حامل کانتینر است. اغلب کنترلکنندهها برای این دسته از سیستمها طوری طراحی شده که بار را با بیشترین سرعت وکم ترین تاب خوردن از مبدا به مقصد انتقال دهد، به گونهای که هنگام رسیدن کانتینر به مقصد، تاب خوردن به صورت کامل از بین رفته باشد. در تحقیق حاضر، کنترلکننده را با ایجاد درجات آزادی اضافی به سیستم مکانیکی، جدا از ارابه طراحی کرده، و با اعمال این روش کنترلکننده در حمل بار تداخلی ایجاد ننموده، در نتیجه سرعت حمل و نقل افزایش مییابد. به منظور حفظ ماهیت غیرخطی سیستم، از کنترلکنندهی بهینهی غیرخطی استفاده شد که این عملگر توسعهیافتهی کنترلکنندههای بهینهی خطی میباشند، به گونهای که در این عملگر معادلات ریکاتی، وابسته به حالت است. در تحقیق حاضر با در نظر گرفتن اغتشاش باد، معادلات جدید اثبات گردید، پس از استفاده از این معادلات، مشاهده شد که حذف حرکت تاب خوردن جرثقیل، با شتاب حرکتی قابل قبول ارابه امکان پذیر است.
کلید واژه: جرثقیل حامل کانتینر، کنترل غیرخطی، کنترل بهینه، مدل سازی، اغتشاش باد
فهرست مطالب
عنوان صفحه
TOC o “1-3” h z u 1-فصل اول: مقدمه PAGEREF _Toc358448899 h 11-1-پیشگفتار PAGEREF _Toc358448900 h 11-2-ضرورت طراحی کنترلکننده PAGEREF _Toc358448901 h 31-3-تاریخچه PAGEREF _Toc358448902 h 41-4-رویکرد به مسئله PAGEREF _Toc358448903 h 81-5-ساختار پایاننامه PAGEREF _Toc358448904 h 102-فصل دوم: مدلسازی و شبیهسازی جرثقیلهای حامل کانتینر در حضور اغتشاش باد PAGEREF _Toc358448905 h 112-1-مقدمه PAGEREF _Toc358448906 h 112-2-مدلسازی سیستمهای مکانیکی PAGEREF _Toc358448907 h 112-3-مدلسازی جرثقیلهای حامل کانتینر PAGEREF _Toc358448908 h 132-4-مدلسازی باد PAGEREF _Toc358448909 h 182-5-شبیهسازی جرثقیل حامل کانتینر در حضور اغتشاش باد PAGEREF _Toc358448910 h 212-6-جمعبندی PAGEREF _Toc358448911 h 253-فصل سوم: کاهش و تضعیف اثر اغتشاش توسط کنترلکنندهی SDRE PAGEREF _Toc358448912 h 263-1-مقدمه PAGEREF _Toc358448913 h 263-2-خطیسازی توسعه یافته PAGEREF _Toc358448914 h 293-3-تنظیمکنندههای بهینه غیرخطی PAGEREF _Toc358448915 h 323-4-روشهای حل معادله ریکاتی وابسته به حالت (SDRE) PAGEREF _Toc358448916 h 383-5-کنترلکننده و رویتگر SDRE PAGEREF _Toc358448917 h 403-6-طراحی کنترلکننده در صورت عدم فراهم شدن شرایط لازم برای کنترل PAGEREF _Toc358448918 h 463-6-1- دینامیک مشتق ناپذیر PAGEREF _Toc358448919 h 463-6-2- وجود عوامل تاثیر گذاری که به حالات سیستم وابسته نیستند PAGEREF _Toc358448920 h 473-6-3- وجود عامل وابسته به حالتی که شرط دوم را نقض میکند PAGEREF _Toc358448921 h 493-6-4- متغیرهای حالت ناپایدار و کنترلناپذیر و در عین حال کراندار PAGEREF _Toc358448922 h 503-6-5- غیرخطیگری در ورودی PAGEREF _Toc358448923 h 503-6-6- محدودیت حالتها PAGEREF _Toc358448924 h 513-7-جمعبندی PAGEREF _Toc358448925 h 564-فصل چهارم: کنترل تاب خوردن جرثقیل حامل کانتینر در حضور اغتشاش باد PAGEREF _Toc358448926 h 574-1-مقدمه PAGEREF _Toc358448927 h 574-2-خطیکردن مدل و طراحی کنترلکنندهی خطی برای جرثقیل حامل کانتینر PAGEREF _Toc358448928 h 574-3-طراحی کنترلکنندهی SDRE برای جرثقیل حامل کانتینر PAGEREF _Toc358448929 h 594-4-جمعبندی PAGEREF _Toc358448930 h 695-فصل پنجم: نتایج و پیشنهادات PAGEREF _Toc358448931 h 705-1-نتایج PAGEREF _Toc358448932 h 705-2-پیشنهادات PAGEREF _Toc358448933 h 71مراجع PAGEREF _Toc358448934 h 72پیوست (1) PAGEREF _Toc358448935 h 75پیوست (2) PAGEREF _Toc358448937 h 76صفحه چکیده به زبان انگلیسی: PAGEREF _Toc358448939 h 77
فهرست شکلها
عنوان صفحه
TOC h z c “شکل” شکل ‏11: جرثقیل حامل کانتینر PAGEREF _Toc357999560 h 3شکل‏12-طرح پیشنهادی در [5] برای کنترل حرکات پیچشی توسط دو واگن PAGEREF _Toc357999561 h 6شکل‏13-مدل پیشنهادی کنترل تاب خوردن در[8] PAGEREF _Toc357999562 h 7شکل ‏14- مدل ارایه شده صفحه لغزنده در[14] PAGEREF _Toc357999563 h 9شکل‏21-مدل جرثقیل حامل کانتینر [14] PAGEREF _Toc357999564 h 13شکل‏22: پاسخ سیستم حلقه بازجرثقیل باشتاب ارابهای صفر و بادپایه برابر (m/s)5/0 PAGEREF _Toc357999565 h 23شکل‏23: پاسخ سیستم حلقه بازجرثقیل باشتاب ارابهای صفر و بادپایه برابر (m/s)5/0- PAGEREF _Toc357999566 h 23شکل‏24: پاسخ سیستم حلقه بازجرثقیل باشتاب ارابهای(m/s2)5 درثانیه اول و بادپایه (m/s)5/0 PAGEREF _Toc357999567 h 24شکل‏25:پاسخ سیستم حلقه بازجرثقیل باشتاب ارابهای(m/s2)2درثانیه اول وبادپایه (m/s)5/0- PAGEREF _Toc357999568 h 24شکل‏31: پاسخ سیستم بدون ورودی کنترلی در حضور اغتشاش PAGEREF _Toc357999569 h 44شکل ‏32: پاسخ سیستم و ورودی کنترلی پس از تکرار اول الگوریتم PAGEREF _Toc357999570 h 44شکل ‏33: پاسخ سیستم و ورودی کنترلی پس از تکرار سوم الگوریتم PAGEREF _Toc357999571 h 45شکل‏41: مقایسه پاسخ جرثقیل و ورودی کنترلی، با ارابه بدون شتاب در اغتشاش زون 1 PAGEREF _Toc357999572 h 63شکل ‏42: مقایسه پاسخ جرثقیل و ورودی کنترلی، با ارابه شتابدار در اغتشاش زون 1 PAGEREF _Toc357999573 h 63شکل ‏43: مقایسه پاسخ جرثقیل و ورودی کنترلی، با ارابه بدون شتاب در اغتشاش زون2 PAGEREF _Toc357999574 h 64شکل ‏44: مقایسه پاسخ جرثقیل و ورودی کنترلی، با ارابه شتابدار در اغتشاش زون2 PAGEREF _Toc357999575 h 64شکل ‏45: مقایسه پاسخ جرثقیل و ورودی کنترلی، با ارابه بدون شتاب در اغتشاش زون3 PAGEREF _Toc357999576 h 65شکل ‏46: مقایسه پاسخ جرثقیل و ورودی کنترلی، با ارابه شتابدار در اغتشاش زون 3 PAGEREF _Toc357999577 h 65شکل‏47: مقایسه پاسخ جرثقیل و ورودی کنترلی، با ارابه بدون شتاب در اغتشاش زون4 PAGEREF _Toc357999578 h 66شکل ‏48: مقایسه پاسخ جرثقیل و ورودی کنترلی، با ارابه شتابدار در اغتشاش زون 4 PAGEREF _Toc357999579 h 66شکل ‏49: مقایسه پاسخ جرثقیل و ورودی کنترلی، با ارابه بدون شتاب در اغتشاش زون5 PAGEREF _Toc357999580 h 67شکل ‏410: مقایسه پاسخ جرثقیل و ورودی کنترلی، با ارابه شتابدار در اغتشاش زون 5 PAGEREF _Toc357999581 h 67شکل ‏411: حذف تاب خوردنهای جرثقیل با استفاده از کنترلکنندهی SDRE در یک مسیر در حضور اغتشاش باد PAGEREF _Toc357999582 h 69

فهرست نشانههای اختصاری
عنوان علامت اختصاری
موقعیت ارابه نسبت به مبدا مختصات در راستای محور x (m)موقعیت ارابه نسبت به مبدا مختصات در راستای محور y (m)
طول کابلها l (m)
فاصلهی بین مرکز جرم کانتینر (Gc) و سکوی آن (GS) در راستای محور x xc (m)
فاصلهی بین مرکز جرم کانتینر (Gc) و سکوی آن (GS) در راستای محور y
زاویهی بین کابل و خط عمود بر راستای ex
فاصلهی بین بالای کانتینر تا مرکز جرم (Gc) آن h (m)
فاصلهی بین مرکز جرم ارابه (Gt) و سکوی کانتینر (GS) در راستای محور x c (m)
فاصلهی بین مرکز جرم ارابه (Gt) و سکوی کانتینر (GS) در راستای محور y d (m)
جرم ارابه
جرم سکوی کانتینر
جرم کانتینر که شامل جرم لغزنده نیز میباشد
بردار موقعیت مرکز جرم ارابه (Gt)
بردار موقعیت مرکز جرم سکوی کانتینر (GS)
بردار موقعیت مرکز جرم کانتینر (Gc)
ارتفاع ارابه
ارتفاع سکوی کانتینر
عرض کانتینر
طول کانتینر
شتاب جاذبه
نیروی عمومی که به کانتینر توسط موتور در راستای xc وارد میشود
فصل اول: مقدمهپیشگفتار از ابتدای خلقت انسان تا کنون حمل بار یکی از بزرگترین چالشهای است که بشر با آن مواجه بوده، و به گواه باستانشناسان همواره در تکاپو بوده تا رهیافتی سادهتر و دقیقتر برای آن داشته باشد. یکی از اولین و مهمترین این روشها، اختراع چرخ بوده که با گذر تاریخ این وسیله پیشرفتهای بسیاری داشته به گونهای که در دنیای مدرن امروزی میتوان مدعی بود که حمل هر نوع باری با دقت بسیار بالا امکانپذیر است.
پس از کشف ماشین بخار و بهرهگیری از آن در کشتیها که قدمت آن به بیش از سیصد سال میرسد، بیش از پیش حملونقل دریایی یکی از مطمئنترین و ارزانترین روشها برای حمل بار بوده و امروزه نیز با وجود پیشرفت فراوان در سایر روشهای حملونقل، هنوز هم راه دریایی یکی از بهترین روشها محسوب میشود؛ به گونهای که دسترسی به آبهای آزاد و امکان تجارت دریایی یکی از موارد استراتژیک برای دولتها بهشمار میآید.
امروزه به منظور حمل بارهای خطرآفرین، پرحجم و سنگین در کارخانهها، بندرها، تاسیسات هستهای و سازههای مرتفع از جرثقیل استفاده میکنند.
جرثقیلها را بر اساس ساختاری به دو نوع چرخشی و ستوندار تقسیم بندی میکنند. جرثقیلهای حامل کانتینر از نوع جرثقیلهای ستوندار میباشد. دو نوع جرثقیل حامل کانتینر وجود دارند. این دو عبارتند از: جرثقیل سوار بر ریل مجاور بندر و جرثقیل لاستیک پلاستیکی ستون دار.
جرثقیلهای ستوندار دارای یک ارابه میباشند که به صورت افقی حرکت میکند. بار توسط یک کابل به ارابه وصل میگردد. طول این کابل به هنگام فرآیند بالاکشیدن بار تغییر میکند. اغلب این دسته از جرثقیلها را به صورت یک پاندول ساده مدل میکنند. این جرثقیلها انواع مختلفی دارند که جرثقیلهای حامل کانتینر یکی از آنها میباشد. این جرثقیلها در حمل کانتینر از کشتی به اسکله و بالعکس مورد استفاده قرار میگیرد. ( REF _Ref352004636 h شکل ‏11) نمونهای از این نوع جرثقیلها را نشان میدهد. در این کار به کنترل و مدلسازی این دسته از جرثقیلهای ستوندار میپردازیم.
از اقسام دیگر جرثقیلهای ستوندار، جرثقیلهای ستوندار محلکار و جرثقیلهای ستوندار سوار بر ریل، که به ترتیب در حمل اجناس کوچک در کارخانهها و اجناس سنگین در کارخانهای اتومبیلسازی، کاغذسازی و نورد فولاد استفاده میشوند، میباشند.
جرثقیلهای حامل کانتینر نوع اول، در این کار مدنظر ما خواهد بود. به طور معمول کنترل این دسته از جرثقیلها بر اساس سه عملکرد گذاشتن ارابه (انتقال بار از کشتی به بندر و بالعکس)، بالاکشیدن بار و پایینآوردن آن؛ جداگانه مورد بررسی قرار میگیرند. ما در این کار، روی کنترل فرآیند گذشتن ارابه تمرکز خواهیم کرد. این نوع از جرثقیلها تفاوت مهمی با سایر جرثقیلهای ستوندار دارند، که این تفاوت در داشتن چهار عدد طناب برای بالاکشیدن است؛ به طوریکه این چهار طناب به چهار گوشهی یک تختهی پخشکننده، که بر روی کانتینر قرار گرفته است، وصل میشوند. به این تخته پخش کننده در جرثقیلهای حامل کانتینر، سکوی کانتینر نیز میگویند. این تغییر ساختار، مدل و دینامیک این جرثقیلها را نسبت به سایر جرثقیلهای ستوندار متفاوت میکند. بنابراین دیگر نمیتوان مدل این جرثقیلها را به صورت یک پاندول ساده در نظر گرفت.

شکل STYLEREF 1 s ‏1 SEQ شکل * ARABIC s 1 1: جرثقیل حامل کانتینرضرورت طراحی کنترلکنندهدر جهان مدرن امروزی همگان از اهمیت دستاوردهای اقتصادی افزایش سرعت حملونقل آگاه هستند. یکی از این رهیافتهای افزایش سرعت جابهجایی بار استفاده از کانتینرها به منظور حملونقل بار توسط کشتیها میباشد. از طرف دیگر، در حملونقل دریایی زمان بسیاری به هنگام تخلیه بار و با انتقال آن در کشتی به هدر میرود. این کار بسیار مهم توسط جرثقیلهای حامل کانتینر انجام میشود. بارهای کانتینری در هنگام جابهجایی تاب میخورند. این تابخوردنها ناشی از عنصر اینرسی، که همان بار میباشد، است؛ همچنین این تاب خوردنها با عواملی چون افزایش سرعت و شتاب ارابهی این جرثقیلها و اغتشاشاتی مانند باد تشدید میشوند. تجاوز این تاب خوردنها از حد قابل مجازشان منجر به خطرات سهمگینی خواهد شد. علاوه بر این، در نقطه مقصد نیز باید این تاب خوردنها به صورت کامل حذف گردد. در نتیجه اغلب رانندگان ماهر جرثقیل با کم نمودن به موقع حرکت ارابه از بروز چنین حوادثی جلوگیری میکنند. ایرادی که در انجام به این رویه کاری وجود دارد در این است که ابتدا نیاز به استخدام یک راننده بسیار ماهر در این زمینه خواهیم داشت؛ که این به نوبهی خود هزینه خواهد داشت. دومین مطلب اینکه هر چقدر هم که این رانندگان ماهر باشند؛ باز هم خطر بروز حوادثی ناشی از بیدقتی یا مطلوب نبودن شرایط جسمانی و روانی راننده وجود خواهد داشت. در آخر رانندههای بسیار ماهر هم قادر به حمل بار با بیشترین سرعت ممکن و در عین حال کاهش تاب خوردنها به کمترین مقدار ممکن نیستند. در واقع انسان هیچگاه قادر به حرکت در بهینه ترین مسیر در چنین مسایلی نخواهد بود. بنابراین نیاز به طراحی یک کنترلکنندهی بهینه به منظور کاهش این تابخوردنها ضروری میباشد.
تاریخچهدر کارهایی که تا به حال دیده شده است، نیروی کنترلی را با نیروی تولیدکنندهی حرکت خطی ارابه معادل میگیرند. بنابراین کنترلکننده در حرکت ارابه و در نتیجه سرعت جابهجایی بار تاثیر منفی خواهد داشت. همچنین اکثر این کنترلکنندهها حلقه باز بوده و در نتیجه در مقابل نامعینی و اغتشاش حساس میباشند. در بسیاری از موارد در آنها از شکلدهی ورودی استفاده شده است که یک کنترلکنندهی حلقه باز میباشد. نکتهی آخر در طراحی چنین کنترلکنندههایی ضرورت انجام طراحی مسیر میباشد. در [1]، یک کنترلکنندهی نیروی فعال را برای جرثقیلهای ستوندار طراحی کردهاند. این کنترلکننده دقیقاً روی نیروی حرکت دهندهی ارابه پیاده شده است. با این حال، در [1] ادعا شده است که کنترلکننده در مقابل اغتشاشات عملکرد مقاومی از خود نشان میدهد. در [2]، برای مدل خطی جرثقیلهای حامل کانتینر یک کنترلکنندهی بهینهی خطی ساخته شده است. همچنین این کنترلکننده را عملاً با کمک حسگرهای مناسب پیادهسازی نمودهاند. برای تشخیص جابهجایی تخته پخشکننده از پردازش تصویر با کمک دوربینی تعبیه شده در قسمت تحتانی ارابه و نشانگرهایی بالای تختهی پخشکننده استفاده شده است. برای تشخیص مکان و سرعت ارابه هم به ترتیب از کدکننده و تولیدکنندهی تاکو استفاده شده است. به طور طبیعی خطی بودن مدل و کنترلکنندهی بهینه خواص غیرخطی سیستم را حفظ نمیکند؛ همچنین در این کار، راه حلی برای جداکردن کنترلکننده از ارابه ارایه نشده است. در[3]، یک مدل غیرخطی را به کمک شبکه عصبی کنترل بهینه نمودهاند. در [4]، یک کنترلکنندهی غیرخطی بر مبنای خطیسازی پسخورد برای جرثقیلهای حامل کانتینر طراحی شده است. به علاوه در این کار عمل بالاکشیدن نیز منظور شده است. یکی از مشکلات عمدهی استفاده از این مدلها، عدم توانایی آنها در بیان انحراف پیچشی بار میباشد. این حرکات پیچشی بر اثر بار به مقدار کمی بهوجود میآیند. علاوه بر این، بنا به دلایلی چون عدم برابری طول جفت کابلهای چپ و راست، باد و عدم تعادل در بار موجود در کانتینر تشدید میشوند. بنابراین، علاوه بر کنترل تاب خوردنها باید این پیچشها را نیز کنترل نمود. در [5]، دو راه برای کنترل اینگونه از پیچشها پیشنهاد شده است:
کنترل مستقل جفت طنابهای چپ و راست یا بالاکشیدن و پایینآوردن هر یک از آنها که اگر چه حرکت پیچشی را کنترل میکند، خود میتواند در تشدید تابخوردنها تاثیر منفی بگذارد.
حرکت هر یک از دو جفت کابل، توسط دو واگن تعبیه شده در ارابه، در جهت مخالف یکدیگر روی محور x با نیرویی برابر و مخالف یکدیگر بهطوریکه منجر به تولید یک گشتاور بشود. این گشتاور همان کنترلکنندهی حرکات پیچشی خواهد بود. نحوهی پیادهسازی چنین کنترلکنندهای در REF _Ref355268461 h شکل‏12 آورده شده است.
به منظور رفع مشکل تاثیر کنترلکننده بر روی حرکت ارابه میتوان از عملکرد بالاکشیدن به عنوان کنترلکننده استفاده کرد [6]. بدین صورت که با تغییر طول طناب یک نیروی کجی تولید میشود. به این ترتیب تاب خوردن را میتوان با آن نیروی کج کنترل نمود. مشکلات این کار در پیچیدگی و دشواری مدلسازی میباشد. علاوه بر این وظیفه تغییر طول کابل با رانندهی جرثقیل خواهد بود. بنابراین از زمان فرمان تغییر طول کابل توسط راننده تا شکلگیری این تغییر طول زمانی طول خواهد کشید. در نتیجه نیاز به طراحی کنترلکنندهی با پسخورد تاخیردار میباشد.

شکل STYLEREF 1 s ‏1 SEQ شکل * ARABIC s 1 2-طرح پیشنهادی در [5] برای کنترل حرکات پیچشی توسط دو واگناین کنترلکنندهها به دلیل پسخوردبودن در مقابل نامعینی و اغتشاشات مقاوم هستند. به منظور حفظ خواص غیرخطی سیستم، طراحی کنترلکنندههای غیرخطی مطلوب میباشد که طراحی این کنترلکنندهها برای سیستمهای تاخیردار در [7] نیز انجام شده است. راه کاری دیگر که برای جداکردن کنترلکننده از ارابه در نظر گرفته شده است؛ به این صورت میباشد که در بالای تختهی پخشکننده یک موتور به همراه دمپر و فنر قرار داده شده است [8]. این کار در مدل دو بعدی انجام شده است و به نظر میرسد که رای مدل سه بعدی که دارای چهار کابل میباشد پیادهسازی چنین کنترلکنندهای بسیار دشوار باشد. REF _Ref355268552 h شکل‏13 طرح ارایه شده توسط کیم را برای پیادهسازی چنین کنترلکنندهای، نشان میدهد [8]. کیم در این حالت از بررسی دینامیک ارابه، که دیگر به کنترلکننده ربطی ندارد، چشمپوشی کرده است. او پیشنهاد داده است که حرکت ارابه را به چشم اغتشاش باید دید.
در مورد روشهای مختلف مدلسازی این دسته از جرثقیلها، باید گفت که از روشهای مختلفی بدین منظور استفاده شده است. در [9]، پیشنهاد شده است که این جرثقیلها را به صورت رباتهای موازی مدلسازی کنند؛ تا آن آزادی عمل بیشتر در حرکت آنها نشان داده بشوند. متاسفانه در این کار تنها به شبیهسازی اکتفا شده است و وارد بحث کنترل این مدلها نشده است.

شکل STYLEREF 1 s ‏1 SEQ شکل * ARABIC s 1 3-مدل پیشنهادی کنترل تاب خوردن در[8]به طور کلی مدلسازی جرثقیلها از دو طریق جرم توزیعی و تودهای انجام میشود [10]. در حالت اول، مدل سیستم به صورت معادلات 3 دیفرانسیل با مشتقات جزیی بیان میشود. دِ آندره ناول برای اولین بارچنین مدلسازی را بر روی جرثقیلها انجام داد. بهطوریکه کابل را به صورت یک جرم توزیعی، با شرایط مرزی بار و قلاب به عنوان یک جرم تودهای، در نظر گرفت. متاسفانه، به دلیل استفاده از معادلات دیفرانسیل با مشتقات جزیی، کنترل این دسته از مدلها دشوار خواهد شد. نوع دیگری که بیشتر مورد استفاده قرار میگیرد؛ بر مبنای این است که کابل هیچگونه وزنی ندارد. در نتیجه معادلات دیفرانسیل معمولی برای بیان این دسته از مدلها کافی خواهد بود. مدل تودهای خود نیز به دو نوع کاهشیافته و توسعهیافته تقسیمبندی میشود. اغلب در کارهای انجام شده تاکنون برای مدلسازی جرثقیلهای حامل کانتینر از مدلهای کاهشیافته استفاده میشود. عدم رعایت دینامیک ساختمان جرثقیل و در نظرگرفتن جرثقیل به عنوان ساختاری بدون انعطافپذیری در مدلسازی؛ منجر به افزایش فرکانس ارتعاشات خواهد شد. بنابراین در مدلهای کاهشیافته بررسی کنترلکنندهی جرثقیل با مقادیر واقعی ممکن نبوده و تنها با مقادیر آزمایشگاهی میتوان کنترلکنندههای طراحی شده را بررسی نمود [11]. در صورت فرض کردن مدل به صورت یک پاندول ساده، مدل را مدل کاهشیافته و در صورت در نظر گرفتن ساختمان جرثقیل در دینامیک سیستم، مدل را مدل توسعهیافته مینامند. در کارهای انجامشده معمولاً از مدلکردن موتور صرفنظر شده است. در [12]، با مدلکردن موتور حرکتدهندهی ارابه؛ مدلی الکترومکانیکی برای کنترل جرثقیل بر مبنای اعمال نیروی ورودی بر ارابه، ارایه شده است. با این حال تنها به شیبهسازی اکتفا شده است و در مورد طراحی کنترلکننده کاری انجام نشده است.
رویکرد به مسئلهتا به حال کنترلکنندههای طراحیشده حرکت ارابه را کنترل مینمودند. حتی اگر این کنترلکنندهها بهصورت کاملاً بهینه طراحی میشدند؛ باز هم باید در جاهایی از سرعت حرکت ارابه میکاهیدند. علاوه بر این، رانندگان ماهر جرثقیلهای حامل کانتینر معمولاً این کنترلکنندهها را خاموش میکنند. از آنجا که کنترلکننده ممکن است در حرکت ارابه دخالت کند؛ بعضی مواقع بار را به نقطهای غیر از نقطهی مقصد هدایت میکند [13]. این تداخل در کار، باعث عدم اطمینان رانندگان ماهر به این کنترلکنندهها شده است. دکتر خواجهپور [14] در دانشگاه واترلو پیشنهاد داد که کنترلکننده را در بالای کانتینر قرار دهند. در نتیجه کنترلکننده به صورت کامل از حرکت ارابه مستقل خواهد شد. او این کار را با افزودن یک درجهی آزادی پیشنهاد داد. افزایش این درجه آزادی با قراردادن یک صفحهی لغزنده بین کابین و سکوی آن شکل میگیرد. REF _Ref355269048 h شکل ‏14 ساختار کنترلی پیشنهادی در [14] را نشان میدهد. با توجه به شکل، موتور تعبیهشده در صفحهی لغزنده باعث جابهجایی آن و در نتیجه کاهش تابخوردنهای آن خواهد شد.

شکل STYLEREF 1 s ‏1 SEQ شکل * ARABIC s 1 4- مدل ارایه شده صفحه لغزنده در[14]با این کار طراحی کنترلکننده را نیز سادهترمیکنیم. زیرا با توجه به جدایی کنترلکننده از حرکت ارابه، دیگر نیازی به تولید یک مسیر بهینه در مسئله نخواهیم داشت.
اغلب کنترلکنندههای خطی برای این مدل طراحی شده است، در [15] آقای ماهروئیان در دانشگاه صنعتی خواجهنصرالدینطوسی طراحی یک کنترلکنندهی غیرخطی بهینه برای این دسته از مدلها را انجام داده است؛ اما از اغتشاش باد، که یکی از مهمترین اغتشاشهایی است که اغلب بر روی جرثقیلهای حامل کانتینر تاثیر منفی میگذارد، صرف نظر نمودهاند. در این کار علاوه بر مواردی که در [15] در نظر گرفته شده، اغتشاش باد نیز به سیستم اعمال میشود که برای کاهش اثر آن نیاز به کنترلکنندهی جدید و پیشرفتهتری نیاز میباشد.
ساختار پایاننامهدر فصل دوم مدل جرثقیل حامل کانتینری که در این پایاننامه مد نظر ماست را تشریح میکنیم و سپس معادلات حاکم بر آن را بهدست میآوریم، در ادامه مدل مناسبی را برای اغتشاش باد معرفی مینماییم و سپس عملکرد سیستم به صورت حلقه باز در حضور اغتشاش را مشاهده میکنیم و در انتها ضرورت اعمال کنترلکننده را بر روی سیستم بررسی خواهیم کرد. در فصل سوم ابتدا به معرفی کنترلکنندههای (SDRE) به عنوان توسعه یافتهی کنترلکنندهی خطی بهینه (LQR) به طوریکه معادلات ریکاتی در آن وابسته به حالت میباشند وقتی که به سیستم اغتشاش وارد میشود، میپردازیم. پس از آن مروری بر تاریخچهی استفاده از این کنترلکنندهها، به روشهای مختلف طراحی این کنترلکنندهها، شرایط خاص و سایر نکات مربوط به آن میپردازیم. در فصل چهارم پس از طراحی کنترلکننده مناسب برای سیستم مورد نظر، بر اساس مطالب گفته در فصل سوم، عملکرد سیستم را با اعمال کنترلکننده مشاهده میکنیم و نتایج بهدست آمده را با روش کنترلکنندهی خطی مقایسه میکنیم. در فصل پنجم به ارایه پیشنهادات برای ادامه کار در این زمینه میپردازیم.
فصل دوم: مدلسازی و شبیهسازی جرثقیلهای حامل کانتینر در حضور اغتشاش بادمقدمهدر این فصل، ابتدا به معرفی مقدماتی در مورد مدلسازی سیستمهای مکانیکی میپردازیم. سپس، مدلسازی مورد استفاده در این کار را به صورت کامل برای جرثقیلهای حامل کانتینر بیان مینماییم ودر ادامه نیز یک مدل مناسب برای اغتشاش باد معرفی میکنیم. در انتهای فصل عملکرد سیستم را با اعمال اغتشاش باد در حالتهای مختلف بررسی نموده و ضرورت وجود کنترلکننده را بررسی مینماییم.
مدلسازی سیستمهای مکانیکیدر بسیاری از کاربردها با تعداد متعددی از اجسام صلب سرکار داریم که به شکلی به هم متصلند. به چنین اتصالاتی، قیود میگویند. این قیود یک سری شروط اضافی را برای حرکت نسبی یک جسم به جسم دیگر تحمیل میکنند. این مجموعه از اجسام مقید را سیستم مکانیکی مینامند[16]. جرثقیلهای حامل کانتینر را هم میتوان به صورت یک سیستم دینامیکی در نظر گرفت.
ابتدا به مفهوم درجه آزادی در سیستمهای مکانیکی میپردازیم. درجه آزادی به معنای تعداد حرکات ممکن سیستماتیکی مستقل میباشد. یک جسم صلب در فضای سهبعدی دارای شش درجهی آزادی و در حرکت صفحهای (مدل دوبعدی)، دارای سه درجهی آزادی میباشد.
قیود مکانیکی یا به صورت معادلات جبری و یا نامعادله بیان میشوند. این قیود باعث میشوند که سیستم مکانیکی در یک مسیر محدود، که به آن حرکت قابل قبول میگویند، حرکت کنند. برای اینکه هر جسم در مسیری که قید حرکت آن را به آن محدود کرده حرکت بکند؛ یک نیروی قیدی به آن وارد میشود. استفاده از روابط نیوتون در مدلسازی سیستمهای مکانیکی بسیار پیچیده خواهد بود. دلیل آن هم در این است که اولاً باید تمامی نیروهای قیدی در روابط منظور بشوند. دوماً نیروهای کنش و واکنش بین دو جسم در آن ظاهر شده و تمامی نیروها در معادلات آن به شکل برداری میباشند. سوماً، با استفاده از روش نیوتون برای N جسم، 3N درجه آزادی سیستم در حالت دوبعدی میکاهند. از آنجا که تنها لازم است تعداد معادلات به اندازهی تعداد درجات آزادی سیستم باشند؛ معادلات نیوتون از این لحاظ نیز کار را بسیار پیچیده میکنند.
مدلسازی بر اساس روش لاگرانژ این مشکلات را حل میکند. روش کار به این صورت است که موقعیت هر جسم را به صورت یک بردار در نظر میگیرم. سپس انرژی جنبشی و پتانسیل هر جسم را با استفاده از آن بدست میآوریم. L را به صورت زیر تعریف میکنیم:
STYLEREF 1 s ‏2 SEQ رابطه * ARABIC s 1 1
در استفاده از روش لاگرانژ، بردارهای مختصات را به جهت حرکت برای هر درجهی آزادی انتقال میدهیم. هر یک از این جهات را با qi و نیروی وارد شده بر هریک را با Qi نشان میدهیم. با این حساب برای رسیدن به مدل ریاضی یک سیستم مکانیکی تنها کافی است که رابطهی زیر را برای هر درجهی آزادی بنویسیم:
STYLEREF 1 s ‏2 SEQ رابطه * ARABIC s 1 2
با این حساب، به ازای هر درجهی آزادی یک معادله خواهیم داشت؛ که این به معنای حداقل معادلهی ممکن میباشد.
مدلسازی جرثقیلهای حامل کانتینرهمانطوریکه در REF _Ref354189040 h شکل (‏21) نشان داده شده است؛ هدف ما کنترل مدل پیشنهاد داده شده در[14] میباشد. این سیستم مکانیکی شامل سه جسم ارابه، سکوی کانتینر و کانتینر میباشد. به منظور افزایش درجهی آزادی مکانیکی سیستم، سکوی کانتینر شامل صفحهی لغزنده پیشنهادی میباشد. با این حال به دلیل این که جرم کانتینر به مراتب بیشتر از جرم صفحه لغزنده میباشد؛ جرم صفحهی لغزنده را هم با جرم آنها را به شکل جرم یک جسم (کانتینر) فرض میکنیم.

شکل STYLEREF 1 s ‏2 SEQ شکل * ARABIC s 1 1-مدل جرثقیل حامل کانتینر [14]در این حالت جرثقیل دارای یک درجه آزادی میباشد. (تاب خوردن کابل به اندازه ϕ) با افزودن صفحهی لغزنده و امکان حرکت خطی آن توسط موتور تعبیه شده به آن، یک درجهی آزادی دیگر به ان اضافه میشود. (xc)، در نتیجه دو معادلهی لاگرانژ برای و باید برای آن نوشت. یک ورودی عمومی هم در صفحهی لغزنده توسط موتور به معادلهی لاگرانژ اول وارد میشود. (Qi) در واقع با تغییر فاصلهی بین مرکز جرم سکوی کانتینر توسط کنترلکننده، مرکز جرم کل سیستم مکانیکی تغییر مکانیکی تغییر میکند. این باعث میشود که انحراف کابل به میزان ϕ نیز تغییر بکند. در نتیجه میتوان با اینکار مقدار تابخوردن را تنظیم نمود.
دقت شود که تاب خوردن طناب را با c نیز میتوان حساب کرد. اما بهدست آوردن زاویهی منحرف شدهی ϕ توسط یک پتانسیومتر به مراتب سادهتر از c، که نیاز به حسگرهای پیچیدهی دوربینی دارد، میباشد. بنابراین در اینجا مدلسازی را بر حسب انجام میدهیم.
حال بهدست اوردن معادلات ریاضی جرثقیل دوبعدی توسط روش لاگرانژ میپردازیم. سیستم مکانیکی از سه جسم، ارابه (با اندیس t) سکوی کانتینر ( با اندیسs) و کانتینر (با اندیسc) تشکیل شده است. در این حالت تمامی حرکات خطی میباشند. بنابراین تمامی سرعتهای زاویهای در آن صفر میباشند. در نتیجه انرژی پتانسیل مکانیکی، که مجموعه انرژی هر سه جسم میباشد، توسط رابطهی زیر بهدست میآید:
STYLEREF 1 s ‏2 SEQ رابطه * ARABIC s 1 3
برای بهدستآوردن سرعتهای هر جسم، ابتدا باید بردار موقعیت مرکز جرم هر یک از آنها را حساب نمود. با توجه به REF _Ref354189040 h شکل‏21 بردار موقعیت هر یک از سه جسم در زیر بدست آمدهاند:
STYLEREF 1 s ‏2 SEQ رابطه * ARABIC s 1 4

با مشتقگیر از هر یک از بردارهای موقعیت بالا، بردار سرعت هر یک از اجسام به صورت زیر خواهند شد:
STYLEREF 1 s ‏2 SEQ رابطه * ARABIC s 1 5
برای بهدست آوردن مقدار مربع سرعت هریک از بردارهای بالا به منظور استفاده از آنها در رابطهی REF _Ref355304743 ‏23 با استفاده از جدول ابزار سیمبولیک متلب مقادیر آن را به صورت ساده شده بهدست آورده و در متغیری جدید که را محاسبه میکند قرار میدهیم. (پیوست 1)
برای بهدست آوردن انرژی پتانسیل جرثقیل، موقعیت اجسام را از مبدا مختصات در راستای z بررسی میکنیم. با ابن حساب، انرژی پتانسیل جرثقیل برابر با مقدار زیر خواهد شد:
STYLEREF 1 s ‏2 SEQ رابطه * ARABIC s 1 6
با قراردادن این مقدار در متغیر V، همانطوریکه در پیوست1 نشان داده شده است؛ مقدار L را از طریق رابطه REF _Ref354191999 h ‏21 بدست میآوریم. در مرحلهی بعد باید دو بار رابطهی( REF _Ref354192117 h ‏22) را بر حسب و بازنویسی نمود. به دلیل حجم بالای روابط، در این مرحله نیز با استفاده از جعبه ابزار سیمبولیک متلب دو رابطه را بدست میآوریم. (پیوست 1)
STYLEREF 1 s ‏2 SEQ رابطه * ARABIC s 1 7
حال تنها کافی است که رابطهی بالا را بر حسب معادلات حالت بنویسیم تا مدل دوبعدی غیرخطی جرثقیلهای حامل کانتینر بدست بیاید. برای این کار، ابتدا تغییر متغیر زیر را انجام میدهیم:
STYLEREF 1 s ‏2 SEQ رابطه * ARABIC s 1 8
بنابراین رابطهی( REF _Ref354194338 h ‏27) پس از اعمال تغییرات موجود در رابطهی ( REF _Ref354194364 h ‏28) به شکل زیر خواهد شد:
STYLEREF 1 s ‏2 SEQ رابطه * ARABIC s 1 9
حال رابطهی ( REF _Ref354225035 h ‏29) را به شکل رابطهی ماتریسی بازنویسی میکنیم:
STYLEREF 1 s ‏2 SEQ رابطه * ARABIC s 1 10
از آنجاییکه ما در این کار تنها به جرثقیل در هنگام جابهجایی بار از مبدا به مقصد میپردازیم و به عمل بالاکشیدن و پایینکشیدن بار توسط جرثقیل کاری نداریم؛ طول کابل در این روابط ثابت میباشد. بنابراین، و برابر صفر میباشند. بنابراین در ادامه برای سادگی روابط از عباراتی که شامل این دو پارامتر میباشند؛ صرفنظر خواهیم نمود.
حال معادلات را به صورت افاینرابطه ( REF _Ref355301786 ‏211) بازنویسی مینماییم،
STYLEREF 1 s ‏2 SEQ رابطه * ARABIC s 1 11
با ضرب ماتریسA-1 از راست در رابطهی ( REF _Ref354233257 ‏210) به مدل افاین برای جرثقیل خواهیم رسید. محاسبه مربوط به چنین ضربی بسیار پیچیده است و توسط جعبه ابزار سیمبولیک متلب انجام شده است. (پیوست2) با اعمال چنین ضربی، B(z) و f(z) در حالت افاین به ترتیب برابر خواهند بود با:
STYLEREF 1 s ‏2 SEQ رابطه * ARABIC s 1 12

STYLEREF 1 s ‏2 SEQ رابطه * ARABIC s 1 13

مدلسازی اغتشاش بادهنگامی که تابش خورشید به طور نامساوی به سطح ناهموار زمین می رسد، باعث ایجاد تغییرات در دما و فشار میگردد، آنگاه باد به وجود می آید. علاوه بر عوامل فوق عوامل دیگری مانند مشخصات توپوگرافی و تغییرات فصلی دما، توزیع انرژی باد را تغییر میدهد.
اولین مدل باد در سال 1981 توسط واسینکزوک و همکارانش معرفی شد. که مدل باد را به صورت ترکیبی از دو جمله مولفه ثابت برابر با مقدار متوسط سرعت باد و مولفه نویز دایمی به عنوان نوسانات سرعت باد معرفی نمود.[17]
دومین مدل که در واقع کامل ترین آنهاست در سال 1983 توسط اندرسون و همکارانش بیان شد که باد را ترکیبی از چهار مولفه ثابت, شیب، تندباد و نویز دایمی معرفی کرد.[18]
در سال 1995کارینیوتاکس و همکارانش مدل باد را به صورت ترکیبی از دو جمله مولفه ثابت برابر با مقدار متوسط سرعت باد و مولفه تند باد به صورت یک ترم کسینوسی با دامنه متغیر معرفی نمودهاند.[19]
با توجه به اینکه مدل ارائه شده توسط اندرسون کامل ترین مدل است و سایر مدل های استفاده شده در مقالات از این مدل گرفته شده است، و در این کار نیز از این مدل بهره بردهایم، به معرفی کامل این مدل می پردازیم.
مدل باد انتخاب شده برای این شبیه سازی یک مدل 4 مولفهای است که شامل مقدار ثابت, تندباد، تغییرات تند(شیب)، و یک نویز پس زمینه است و به وسیله معادله زیر معرفی می شود.
STYLEREF 1 s ‏2 SEQ رابطه * ARABIC s 1 14
که در آن :
VWB : سرعت باد پایه بر حسب متر بر ثانیه
VWG : مولفه تندباد بر سرعت متر بر ثانیه
VWR : مولفه باد به صورت شیب بر حسب متر بر ثانیه
VWN : مولفه باد به صورت نویز بر حسب متر بر ثانیه است.
این چهار مولفه باعث می شود که یک انعطاف معقول در مطالعه مدل باد داشته باشیم.
مولفه سرعت باد پایه در این شبیه سازی با معادله زیر معرفی می شود.
STYLEREF 1 s ‏2 SEQ رابطه * ARABIC s 1 15
که KB یک عدد ثابت است.
مولفه تندباد به صورت معادله زیر معرفی می شود.
STYLEREF 1 s ‏2 SEQ رابطه * ARABIC s 1 16
که در آن:
STYLEREF 1 s ‏2 SEQ رابطه * ARABIC s 1 17
و پارامترها به صورت زیر است.
TG = زمان تناوب بر حسب ثانیه
T1G = زمان شروع تندباد بر حسب ثانیه
MAXG = پیک تندباد بر حسب m/s
t = زمان بر حسب ثانیه
اغلب یک تابع کسینوسی(یک پریود زمانی) برای مولفه تندباد فرض میشود. این مولفه به عنوان یک مولفه ضروری در مطالعات دینامیکی باد در نظر گرفته می شود.
مولفه باد به صورت شیب به صورت معادله زیر معرفی میشود.
STYLEREF 1 s ‏2 SEQ رابطه * ARABIC s 1 18
که در آن
STYLEREF 1 s ‏2 SEQ رابطه * ARABIC s 1 19
و پارامترها به صورت زیر است:
T1R = زمان شروع شیب بر حسب ثانیه
T2R = زمان حداکثر شیب بر حسب ثانیه
MAXR = حداکثر شیب بر حسب m/s
t = زمان بر حسب ثانیه
لازم به ذکر است که در معادلات فوق T2R > T1R می باشد. این تابع می تواند با انتخاب T2R کمی بزرگتر از T1R به عنوان تخمینی از تغییرات پله مطرح شود. همچنین مقدار MAXR می تواند عددی منفی باشد، که در این صورت شیب مولفه منفی خواهد بود.
آخرین مولفه سرعت باد, مولفه نویز تصادفی است که به صورت زیر تعریف می شود.
STYLEREF 1 s ‏2 SEQ رابطه * ARABIC s 1 20
که در آن:
STYLEREF 1 s ‏2 SEQ رابطه * ARABIC s 1 21
و یک متغیر تصادفی با چگالی احتمال یکنواخت در فاصله است.
تابع Sv(wi) یک تابع چگالی طیفی است که توسط وایکایتیس به صورت زیر تعریف شده است.[18].
STYLEREF 1 s ‏2 SEQ رابطه * ARABIC s 1 22
که در آن:
KN = ضریب سختی سطح (بدون دیمانسیون)
F= فاکتور آشفتگی بر حسب (m)
= متوسط سرعت باد در ارتفاع مرجع بر حسب (m/s)
مطالعات مختلف نشان می دهد که مقادیر نتایج با بالاترین دقت را تولید میکند.
شبیهسازی جرثقیل حامل کانتینر در حضور اغتشاش بادبا توجه به توضیحات قسمت قبل در رابطه با مدل غیرخطی جرثقیلهای حامل کانتینر و معرفی یک مدلسازی مناسب برای اغتشاش باد، عملکرد سیستم را با اعمال اغتشاش باد مشاهده کرده و ضرورت وجود کنترلکننده را بررسی مینماییم.
برای اینکه اغتشاش باد را به سیستم اعمال نماییم، با توجه به اینکه توصیف سیستم به صورت افاین (رابطهی( REF _Ref354229992 h ‏31)) صورت گرفته است؛ معادلات سیستم را به صورت زیر بیان میکنیم:
STYLEREF 1 s ‏2 SEQ رابطه * ARABIC s 1 23
که در این معادله D برابر اغتشاش وارد شده به سیستم میباشد. با توجه به معادله REF _Ref354420039 h ‏223 اغتشاش باد بر مشتق حالات اول و سوم ( و )اثر خواهد گذاشت. در واقع معادلات سیستم با حضور اغتشاش باد به قرار زیر خواهد شد:
STYLEREF 1 s ‏2 SEQ رابطه * ARABIC s 1 24
نکته قابل توجه در معادله REF _Ref354421089 h (‏224) اینست که واحد اندازهگیری بر حسب () میباشد که با واحد اندازهگیری اغتشاش باد یکسان است؛ اما واحد اندازهگیری بر حسب () است که باید اغتشاش باد را بر طول طناب تقسیم نمود تا کلیه معادلات به درستی سیستم را توصیف نماید.
مورد دیگری که باید مورد توجه قرار داد ایناست که اغتشاش وارد شده در رابطه اخیر، مقدار اغتشاش موثر بر سیستم میباشد. برای مثال ممکن است مقدار باد پایه برابر (m/s)5 باشد اما مقدار اغتشاش موثر بر جرثقیل حامل کانتینر که منجر به افزایش سرعت سیستم میشود حدود (m/s)1 باشد. در ادامه مطالبی که گفته میشود منظور از اغتشاش، اغتشاش موثر بر سیستم میباشد.
حال با توجه به توضیحات داده شده عملکرد یک جرثقیل حامل کانتینر را با اعمال اغتشاش باد بررسی مینماییم.
ابتدا پارامترهای جرثقیل را تعیین میکنیم. این مقادیر را در زیر مشاهده میکنید:
STYLEREF 1 s ‏2 SEQ رابطه * ARABIC s 1 25
برای اعمال اغتشاش باد به سیستم فرض میکنیم فقط پارامتر باد پایه داریم و مقدار سایر پارامترها برابر صفر است. نتایج را برای دو مقدار باد پایه و درحالتهای شتابدار وغیرشتابدار ارابه مشاهده میکنیم:
STYLEREF 1 s ‏2 SEQ رابطه * ARABIC s 1 26
اکنون پاسخهای سیستم را با پارامترهای معرفی شده در رابطه ( REF _Ref354424497 h ‏225)، در حالتهایی که باد پایه برابر مقادیر رابطه ( REF _Ref354772320 h ‏226) است و همچنین در حالتهایی که شتاب برابر صفر و شتاب در ثانیه اول برابر (m/s2)2 با مقادیر اولیه رابطه ( REF _Ref354471529 h ‏227) در 15 ثانیه مشاهده میکنیم.
STYLEREF 1 s ‏2 SEQ رابطه * ARABIC s 1 27

شکل STYLEREF 1 s ‏2 SEQ شکل * ARABIC s 1 2: پاسخ سیستم حلقه بازجرثقیل باشتاب ارابهای صفر و بادپایه برابر (m/s)5/0
شکل STYLEREF 1 s ‏2 SEQ شکل * ARABIC s 1 3: پاسخ سیستم حلقه بازجرثقیل باشتاب ارابهای صفر و بادپایه برابر (m/s)5/0-
شکل STYLEREF 1 s ‏2 SEQ شکل * ARABIC s 1 4: پاسخ سیستم حلقه بازجرثقیل باشتاب ارابهای(m/s2)2 درثانیه اول و بادپایه (m/s)5/0
شکل STYLEREF 1 s ‏2 SEQ شکل * ARABIC s 1 5:پاسخسیستمحلقه بازجرثقیلباشتابارابهای(m/s2)2درثانیهاولوبادپایه (m/s)5/0-همانطوریکه در شکلهای 2-2، 2-3، 2-4 و2-5 مشاهده میشود پاسخ سیستم حلقه باز در هر دو مقدار باد پایه مثبت و منفی، متغیر حالت اول () ناپایدار شده و برای سایر متغیرها نیز رفتار نوسانی را مشاهده میکنیم. این پاسخها بیانگر اینست که کانتینر از صفحه لغزنده جدا شده و به جلو( REF _Ref355312009 شکل‏22) و به عقب(شکلهای2-3، 2-4 و2-5) پرتاب میشود. نکته قابل توجه اینکه با داشتن شتاب در حرکت ارابه میزان انحراف صفحه لغزنده نیز افزایش مییابد؛ و در واقع میتوان نتیجه گرفت کنترل کانتینر در این حالت به مراتب دشوارتر از حالتی است که ارابه شتابی ندارد. البته این مسئله از اول هم بدیهی بود و تلاش طراحان کنترلکننده بر امکان افزایش شتاب ارابه میباشد. با این کار سرعت حمل و نقل در بنادر بالا میرود.
جمعبندیدر این فصل پس از اینکه یک مدلسازی غیرخطی برای جرثقیلهای حامل کانتینر بر اساس مکانیزم پیشنهادی [14]و همچنین اغتشاش باد معرفی شد، در حالتهایی که ارابه فاقد شتاب و همچنین شتاب (m/s2)2 در ثانیه اول خود داشت با اعمال اغتشاش باد پاسخ سیستم بسیار نامطلوب بود، به گونهای که رفتار یکی از حالتها بسیار ناپایدار شد، که این پاسخ نامطلوب با وجود شتاب ارابه تشدید میگردید، همچنین رفتار سایر حالتها نیز ناپایدار میشد. همانطور که انتظار میرفت، با توجه به نتایج بهدست آمده از رفتار سیستم وجود یک کنترلکننده برای عملکرد صحیح سیستم اجتناب ناپذیر میباشد. در فصلهای آینده نحوه طراحی و عملکرد این کنترلکننده را بررسی مینمایم.

فصل سوم: کاهش و تضعیف اثر اغتشاش توسط کنترلکنندهی SDREمقدمهدر طول دهههای 50 و 60 میلادی، کاربردهای مهندسی هوا و فضا، به منظور اینکه یک تابع معینی را کمینه بکنند، بهطور وسیعی به تشویق دانشمندان برای توسعهی کنترل بهینه پرداختند. نتیجه حاصل از این کاربردهای بسیار مفید، به طراحی تنظیمکنندهها (که در آن یک حالت پایداری باید حفظ بشود.) و استراتژی کنترل ردیاب (که در آن یک مسیر از پیش تعیینشده را باید تعقیب بکنند.) منجر شد. مسالهی مسیر بهینهی پرواز برای فضاپیماها، در میان این کاربردها، قرار دارد. به طور خاص نظریهی کنترل بهینه خطی، به شکل کاملاً گستردهای مورد استناد و کاربرد قرار گرفته است. کارخانه تحت کنترل، در این نظریه خطی فرض شده است. همچنین پسخورد در آن، با توجه به ورودی آن، به صورت خطی محدود شده است. اگر چه در سالهای اخیر، به دلیل در دسترس بودن ریزپردازندههای با توان مصرفی پایین قدرتمند، به پیشرفتهای قابل ملاحظهای در نظریه و کاربردهای کنترل غیرخطی رسیدهایم.
امروزه در دورهی رقابتی، تغییر سریع در تکنولوژی و اکتشافات فضایی، به دقتی بالا درهزینههای کنترل سیستمهای غیرخطی نیاز است. این مساله باعث سرعت بخشیدن به توسعهی سریع کنترل غیرخطی، به منظور کاربردهای بوجود آمده برای به مبارزه طلبیدن مسایل پیچیدهی دینامیکی موجود در جهان، شده است. این کاربردها، به طور خاص، اهمیت کاربری بالایی در هوا فضا، زیردریاییها و صنایع دفاعی دارند. اگرچه، با وجود پیشرفتهای اخیر بسیاری از مسایل حل نشده باقی ماندهاند، تا حدی که اغلب متخصصین از ناکارآمدی نظریههای کنونی به تنگ آمدهاند. به طور مثال اغلب روشهای توسعه یافته دارای کابردهای محدودی، به دلیل شرایط سختی که به سیستم تحمیل میشوند، میباشند. علاوه بر این، اگر چه بسیاری از روشها از دید نظری توسعهی قابل قبولی داشتهاند؛ ولی کمبود یک استراتژی منحصر به فرد، که علاوه بر پایداری قادر به رسیدن به کارآیی و مقاوم بودن راضیکنندهای در سیستمهای گوناگون غیرخطی باشد، احساس میشود. طراحان سیستمهای کنترلی به تلاش برای رسیدن به الگوریتمهای کنترلی روشمند، ساده و بهینهکنندهی کارآیی(به منظور تدارک یک تعادل بین تلاش کنترلی و خطای حالات) ادامه میدهند.
معادلهی ریکاتی وابسته به حالت (SDRE) در جامعهی کنترل، یک استراتژی مشهور است که در دههی اخیر بسیار مقبول واقع شده است. این استراتژی یک الگوریتم بسیار کار آمدی را برای ترکیب کنترل کنندههای با پسخورد غیرخطی به وجود آورده است. در این روش شرایط غیرخطی را در حالت سیستم، به صورت یک ماتریس سیستم وابسته به حالت وارد میکنیم. در عمل این ماتریس وابسته به حالت، انعطافپذیری طراحی ما را بالا میبرد. این روش را ابتدا پیرسون در سال 1962 ارایه داد. سپس ورنلی و کوک آن را در سال 1975 توسعه دادند. در سال 1988 مراکک و کلوتیر آن را به صورت مستقل مورد بررسی قرار دادند. لازم به ذکر است که فریدلند نیز در سال 1996، به آن اشارهای غیر مستقیم نمود [20].
این روش در بسیاری از کاربردها بکار گرفته شده است. از جملهی این کاربردها میتوان به کنترل موتور همزمان [21]، کنترل موقعیت و ارتفاع فضاپیما [22]، پایدارسازی پاندول معکوس [23] ومدیریت دارو در درمان سرطان [24] اشاره نمود.
به روش شامل فاکتور گرفتن از بردار حالت پارامتری کردن میگویند. ماتریس ضریب حالت در این روش، وابسته به همان بردار حالت میباشد. در نتیجه سیستم غیرخطی ما، تبدیل به یک ساختار خطی غیریکتا خواهد شد. ماتریس حالت این ساختار جدید را، ماتریس ضریب وابسته به حالت مینامند. همانند کنترل بهینهی خطی، باید یک تابعی غیرخطی درجهی دو را بهینه نمود. سپس معادلهی ریکاتیای خواهیم داشت، که با توجه به ماتریسهای وابسته به حالت درون آن، وابسته به حالت خواهد بود. ضرایب این معادله با تغییر نقاط معادلهی حالت، تغییر خواهند نمود. با حل این معادله، به یک پاسخ زیر بهینه خواهیم رسید. عدم یکتایی پارامتری کردن، درجات آزادی بیشتری را ایجاد میکند. میتوان از این افزایش درجات آزادی، برای افزایش کارآیی کنترلکننده استفاده نمود.
نکته قابل ذکر در شرایط غیرخطی، غیرخطی بودن ورودی کنترلکننده میباشد. مشکل این نوع از غیرخطی بودن این است که منجر به پیچیدگی در محاسبات عددی، به منظور پیادهسازی کنترلکننده میشود. به همین دلیل در بیشتر روشهایی که برای حل معادله SDRE ارایه شدهاند؛ سیستم را به صورت افاین در نظر گرفتهاند. در این گونه سیستمها تنها حالات،به صورت غیرخطی میباشند. با دقت در رابطهی REF _Ref354229992 h ‏31 مشاهده میکنید که ورودی کنترلی، وابستگی خطیای وجود دارد.
STYLEREF 1 s ‏3 SEQ رابطه * ARABIC s 1 1
اما ورنلی و کوک به حل معادلهی SDRE در حالت عمومیتری، که حتی در ورودی هم غیرخطی است پرداختهاند[25].
STYLEREF 1 s ‏3 SEQ رابطه * ARABIC s 1 2
این نوع از سیستمها، به یک پیچیدگی مهمی در روش کنترلی بر مبنای معادلات SDRE منجر خواهند شد. دلیل آن هم این است که ما به خاطر غیرخطی بودن ورودی، قادر به یافتن رابطهی مستقیم برای u، که آن u، وابسته به پارامتر x باشد،نخواهیم بود. از آنجا که جرثقیلهای حامل کانتینر ورودی غیرخطی ندارند؛ مدل غیرخطی آنها بهصورت افاین خواهد بود. همانطور که در فصل دوم نیز اشاره شد، در این کار به خاطر اینکه یک اغتشاش خارجی (باد) به سیستم وارد میشود، رابطه افاین به صورت زیر بیان میگردد:
STYLEREF 1 s ‏3 SEQ رابطه * ARABIC s 1 3
خطیسازی توسعه یافتههمانطوری که گفته شد؛ برای کنترل بهینهی غیرخطی از طریق روش SDRE، آن را به صورت ساختاری خطی در نظر میگیریم و سپس مسئله را از طریق روشی مشابه با LQR حل میکنیم. لذا خطیسازی توسعهیافته فرآیندی است که سیستم غیرخطی را از طریق فاکتورگیری به ساختاری مشابه با خطی تبدیل میکند. نامهای دیگر این فرآیند، خطیسازی آشکار و پارامتری کردن با ساختاری وابسته به متغیرحالت میباشند. با در نظر گرفتن سیستم در حالت افاین و با شرط اولیهی f(0)=0 ، همواره یک ماتریس A(x) یافت میشود که در آن:
STYLEREF 1 s ‏3 SEQ رابطه * ARABIC s 1 4
در این رابطه، A از فاکتورگیری بدست میآید. مقدار A برای n>1 در یکتا نخواهد بود. این عدم یکتایی خود موجب افزایش درجهی آزادی طراحی کنترلکننده میشود. یک مقدار از A را میتوان با اعمال رابطهی زیر بدست آورد [26]:
STYLEREF 1 s ‏3 SEQ رابطه * ARABIC s 1 5
برای درک بهتر عدم یکتایی در تعیین A، به مثال زیر دقت کنید:
اگر باشد، از آن جا که:
STYLEREF 1 s ‏3 SEQ رابطه * ARABIC s 1 6
پس یک جواب بدیهی برای A برابر است با:
STYLEREF 1 s ‏3 SEQ رابطه * ARABIC s 1 7
با کمی دقت، میتوان به شکلهای دیگری هم A را حساب نمود:
STYLEREF 1 s ‏3 SEQ رابطه * ARABIC s 1 8

در واقع برای هر داریم:
STYLEREF 1 s ‏3 SEQ رابطه * ARABIC s 1 9
‏‏
رابطهی بالا برای سیستمی با دو متغیر حالت داده شده است. در حالت کلیتر، برای سیستمهایی که دارای چندین متغیر حالت باشند؛ رابطهی زیر را خواهیم داشت [20]:
STYLEREF 1 s ‏3 SEQ رابطه * ARABIC s 1 10
برای درک بهتر رابطهی بالا، فرض کنید که مدل غیرخطی سیستمی، با سه متغیر حالت، بصورت زیر باشد:
STYLEREF 1 s ‏3 SEQ رابطه * ARABIC s 1 11
ماتریس سیستم آن با توجه به رابطهی ( REF _Ref355896410 h ‏39) به شکل زیر خواهد شد:
STYLEREF 1 s ‏3 SEQ رابطه * ARABIC s 1 12
مشاهده میشود که خط اول ماتریس بالا با توجه به رابطهی REF _Ref355897337 h ‏310 شکل گرفته است. خطوط دوم و سوم نیز به ترتیب با استفاده از روابط ( REF _Ref355897337 h ‏310) و ( REF _Ref355897475 h ‏35) شکل گرفتهاند. دلیل استفاده از رابطهی عمومی ( REF _Ref355897337 h ‏310) در این است که از بینهایت حالت ممکن ماتریس سیستم وابسته به حالت، تنها تعداد محدودی از آنها منجر به کنترل پذیر شدن مدل میشوند. اگر ماتریس سیستم اثر هر یک از متغیرهای حالت موجود را در خود داشته باشد ؛ این اثر میتواند باعث افزایش دترمینان ماتریس کنترلپذیری و در نتیجه افزایش کنترلپذیری سیستم بشود. بنابر این با استفاده از رابطهی مذکور به کنترلپذیری نزدیکتر میشویم. دقت شود که ممکن است علیرغم کنترل پذیر بودن مدل، پاسخی نیمه بهینه به ما داده شود . تاکنون الگوریتم مدونی که منجر به یافتن ضرایب ای که منجر به بهینه شدن پاسخ مدل بشود ارایه نشده است. در مورد ماتریس کنترلپذیری برای ماتریسهای سیستم وابسته به حالت باید گفت که باید جفت ماتریسهای نقطه به نقطه چک بشوند. این آزمون کنترلپذیری مختص طراحی کنترلکنندههای SDRE میباشد و با آزمونهای پیچیدهی عمومی کنترلپذیری غیرخطی، که برمبنای جبر لی است متفاوت است، تفاوت دارد [27]. این بینهایت حالت ممکن در انتخاب ماتریسهای سیستم وابسته به حالت، یکی از برتریهای کنترلکنندههای SDRE میباشد. دلیل آن هم در این است که امکان داشتن چندین ماتریس سیستم باعث افزایش درجهی آزادی این دسته از کنترلکنندهها میشود.
تنظیمکنندههای بهینه غیرخطیبااعمال فرآیند خطیسازی توسعه یافته در مدل افاین با در نظر گرفتن اغتشاش باد خواهیم داشت:
STYLEREF 1 s ‏3 SEQ رابطه * ARABIC s 1 13
همانطوریکه گفته شد؛ برای حل مسالهی کنترل تبهینهی غیرخطی، آن را به صورت معادلات خطی با ضرایب وابسته به حالت در نظر میگیریم. لذا روش حل مساله، همانند روش LQR برای سیستمهای خطی میباشد. پس به همان طریق LQR به حل مسئلهی کنترل بهینهی غیرخطی خواهیم پرداخت[28].
مسئهی کنترل تنظیمکنندههای بهینهی غیرخطی افق محدودی را در نظر میگیریم. سیستم موجود در این مسئله را کنترل پذیر، خودکار و غیرخطی (در متغییرهای حالت) تعریف مینماییم.با توجه به رابطهی مذکور، بردار حالت و زمان میباشند؛ که در آن نگاشت توابع B و f ، به ترتیب برابر با و میباشند.
در ضمن میباشد. مبدا x=0 بدون از دست دادن هرگونه عمومیت، به صورت نقطهی تعادلی میباشد که در آن f(0)=0 است. دقت شود که این شرط استفاده از کنترلکنندهی SDRE میباشد. در این طرز بیان به یک تابعی، که معیاری برای کارایی میباشد، نیاز داریم. در نتیجه هدف ما، کمینه کردن این تابعی در زمانی محدود خواهد بود. این تابعی در زیر آمده است:
STYLEREF 1 s ‏3 SEQ رابطه * ARABIC s 1 14
همانطوریکه ملاحظه میشود، ماتریسهای وزنی حالت و ورودی را وابسته به متغیر حالت فرض کردهایم. این نیز یکی دیگر از مزایای کنترلکنندههای SDRE میباشد. دلیل آن هم در این است که به طور مثال میتوان ماتریسهای وزنی را طوری طراحی کرد که با افزایش متغیر حالت، Q(x) افزوده شده و R(x) کاهش بیابد. این نوع از طراحی منجر به حفظ تلاش کنترلی در نزدیکی مبدا میشود. به علاوه ما را از رسیدن به نقطهی تعادل، با وجود دور بودن سیستم از آن، مطمئن میکند.
در یک مسالهی تنظیمکننده باید قانون کنترلیای را یافت، که کارخانه را به حفظ نمودن حالات سیستم آن در صفر(در طول بازهی ([t0 ,T] وادار بکند. این مسئله مبنای روش SDRE برای تنظیمکنندههای غیرخطی را شکل میدهد. برای بهینه کردن تابعی داده شده، رابطه موسوم به همیلتونین را معرفی میکنیم:
STYLEREF 1 s ‏3 SEQ رابطه * ARABIC s 1 15
که در آن L عبارت درون انتگرال رابطه REF _Ref355907516 h ‏314میباشد. را کمک وضعیت مینامند. از آن جا که است، پس اضافه کردن آن به تابعی عملاً بیتاثیر است. هم چنین فعلا از عبارت خارج انتگرال، که تاکیدی بر حالت نهایی دارد، چشم پوشی میکنیم. لازم به ذکر است که به دلیل ثابت بودن این عبارت، این کار پاسخ بهینهی ما را تغییر نمیدهد.
STYLEREF 1 s ‏3 SEQ رابطه * ARABIC s 1 16
حال با وارد کردن همیلتونین در رابطهی ( REF _Ref355908195 h ‏316) داریم:
STYLEREF 1 s ‏3 SEQ رابطه * ARABIC s 1 17
که با انتگرالگیری جز به جز از قسمت دوم عبارت زیر انتگرال، به رابطهی زیر میرسیم:
STYLEREF 1 s ‏3 SEQ رابطه * ARABIC s 1 18
با به دست آوردن نمو J و با فرض ثابت بودن اغتشاش داریم:
STYLEREF 1 s ‏3 SEQ رابطه * ARABIC s 1 19
حال باید نمو عبارت داخل انتگرال را نوشت. برای منظور کردن نمو همیلتونین بر حسب پارامترهای آن، با توجه به دیفرانسیل کامل، داریم:
STYLEREF 1 s ‏3 SEQ رابطه * ARABIC s 1 20
حال باید برای اکسترمم شدن J ، نمو آن صفر بشود. لذا برای صفر شدن رابطهی ( REF _Ref355911824 h ‏320) باید شرایط زیر برقرار گردد:
1-شرط حالت سیستم:
STYLEREF 1 s ‏3 SEQ رابطه * ARABIC s 1 21
2-شرط کمک وضعیت سیستم:
STYLEREF 1 s ‏3 SEQ رابطه * ARABIC s 1 22
3-شرط ثابت:
STYLEREF 1 s ‏3 SEQ رابطه * ARABIC s 1 23
با استفاده از شرط ثابت (رابطهی REF _Ref355912368 h ‏(323))، ورودی کنترلی بهینه بدست میآید:
STYLEREF 1 s ‏3 SEQ رابطه * ARABIC s 1 24
حال باید مقدار را تعیین نماییم. در اینجا ما به روش تقلید از روش رسیدن به معادلهی ریکاتی در مسایل کنترل بهینهی خطی پیش خواهیم رفت [28]. فرضیات ما برای اعمال کنترلکنندههای SDRE عبارتند از:
1- پایدار پذیر بودن سیستم (با تست کنترل پذیری به این شرط خواهیم رسید.)
2- وجود مسیری که تابعی مورد نظر ما را بهینه نماید.
3- در دسترس بودن تمامی حالت سیستم و عدم نیاز به تخمین حالت.
کالمن نشان داد در صورتی که سیستم بدون اعمال اغتشاش باشد، برای هر ماتریس کمک وضعیت در بازهی داریم [29]:
STYLEREF 1 s ‏3 SEQ رابطه * ARABIC s 1 25
حال برای سیستم مورد بررسی در این کار که با اعمال اغتشاش همراه است، ماتریس کمک وضعیت را به صورت زیر بهبود میدهیم:
STYLEREF 1 s ‏3 SEQ رابطه * ARABIC s 1 26
حال با مشتق گرفتن از رابطه ( REF _Ref355913919 h ‏326) داریم:
STYLEREF 1 s ‏3 SEQ رابطه * ARABIC s 1 27
در ادامه با استفاده از روابط ( REF _Ref355914629 h ‏313) و ( REF _Ref355914662 h ‏324) در رابطه بالا خواهیم داشت:
STYLEREF 1 s ‏3 SEQ رابطه * ARABIC s 1 28
حال با قرار دادن سمت چپ رابطه بالا با رابطه ( REF _Ref355944772 h ‏322) خواهیم داشت:
STYLEREF 1 s ‏3 SEQ رابطه * ARABIC s 1 29
در ادامه خواهیم داشت:
STYLEREF 1 s ‏3 SEQ رابطه * ARABIC s 1 30
برای برقراری رابطه ( REF _Ref355946607 h ‏330) باید عبارتهای زیر برقرار گردد:
STYLEREF 1 s ‏3 SEQ رابطه * ARABIC s 1 31
STYLEREF 1 s ‏3 SEQ رابطه * ARABIC s 1 32
با توجه به مطالب گفته شده در قسمت( REF _Ref363899249 n h ‏3-2-) و رابطه ( REF _Ref355897475 h ‏35) خواهیم داشت:
STYLEREF 1 s ‏3 SEQ رابطه * ARABIC s 1 33
و اگر داشته باشیم:
STYLEREF 1 s ‏3 SEQ رابطه * ARABIC s 1 34
با حذف x(t) از طرفین رابطه REF _Ref355974063 h (‏331) داریم:
STYLEREF 1 s ‏3 SEQ رابطه * ARABIC s 1 35
با استفاده از رابطههای ( REF _Ref355976439 h ‏333) و ( REF _Ref355976456 h ‏334) در رابطهی REF _Ref355976542 h (‏332) خواهیم داشت:
STYLEREF 1 s ‏3 SEQ رابطه * ARABIC s 1 36
با دقت در رابطهی ( REF _Ref355977110 h ‏335)، درمییابیم همان معادلهی SDRE میباشد با رجوع به معادلهی ریکاتی معمولی ملاحظه میشود؛ که فرق اصلی این معادله با آن، در وابستگی این معادله به متغیر حالت میباشد. حال با توجه به روابط ( REF _Ref355914629 h ‏313)، ( REF _Ref355914662 h ‏324)، ( REF _Ref355913919 h ‏326) و ( REF _Ref355976456 h ‏334) خواهیم داشت:
STYLEREF 1 s ‏3 SEQ رابطه * ARABIC s 1 37
بدین ترتیب با حل معادلات ( REF _Ref355977110 h ‏335) و ( REF _Ref355980512 h ‏336) میتوان ورودی کنترلی حلقه بسته را یافت. نکته قابل ذکر دیگر این است که در صورتی که به سیستم اغتشاش وارد نشود، همانطور که در بسیاری از کتابهای کنترل بهینه [26] ذکر شده است عبارتهایی شامل حذف میگردد.
در ادامه دو روش تکرار برای حل معادلات SDRE در حالت زمان محدود و نامحدود را بیان میکنیم.
روشهای حل معادله ریکاتی وابسته به حالت (SDRE)در معادلهی ریکاتی معمولی، تنها مجهول P(t) بود. اما برای طراحی سیستمی با اغتشاش که مد نظر در این کار میباشد، باید دو مجهولP(t) و را بهدست آوریم. باید برای بدست آوردن این دو در زمان دلخواه، آنها را به صورت عقبگرد از زمانهای نهایی حل نمود.اما در اینجا ضرایب با توجه به نقطهی x که در آن هستیم تغییر میکنند. پس برای اجرای فرمان عقبگرد، به منظور حل معادلهی SDRE، نیاز به مقدار متغیر حالت در هر زمان دلخواه داریم. مشکل از این جا شروع میشود که ما تنها مقدار اولیهی x را داریم. همچنین برای بهروزکردن متغیر حالت نیاز به ورودی میباشد که خود نیاز به مقدار P و در زمان مورد نیاز وابسته است. لذا کار برای حل معادلات SDRE به مراتب دشوارتر از معادلهی ریکاتی خواهد شد. تاکنون روشهای متعددی برای حل این نوع معادلات ارایه شده است. ما در این کار جرثقیل حامل کانتینر را با دو روش زمان محدود و نامحدود برای حل معادلهی SDREکنترل میکنیم.
ابتدا روش حل تکرار معادلهی SDRE، ارایه شده توسط دکتر خالوزاده[26]، که توسط مهندس بیکزاده درستی آن به اثبات رسیده [30]، را شرح میدهیم. حسن این روش، در سادگی پیادهسازی آن است. این روش برای سیستمهای افاین به کار میرود. روش کار به این صورت است که ابتدا سیستم را بدون ورودی فرض میکنیم. در نتیجه متغیرهای حالت را تا زمان نهایی، به صورت زیر بهدست میآوریم:
STYLEREF 1 s ‏3 SEQ رابطه * ARABIC s 1 38
سپس معادلهی SDRE را به کمک متغیرهای حالت بدست آمده از رابطهی ( REF _Ref355349251 h ‏338)، به صور عقبگرد حل میکنیم. در نتیجه تمامی P و ها در رابطههای ( REF _Ref355977110 h ‏335 REF _Ref355980512 h ‏) و (336) بدست میآیند. لازم به ذکر است که در حل این معادله به صورت عقبگرد، از روش حل انتگرالی در معادلات ریکاتی تقلید میکنیم. یعنی در رابطهی ( REF _Ref355977110 h ‏335 REF _Ref355980512 h ‏) و (336) ، به جایو ، به ترتیب و را بازنویسی میکنیم [31]. سپس معادله را بر حسب P(t-1) و ، به صورت عقبگرد حل میکنیم. حال با داشتن Pها، قادر به بدست آوردن سیگنال کنترلی K از طریق رابطهی ( REF _Ref355976456 h ‏334) خواهیم بود. سپس با توجه به مقادیر بدست آمده و استفاده از آن در رابطهی REF _Ref356122523 h (‏337) ورودی کنترلی بدست میآید.
دوباره مراحل گفته شده را تکرار میکنیم، ولی این بار در رابطهی ( REF _Ref355349251 h ‏338) از ورودیهای بدست امده از رابطهی ( REF _Ref355976456 h ‏334)، برای به روز کردن متغیرهای حالت سیستم استفاده میکنیم. این تکرار را آنقدر ادامه میکنیم تا تغییرات u قابل چشمپوشی بشود.
روش حل این معادله در حالت نامحدود به این شکل است که با داشتن x0، ماتریسهای A(x0) و B(x0) را خواهیم داشت و در نتیجه میتوان معادلهی ریکاتی را به صورت یک معادلهی ریکاتی معمولی بر حسب ماتریسهای ثابت A(x0) و B(x0) به صورت نامحدود حل کرد. سپس با مقدار P و و در نتیجه ورودی کنترلی بدست آمده از حل مسالهی کنترل بهینه خطی(LQR) در این مرحله؛ مقادیر حالت سیستم را به روز نمود. در مرحلهی بعد مسالهی کنترل بهینهی خطی را به طریق گفته شده بر حسب ماتریسهای ثابتA(x1) و B(x1) حل نموده و این مراحل را در هر زمان تکرار نمود.
کنترلکننده و رویتگر SDREدر صورت عدم دسترسی به حالات سیستم به رویتگرها نیاز میباشد. در طراحی تخمینگر بهینه باید آنها را به صورت دوگان کنترلکنندههای بهینه در نظر بگیریم [31]. سپس، همانند روش خطی، آن را با کنترلکننده ترکیب میکنیم. تابعی را به صورت ز یر در نظر میگیریم:
STYLEREF 1 s ‏3 SEQ رابطه * ARABIC s 1 39
حال دوگان آن چه را که برای ورودی بهینه ا نجام دادیم، تکرار میکنیم. تنها به تر تیب به جای A، B و K از AT ، CT و LT استفاده میکنیم. بنابراین معادلات SDRE با وجود اغتشاش چنین خواهد شد:
STYLEREF 1 s ‏3 SEQ رابطه * ARABIC s 1 40
STYLEREF 1 s ‏3 SEQ رابطه * ARABIC s 1 41
معادلهی دوگان رابطهی REF _Ref356122523 h (‏337)، چنین میشود:
STYLEREF 1 s ‏3 SEQ رابطه * ARABIC s 1 42
توجه داشته باشید که برای طراحی رویتگر SDRE باید سیستم به صورت نقطه به نقطه رویتپذیر باشد. این بهمعنای رتبهی کامل بودن جفت ماتریسهای به صورت نقطه به نقطه میباشد. همچنین برای افزایش درجهی آزادی، ماتریسهای وزنی U و V وابسته به حالات نیز میتوانند باشند. به علاوه برای این که عملکرد رویتگر از کنترلکننده سریعتر باشد، تا خطای تخمین هر چه سریعتر صفر بشود، ماتریس وزنی U را 4 تا 10 برابر بزرگتر از Q باید در نظر گرفت.
به منظور استفاده از الگوریتم تکرار [26]، برای طراحی همزمان کنترلکننده و تخمینگر SDRE ابتدا به صورت خارج از خط و با در نظر گرفتن سیستم بدون ورودی حالات را بدست میآوریم. سپس، با توجه به حالات به دست آمده ماتریس سیستم وابسته به حالت و ماتریس ورودی را خواهیم داشت. در نتیجه با توجه به اصل جداپذیری معادلات SDRE مربوط به کنترلکننده (رابطههای ( REF _Ref355977110 h ‏335) و ( REF _Ref355980512 h ‏336)) را حل کرده و ضریب کنترلکننده را بدست میآوریم. در مرحلهی بعد با استفاده از حل معادلهی SDRE رویتگر ضریب L را بدست میآوریم. سپس با استفاده از L و K ، حالتهای تخمینزده شده را به صورت زیر بهروز میکنیم:
STYLEREF 1 s ‏3 SEQ رابطه * ARABIC s 1 43

دقت کنید که در رابطهی بالا مقدار اولیهی حالات تخمینی را به صورت دلخواه حدس میزنیم و سپس با ترتیب رابطهی بالا آن را به روز میکنیم. برای تکرارهای بعدی رابطهی( REF _Ref356724333 h ‏343) را، بعد از حل معادلات SDRE رویتگر و کنترلکننده در هر تکرار، را تکرار میکنیم. حال برای یک مثال ارایه شده در [26] کنترلکننده و رویتگر SDRE را طراحی میکنیم. معادلهی حالات این سیستم غیرخطی در زیر آمده است:
STYLEREF 1 s ‏3 SEQ رابطه * ARABIC s 1 44
ماتریس سیستم وابسته به حالت آن پس از اعمال خطیسازی توسعه یافته به شکل زیر میشود:
STYLEREF 1 s ‏3 SEQ رابطه * ARABIC s 1 45
ماتریس B و C برابر خواهد بود با:
STYLEREF 1 s ‏3 SEQ رابطه * ARABIC s 1 46
سپس کنترلپذیری آن را به صورت نقطه به نقطه چک میکنیم:
STYLEREF 1 s ‏3 SEQ رابطه * ARABIC s 1 47
مشاهده میشود که ماتریس کنترلپذیری برای تمام رتبه کامل میباشد و لذا سیستم کنترلپذیر خواهد بود. به همین ترتیب همانطور که در زیر ملاحظه میکنید ماتریس رویتپذیری نیز برای تمام رتبهی کامل و در نتیجه سیستم رویتپذیر میباشد.

این نوشته در مقالات ارسال شده است. افزودن پیوند یکتا به علاقه‌مندی‌ها.

دیدگاهتان را بنویسید

نشانی ایمیل شما منتشر نخواهد شد. بخش‌های موردنیاز علامت‌گذاری شده‌اند *