*391

1336723140335 دانشکده علوم پایه
گروه فیزیک
پایاننامه کارشناسیارشد رشته فیزیک حالت جامد
عنوان پایاننامه:
تاثیرمیدان مغناطیسی،دما،وپهنایمحدودپتانسیل برخواص گازالکترونی دوبعدی
استاد راهنما
دکتر ابراهیم صادقی
استاد مشاور
دکتر رضا خرداد
پژوهشگر
اسماعیل جوکار نصرآباد علیا
مهر ماه 1393

13727230
تاثیرمیدان مغناطیسی،دما،وپهنای محدودپتانسیل برخواص گازالکترونی دوبعدی
به وسیلهی :
اسماعیل جوکار
پایان نامه
ارائه شده به تحصیلات تکمیلی دانشگاه به عنوان بخشی از فعالیتهای تحصیلی لازم برای اخذ درجه
کارشناسی ارشد
در رشته :
فیزیک حالت جامد
در تاریخ 15/7/1393 توسط هیئت داوران زیر بررسی و با درجه عالی به تصویب نهایی رسید.
استاد راهنما : دکتر ابراهیم صادقی با مرتبه علمی دانشیار امضاء
استاد مشاور : دکتر رضا خرداد با مرتبه علمی استادیارامضاء
استاد داور داخل گروه: دکتر عباس ظریفی با مرتبه علمی استادیارامضاء
استاد داور خارج گروه: دکتر پارسا زمانی با مرتبه علمی استادیارامضاء
نماینده تحصیلات تکمیلی دانشگاه: دکتر مهدی شریفزاده با مرتبه علمی استادیارامضاء
مهر ماه 1393

تقدیر و تشکر
سپاس بیکران پروردگار یکتا را که هستیمان بخشید و به طریق علم و دانش رهنمونمان شد و به همنشینی رهروان علم و دانش مفتخرمان نمود و خوشهچینی از علم و معرفت را روزیمان ساخت.
بدون شک جایگاه و منزلت معلم، اجّل از آن است که در مقام قدردانی از زحمات بی شائبه او، با زبان قاصر و دست ناتوان، چیزی بنگاریم، اما به رسم وظیفه:
ازپدر و مادر عزیزم، این دو معلم بزرگوارم، که همواره بر کوتاهی و درشتی من، قلم عفو کشیده و کریمانه از کنار غفلتهایم گذشتهاند و در تمام عرصههای زندگی یار و یاوری بی چشم داشت برای من بوده‌اند؛
از استاد با کمالات و شایسته، جناب آقای دکتر ابراهیم صادقی که در کمال سعه صدر، با حسن خلق و فروتنی، از هیچ کمکی در این عرصه بر من دریغ ننمودند و زحمت راهنمایی این پایاننامه را بر عهده گرفتند؛
از استاد صبور و دلسوز، جناب آقای دکتر رضاخرداد، که زحمت مشاوره این پایاننامه را بر عهده گرفتند
کمال تشکر و قدردانی را دارم. باشد که خردترین بخشی از زحمات آنان را سپاس گویم.
اسماعیل جوکار نصرآباد علیا
دانشگاه یاسوج-گروه فیزیک
مهر 1393

نام: اسماعیل نام خانوادگی: جوکار نصرآّباد علیا
مقطع تحصیلی: کارشناسی ارشد رشته و گرایش: فیزیک حالت جامد
استاد راهنما: دکتر ابراهیم صادقی تاریخ دفاع: 12/7/93
تاثیر میدان مغناطیسی، دما، و پهنای محدود پتانسیل بر خواص گاز الکترونی دو بعدی
چکیده
در این پایان نامه، نخست به معرفی گاز الکترونی و حفرهای دو بعدی پرداخته و سپس تاثیر دما، میدان مغناطیسی خمیده و ضخامت پهنای سیستم دو بعدی بر گاز الکترونی را بررسی کردهایم. پتانسیل شیمیایی و مغناطش گاز الکترونی دو بعدی در حضور میدان مغناطیسی دو مولفهای، دماهای غیر صفر و ضخامتهای مختلف محاسبه و با سایر پژوهشها مقایسه شدهاند. نتایج نشان میدهند که پتانسیل شیمیایی با افزایش ضخامت لایه کاهش مییابد. نتایج همچنین بیانگر این واقعیت هستند که با اعمال میدان مغناطیسی در راستای موازی با سطح لایه الکترون آزاد، پتانسیل شیمیایی دارای تغییرات ناچیزی میگردد.
کلمات کلیدی: پتانسیل شیمیایی، میدان مغناطیسی، مغناطش، پذیرفتاری مغناطیسی

فهرست
عنوان صفحه
فصل اول: پیش گفتار
1-1مقدمه………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………1
1-2گاز الکترونی دو بعدی……………………………………………………………………………………………………………………………………………………..1
1-3گازحفره ای دوبعدی………………………………………………………………………………………………………………………………………………………..2
1-4مروری بر کارهای انجام شده…………………………………………………………………………………………………………………………………………..4
1-5مرور اجمالی بر فصل های آینده ……………………………………………………………………………………………………………………………………4
فصل دوم: ویژگیهای گاز الکترونی دو بعدی
2-1مقدمه ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………..5
2-2ساختار ند لایهای آلاییده مدوله شده……………………………………………………………………………………………………………………………..5
2-3ساختارهای چند لایهایی سیلیکان – ژرمانیم………………………………………………………………………………………………………………….6
2-4چگالی حالات………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………..10
2-5 طبش پذیری و حایل سازی………………………………………………………………………………………………………………………………………..10
2-6ترازهای مقید………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………..13
2-7ساختار درون نواری………………………………………………………………………………………………………………………………………………………14
2-8جوابهایتقریبی برای تابع موج و انرژی : ……………………………………………………………………………………………………………………16
2-9اثرات بس ذرهای……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………18
2-10گذارهای نوری درون نواری………………………………………………………………………………………………………………………………………..19
2-11مغناطش در مواد………………………………………………………………………………………………………………………………………………………..20
فصل سوم بررسی نظری گاز الکترونی دو بعدی
3-1مقدمه …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………..23
3-2هامیلتونی تک ذرات ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………24
3-3پتانسیل شیمیایی ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………..25
3-4خواص ترمو دینامیکی …………………………………………………………………………………………………………………………………………………27
فصل چهارم محاسبه خواص ترمودینامیکی گاز الکترونی دو بعدی.
4-1 مقدمه…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………..28
فصلپنجم: نتایج………………………………………………………………………………………………………………………………..39
منابع…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….40
I

فهرست شکلها
شکل1-1:نمایشیازگازالکترونیدوبعدیدراینحالتالکترون¬هامقیدبهحرکت در یک صفحهاند………………………………………….2
شکل1-2:گازحفرهایدوبعدیدرفصلمشترکلایه¬یسیلسکانولایه¬یسیلیکانژرمانیمتشکیلمی-شود……………………………2
شکل1-3:ترانزیستوراثرمیدانی آلاییدهمدوله شده باکانال نوعpکه گازحفره ای دوبعدی درآن تشکیل میشود.لبه نوارظرفیت نیزنمایش داده شده است…………………………………………………………………………………………………………………………………….3
شکل(2-1الف)SiGe/Si/SiGeحاویگازالکترونی دوبعدی(2DEG)…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………..7
شکل(2-1ب)ساختارهای دورآلاییدهSi/SiGe/Siحاویگ ازحفره ای دوبعدی(2DHG)…………………………………………………….7
شکل(2-1ج) ساختاردریچه دارSi/SiGe/Siحاویگ ازحفره¬ای دوبعدی…………………………………………………………………………7
شکل2-2 : اثرات کرنش برشبکهبلوری〖Si〗_(1-x) 〖Ge〗_xکه برروی زیرلایهسیلیکان رشددادهشده است………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………..8
شکل 2-3: گاف انرژی درساختارچندلایه ای آلاییده مدوله شده………………………………………………………………………………………..9
شکل 2-4: انرژی بستگی ازالکترون¬های ترازسیلیسیوم بابارالکتریکی مثبتeکه بافاصله¬یdازصفحه¬یsi-sio_2قرارداردانرژی برحسب واحدریدبرگ(Ry) ̅^*~43mevوفاصله برواحدشعاع بوهر(a^* ) ̅~2.2nmرسم شده است……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………..14
شکل 2- 5 : مقادیرE0وz0رادرحضوروعدم حضورجملات تصویری رانشان می¬دهد……………………………………………………..18
شکل4-1 : تغییرات انرژی الکترون برحسب پهنای گازالکترونی دوبعدی………………………………………………………………………….13
شکل 4 – 2: تغییرات انرژی الکترون برحسب پهنای لایه درحضورمیدان مغناطیسی………………………………………………………14
شکل4 – 3: تغییرات پتانسیل شیمیایی گازالکترونی دوبعدی برحسب پهنای لایه دردماهای مختلف…………………………….16
شکل4 – 4: تغییرات پتانسیل شیمیایی گازالکترونی دوبعدی برحسب پهنای لایه ودردماهای مختلف…………………………..18
شکل 4 – 5 : تغییرات پتانسیل شیمیایی گازالکترونی دوبعدی برحسب پهنای لایه درحضورمیدان مغناطیسی بازائ دماهای مختلف…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….19
شکل4 – 6 : تغییرات پتانسیل شیمیایی گازالکترونی دوبعدی برحسب پهنای لایه ودردماهای مختلف درحضورمیدان مغناطیسی……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………20
شکل4 – 7: تغییرات مغناطش گازالکترونی دوبعدی برحسب پهنای لایه دردما¬های مختلف………………………………………..23
شکل4 – 8 : تغییرا تمغناطش گازالکترونی دوبعدی برحسب پهنای لایه دردما¬های مختلف درحضورمیدان مغناطیسی……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………24
شکل 4- 9: تغییرات پذیرفتاری مغناطیسی گازالکترونی دوبعدی درمیدانهای مغناطیسی متفاوت…………………………………25
II

II

فصل اول
پیش گفتار
1-1مقدمه
مطالعه گاز الکترونی دو بعدی وگاز حفرهای در ساختار نیم رسانا از اهمیت ویژهای برخوردار است زیرا اخیرأ نتایج حاصل از مطالعه اینگونه ساختارها در نوع جدید از ترانزیستورها که به ترانزیستورهای نوع (MODFET) مشهور میباشد به کار گرفته میشود و این ترانزیستورها عمدتأ در مدارهای مجتمع خصوصأ در تراشه های دیجیتال مورد استفاده قرار میگیرند.
اثر جوزفسون در ساختارهای ابررساناگاز الکترونی دو بعدیابر رسانا با حضور بر همکنش اسپین- مدار در لایهَ نرمال مطالعه شده است]1و2[ در مرجع 1 بر همکنش اسپین- مدار راشبا واثرشکافتگی زیمان اعمال شده وبا در نظر گرفتن مرزهای کاملآ شفاف، نشان داده شده است که اثر بر همکنش اسپین- مدار روی جریان جوزفسون تنها موقعی قابل مشاهده است که اثر شگافتکی زیمان هم وجود داشته باشد.در این صورت اثر جوزفسون به بر همکنش اسپین- مدار وابسته است.در مرجع 2 نیز یک اتصال ابر رسانا- گاز الکترونی دو بعدی ابررسانا با مرزهای کاملآ شفاف در نظر گرفته شده است.با اعمال بر همکنش اسپین- مدار راشبا وبرهمکنش الکترون- الکترون اثبات شده است که تنها زمانی که برهمکنش الکترون- الکترون در محاسبات وارد شود، جریان جوزفسون وابسته به برهمکنش اسپین- مدار راشبا خواهد بود.
1-2 گاز الکترونی دو بعدی
دو صفحه رسانای موازی به دو قطب یک باطری متصل میکنیم صفحه متصل به قطب منفی دارای چگالی بار منفی است. در صورتی که ضخامت صفحه به اندازه کافی کوچک باشد الکترونها تنها میتواننددر یک صفحه جابجا شوند و به عبارت دیگر در دو بعد تحرک داشته باشندو به این صورت میتوانیم الکترونهای دو بعدی را تجسم نماییم.
شکل(1) نمایی ازگازالکترونی دوبعدی را نشان میدهد. دراین حالت الکترون ها مقید به حرکت در یک صفحه اند.

شکلSEQ شکل * ARABIC1-1: نمایشی از گاز الکترونی دو بعدی. دراین حالتالکترونها مقید به حرکت در یک صفحهاند.
1-3 گازحفره ای دوبعدی
در صورتی که ماده نیمرسانا آلاییده نوع p باشد در آن صورت جایگاه تراز فرمی در ناحیه ممنوع و بالاتر از مرکزگاف انرژی است. حال اگر یک نیمرسانا با گاف نواری کم بین دو ماده نیمرسانای آلایش یافته نوع p ساندویچ شوددر آن صورت تغییر تراز ظرفیت مطابق شکل زیر خواهد بود و تراز فرمی نوار ظرفیت را قطع می کند . در این حالت نیز یک چاه پتانسیل کوانتومی شکل می گیرد که حفره ها در آن تجمع نموده و گاز حفره ای دو بعدی تشکیل می گردد و همچنان که ذکر شد میزان تحرک پذیری این حفره ها در چاه بسیار زیاد است، اما کمتر از تحرک پذیری الکترونهای دو بعدی است در شکل ( 2 ) ساختار مدوله آلاییده شده که به روش برآراستی پرتو مولکولی فراهم شده

شکل1-2:گاز حفره ای دو بعدیدر فصل مشترک لایهی سیلسکان و لایهی سیلیکان ژرمانیم تشکیل میشود
.
است نشان داده شده و لبه نوار ظرفیت و رسانش نیز نمایش داده شده است . تراز فرمی نوار ظرفیت را قطع نموده و چاه کوانتومی مثلثی شکل ایجاد شده است که گاز حفره ای دو بعدی در این چاه کوانتومی تشکیل می گردد. از ساختار های چند لایه ای که به این روش تهیه شده اند برای مطالعه ترابرد حاملهای گاز دو بعدی در چاه کوانتومی استفاده می شود یکی از کاربرد های این گونه ساختارها ایجاد ترانزیستور های اثر میدانی آلاییده مدوله شده (MODFET ) میباشد . به ترانزیستورهایی که با استفاده از این تکنیک ساخته می شوند و در آنها گاز الکترونی دو بعدی در فصل مشترک دو لایه مجاور تشکیل می شود ترانزیستورهای با تحرک الکترونی زیاد (HEMT) نیز گفته می شود. در یک چنین ترانزیستوری لایه گاز الکترونی دو بعدی به عنوان کانال عبور جریان مورد استفاده قرار می گیرد ، جریان عبوری از ناحیه کانال با استفاده از پتانسیل اعمال شده به دریچه فلزی که باعث تغییر چگالی بار سطحی می گردد قابل کنترل است. با مثبت تر شدن پتانسیل گیت شاتکی ، به دلیل افزایش میزان خمیدگی نوار ،سد پتانسیل ایجاد شده در ناحیه پیوند افزایش یافته و چاه پتانسیل مثلثی شکل عمیق تر می گردد که این امر سبب افزایش چگالی بار سطحی حاملها در گاز الکترونی دو بعدی و در نتیجه باعث افزایش جریان کانال می گردد برعکس با کاهش پتانسیل مثبت گیت شاتکی) منفی تر شدن پتانسیل گیت) سد پتانسیل در ناحیه گاز دو بعدی کاهش یافته و چگالی سطحی حاملها تا جایی که چاه پتانسیل مثلثی حذف گردیده و جریان کانال قطع می گردد. همچنین در ترانزیستور های اثر میدانی دریچه دار با کانال نوع p می توان با تغییر پتانسیل دریچه چگالی گاز حفره ای دو بعدی ایجاد شده در کانال SiGe را کنترل نمود .در مدار های کلید و یا مدار های منطقی معمولاً با قطع و وصل ترانزیستور سروکار داریم . در این موارد باید به محدودیت سرعت قطع و وصل ترانزیستور توجه نموده و با توجه به فرکا نس قطع و وصل مورد نظر ، قطعه مناسب را انتخاب نمود . هر چه میزان تحرک پذیری حاملهای گازی(الکترون یا حفره) در لایه فعال بیشتر باشد ، سرعت ترانزیستور بیشتر و زمان سوییچینگ ترانزیستور نیز کوتاهتر خواهد بود. در این نوع ترانزیستور ها گاز حفره ای دو بعدی با تحرک بالا در لایه فعال ایجاد می شود . فرکانس قطع این ترانزیستور گیگا هرتز است .
.

شکل1-3: ترانزیستوراثرمیدانی آلاییده مدوله شده باکانال نوعpکه گازحفره ای دوبعدی درآن تشکیل میشود . لبه نوارظرفیتنیز نمایش داده شده است.
1-4 مروری بر کارهای انجام شده
خواص فیزیکی گاز الکترونی دو بعدی زمانی که در میدان مغناطیسی عمودبر صفحهی حرکت قرار میگیرند توسط پیتر]3[ و همکارانش بررسی شد. این گروه اثرات برهمکنش اسپین مدار راشبا و خواص فیزیکی گاز الکترونی دو بعدی مربوط به نیمه رساناهایی که تحت تاًثیر پتانسیل دورهای ضعیف یک بعدی قرار دارند (1DPP) را بررسی کردند. آنها نشان دادند که اثر اصلی پتانسیل ضعیف یک بعدی در این سیستمها گسترش ترازهای انرژی در نوار بوده و پهنای نوار به شدت میدان مغناطیسی اعمالی بستگی دارد]5-4 .[ اخیرا راموس [6] و همکارانش خواص ترمودینامیکی و ترابردی گاز الکترونی شبه دو بعدی (Q2DEG) تحت تاثیر میدان مغناطیسی مایل را بررسی کردهاند. در این تحقیق آنها اثر راشبا و زیمن را بر این سیستم مشاهده نمودند. آنها مشاهده کردند که میدان مغناطیسی سبب ترکیب حالتهای اسپینی و برهمکنش راشبا سبب ترکیب سطوح لاندائو می شود. توسط اثر زیمان این ترکیب شدنها باعث برداشتن تبهگنی شده و شکل جدیدی از رسانندگی هال تولید میکند. آنها همچنین مشاهده کردند که این اثر در دماهای بالاتر از 15 کلوین و نیز در میدانهای بالاتر از 8 تسلا ناپدید میشود. راموس و همکارانش دریافتند که اثر پتانسیل دورهای ضعیف یک بعدی سبب هموار شدن پله ها در اثر کوانتومی هال میشود [7]. تاثیر پهنای محدود گاز الکترونی دو بعدی بر روی پلاسمونهای طولی توسط بکس [ 8] و همکارانش در سال 1992 بررسی گردید. تاثیر پهنای گاز الکترونی دو بعدی بر خواص فیزیکی توسط راموس و همکارانش در سال 2011 تحقیق شده است.
در این پایان نامه قصد بررسی تاثیر همزمان میدان مغناطیس مایل، دما و پهنای گاز الکترونی دو بعدی بر خواص فیزیکی این سیستمها نظیر پتانسیل شیمیایی، تراوایی مغناطیسی، انرژی آزاد هلمهولتز و … را داریم. در این راستا این پایان نامه به فصلهای زیر دسته بندی میشود.
1-5 مرور اجمالی بر فصل های آینده
در فصل اول به معرفی گاز الکترونی دو بعدی پرداخته و تحقیقات انجام شده تاکنون بر روی آنها را بطور مختصر بیان نمودهایم.
فصل دوم با عنوان ویژگیهای گاز الکترونی دو بعدی به معرفی انواع گازهای الکترونی پرداخته و برخی از ویژگیهای مهم این سیستم ها را بیان میکنیم.
در فصل سوم نخست به معرفی سیستم مورد نظر در این پایان نامه پرداخته و سپس به بیان معادلات مورد نیاز و اثبات روابط میپردازیم. فصل چهارم تحت عنوان محاسبه خواص ترمودینامیکی گاز الکترونی دو بعدی آورده شده و نتایج حاصل از محاسبات و شکلهای مورد نیاز ترسیم و مورد بحث قرار گرفتهاند. در فصل پنجم بطور اجمالی نتایج و پیشنهادات ذکر شده است.

فصل دوم
ویژگیهای گاز الکترونی دو بعدی
2-1 مقدمه
گاز الکترونی فقط بخشی از یک دنیای بزرگ از سیستمهای دو بعدی دینامیکی است که اخیراً مورد توجه زیادی قرار گرفتهاند. با استفاده ازمفاهیم دینامیک دو بعدی میتوان برای این سیستمها یک حرکت آزاد در دو بعد و یک حرکت اجباری در بعد سوم در نظر گرفت ]16[.
2-2 ساختار چند لایهای آلاییده مدوله شده
ساختار مدوله آلاییده(یا دور الاییده شده)برای نخستین بار توسط Dingleو Stomerبر پایه ساختار چندلایهای (ناهمگن) GaAs/Ga1-xAlxAsجهت ایجاد گاز الکترونی دو بعدی با تحرک بسیار زیاد ابداع گردید]9[.این ساختار ناهمگون به (MOSFET)شباهت دارد،ساختار ماسفت نیز نوعی ترانزیستور اثر میدانی است که در آن به ترتیب از لایههای نیم رسانا به عنوان کانال فعال، لایهّ نارسانا مانند اکسید سیلیکان به عنوان لایهّ جداگر و لایهّ فلزی ساخته میشود وبا تغییر ولتاژ لایهّ فلزی تحرک حاملها در نیم رسانا کنترل میشود. در ساختارهای مدوله الاییده به جای عایق،نیم رسانایی با شکاف انرژی بزرگ رشد داده میشود. در ترانزیستورهای اثر میدانی فلز-نیم رسانا که با استفاده ترکیبات V-III ساخته میشود باید رسانندگی کانال تا حد ممکن زیاد باشد.دراین ترازیستور ها برای افزایش رسانش کانال باید چگالی ناخالصیها در کانال افزایش یابد و این در حالی است که افزایش این چگالی اغلب سبب افزایش پراکندگی کولنی توسط یونهای ناخالصی و در نتیجه کاهش میزان تحرک پذیری حاملهای بار میشود.بنابر این باید با روشی غیر از روش آلایش معمولی (مستقیم)،میزان تراکم حاملها را در کانال افزایش داد. یکی از روشهای موجود برای انجام این کار، رشد یک لایه نازک آلایش نیافته (لایه بدون نا خالصی)با گاف انرژی کم به عنوان چاه کوانتومی که توسط لایههای آلاییده با گاف نواری بزرگتر احاطه شده است میباشد.به عبارت دیگر یک لایه نازک آلایش نیافته با گاف انرژی کمتر بین دو لایه آلاییده با گاف انرژی پهن تر قرار میگیرد.به این گونه ساختارها، مدوله آلاییده شده گفته میشود.گاز الکترونی یا حفرهای در فصل مشترک بسیار کامل و صاف دو لایه تشکیل میشود.بر خلاف ماسفت، در این سیستمها، چگالی حاملهای بار در حالت کلی ثابت است. در واقع به علت اختلافی که بین فاصله باندهای انرژی این دو نیم رسانای ناهمگون وجود دارد، ناخالصیهای موجود در قسمت SixG1-x نزدیک به محل اتصال، یونیزه میشوند و الکترونهای آنها به قسمتSi ،در نزدیکی فصل مشترک دو نیم رسانا منتقل میشوند. این انتقال بار سبب ایجاد میدانهای الکتریکی قوی و خمیدگی لبه باند هدایت در نزدیکی فصل مشترک میشود که در نتیجه آن گاز الکترونی دو بعدی تولید میشود]10[.
2-3 ساختارهای چند لایهایی سیلیکان – ژرمانیم
در شکل(2-الف) ساختار نامتجانسی نمایش داده شده است و گاز الکترونی دو بعدی در بالای لایه سیلیکان (که تحت کرنش کشش قراردارد) تشکیل شده است ]11[. نوار رسانش این ساختار در محل لایه سیلیکون به صورت یک چاه کوانتومی است والکترونهای ناخالصیهای نوع n در لایه مجاور به ترازهای انرژی پایین درون چاه کوانتومی منتقل میشوند و گاز الکترونی دو بعدی را تشکیل میدهند.شکل ( 2-ب) ساختار نامتجانس متفاوتی را نشان میدهد که گاز حفرهای دو بعدی در بالای چاه کوانتومی SiGe (لایه آلیاژی که تحت کرنش فشاری قرار دارد) تشکیل شده است ولی در ساختار دریچه دار شکل (2-ج) گاز حفرهای دو بعدی در پایین چاه کوانتومی تشکیل میگردد وبا اعمال ولتاژ مناسب به دریچه میتوان چگالی سطحی (ns) آن را تغییر داد.
.

شکل(2-1الف)شکل(2-1ب)شکل(2-1ج)
SiGe/Si/SiGeساختارهای دور آلاییدهساختار دریچه دار
حاوی گاز الکترونی دو بعدیSi/SiGe/Siحاوی گاز حفره ای دوSi/SiGe/Si
(2DEG)بعدی(2DHG)حاوی گاز حفرهای دو بعدی
وجود لایه جداگر بین گاز الکترونی یا حفرهای و ناخالصیهای یونیده باعث کاهش پراکندگی کولنی بارهای آزاد در چاه کوانتومی میشود و انتطار میرود که تحرک پذیری حفرها و الکترونها در این ساختارها یکسان باشد. اما تجربه و مطالعات نظری نشان میدهد که تحرک پذیری گاز الکترونی دو بعدی در سیلیکون دهها برابر تحرک پذیری گاز الکترونی در SiGe است و به این منظور مطالعات نظری عوامل پراکندگی الکترونها و یا حفرهها در دمای کم انجام میشود]12[.
به دلیل متفاوت بودن ثابت شبکه لایه فعال چاه کوانتومی ایجاد شده نسبت به لایه های اطراف عدم تطابقی در شبکه بلوری وجود دارد که اگر ضخامت این لایه چاه کوانتومی از یک مقدار بحرانی بیشتر نباشد کرنش( نوعی فشردگی) ناشی از این عدم تطابق در چاه کوانتومی صورت می گیرد، این مسئله در شکل (2-2) نشان داده شده است ]5و6 [. مطابق این شکل لایه چاه کوانتومی متحمل یک اعوجاج از شکل بلوری خود می شود بطوری که برای منطبق شدن با شبکه اطراف فشرده می شود به دلیل همین فشردگی غیر طبیعی است که از آن به عنوان لایه با شکل دروغین یا سودومورفیک یاد می شود]6 . [
ثابت شبکه ژرمانیوم به اندازه 4.2٪ از ثابت شبکه سیلیکون بزرگتر است. بنابراین اگر یک لایه ژرمانیوم بر روی لایه سیلیکون قرار داده شود در آن صورت برای ایجاد بلوری یکسان مطابق شکل (2-3) بازای هر 24 اتم سیلیکون یک اتم در فصل مشترک نمی تواند با اتم ژرمانیوم پیوند برقرار نماید . برای تشکیل یک لایه ا ز جنس Si1-xGex بصورت سودومرفیک بر روی سیلیکون باید این لایه تحت کرنش (Strained ) رشد داده شود و در این صورت تقارن از مکعبی به تتراگونال تغییر می یابد[5] . از نظر بلور شناسی ساختار های تتراگونال دارای سه محور می باشند که بر یکدیگر عمودند . دو محور (محور های افقی (دارای طولهای یکسان هستند ، اما محور عمودی بلند تر یا کوتاهتر از دو محور دیگر می باشد

شکل2-2 :اثرات کرنش برشبکهبلوریSi1-xGexکه رروی زیرلایهسیلیکان رشدداده شده است.
برای لایه های نازک بلوری Si1-xGex که بر روی سیلیکون حجیم رشد داده می شود یک ضخامت ماکزیممی وجود دارد که به ضخامت بحرانی مشهور است شکل (2-2). برای آنکه لایه های بیشتری با زیر لایه همسان شوند انرژی زیادتری برای کرنش مورد نیاز است و به نسبت کرنش اعمال شده نقایصی نیز در شبکه ب لوری ظاهر می شود . برای محاسبه ضخامت بحرانی چنین ساختارهای کرنش یافته مدلهای فراوانی پیشنهاد شده است . ثابت شده است که ایجاد لایه های کرنش یافته بالای ضخامت بحرانی با تعادل زیاد ، به روش برآراستی پرتو مولکولی امکان پذیر است .در این روش بخار حاصل از تبخیر عناصر و یا ترکیبات خاص مورد نظر روی بلور زیر لایه رشد داده میشود. اما ممکن است که بعداً این لایه ها در اثر فرایند های گرمایی تغییر شکل یافته و باعث ایجاد نقایص بلوری شوند .

شکل 2-3:گاف انرژی درساختارچندلایه ای آلاییده مدوله شده
درشکل(2-3) مثالی برای انواع ساختارهایی که می توان با به کار گیری این ر وش ساخت ، نشان داده شده است
لایه ای از سیلیکان بین ( x<1 ) SixGe1-x محصور شده است. وجه های مشترک ( که به پیوند گاه ناهمگون موسومند ، زیرا فصل مشترک بین دو نیم رسانای مختلف می باشند ) در مقیاس طول اتمی تیز اند و لایه های به نازکی چندین فاصله اتمی را می تو ان ساخت[2]. گاف انرژی (فاصله بین نوار رسانش و نوار ظرفیت که به منطقه ممنوعه نیز معروف است) در لایه های مختلف متفاوت است و به طور ناگهانی از یک لایه به لایه دیگر تغییر می کند که سبب خم شدن نوار انرژی می شود و این امر سبب ایجاد چاه کوانتومی در فصل مشترک دو لایه مختلف می گردد
در این بخش تعدادی ازخواص سیستمهای دو بعدی بیان میگردد
2-4 چگالی حالات
قبل از اینکه به جزیِیات گاز الکترونی دو بعدی پرداخته شودبرخی نتایج کلی و اساسی سیستمهای دو بعدی بررسی میگردد. چگالی حالتها در n بعد با تابع موج فضایی بصورت 2π)-n ) رابطه دارد. چگالی حالات گاز الکترونی بر واحد سطح بر واحد انرژی توسط رابطه ی زیر بیان میگردد ]8[.
(2-1) 2πKdKdEDE=2gv12π2در این رابطهgv به عنوان ضریب تبهگنی و یا تعداد نوارهای انرژی مشابه معرفی میشود. ضریب2 نیز بخاطرتبهگنی اسپینی میباشد. با فرض طیفی پیوسته برای انرژی الکترون E=E0+ћ2K22m ، چگالی حالتها بصورت زیر بدست میآید[ 8 ].
(2-2) DE=gvmћ2π, &E>E00 , &E<E0همچنان که دیده میشود چگالی حالات درE0 افزایش ناگهانی داشته (در غیاب بینظمی یا گستردگی ترازها ) و برای انرژیهای بالاتر ثابت میباشد.
هنگامی که فقط نوارهای با انرژی پایین اشغال شوند چگالی الکترونها بر واحد سطح در صفر مطلق،از رابطه زیر بدست میآید[ 8 ].
(2-3) Ns=gvmћ2πEf-E0که در آن Ef انرژی تراز فرمی میباشد. سطح فرمی برای سیستمهای دو بعدی بصورتمنحنی میباشد که به آن خط فرمی نیز میگویند. برای ساده ترین حالت با جرم موثر همسانگرد این منحنی بشکل دایره درمیآید. شعاع این دایره با بردار موج فرمی از طریق رابطه Ns2πgvKf= مشخص میشود.
برای سایر حالتها نخست میبایست وابستگی جرم موثر به انرژی و بردار موج مشخص گردد تا با استفاده از آنها بتوان چگالی حالت را محاسبه کرد. چگالی حالتها در اکثر موارد بصورت عددی محاسبه میگردد.
2-5 قطبش پذیری و حایل سازی
اکثر ویژگیهای گاز الکترونی که در این فصل بررسی میشود به میدان الکترومغناطیسی حساسیت شدید دارند.به عنوان ساده ترین مثال، میتوان به پاسخ یک سیستم به پتانسیل استاتیکی ضعیفی که دارای تغییرات آهسته میباشد اشاره کرد [ 8 ]. برای این منظور فرض میکنیم که گاز الکترونی، درصفحه دارای ضخامتصفر در Z=0 قرار دارد، و توسط دو محیطهمگن با ثابت دیالکتریک Kins (Z<0) و Ksc(0<Z ) احاطه شده است.
در این محیط یک پتانسل الکترواستاتیک ϕ که توسط منبع خارجی تولید شده و با چگال بار الکتریکی ρ متناسب است نیز وجود دارد. این پتانسیل با رابطه پواسون K∇ϕ)=-4πρ ).∇داده میشود که در آن ρρext+ρind =ρ مجموع چگالی بار خارجی و چگالی بار داخلی القایی بوده و ثابت دیالکترک K میتواند به مکان بستگی داشته باشد.
در محدوده طول موجهای بلند چگالی بار القایی در نقطهr در صفحهz=0 فقط تابعی از پتانسیل موضعی دیده شده توسط الکترونها میباشد و در سه بعد توسط مدل فرمی تامسون بصورت زیر داده میشود[ 8 ].
(2-4) ρin=-eNs∅-Ns(0) δ(z)که در آن ϕ(r,0) =∅ و ϕ پتانسیل الکترواستاتیک در نقطهی r بوده که بر روی z متوسط گیری شده است.
پتانسیل ∅ ترازهای انرژی را به اندازهی-e∅ تغییر میدهد، جدایی انرژی فرمی Ef از پایین نوار رسانش نیز برابر eϕ میباشد.
از آنجایی که فرض شد پتانسیل ضعیفی اعمال شود معادله(2-4) را میتوان بصورت خطی در نظر گرفت ]8[.
(2-5) -e2∅rdNsdϕ δz=ρindr=-e∅rdNsdϕ δبر این اساس معادله (2-4)به شکل زیر تغییر مییابد.
(2-6) ∇.K∇∅-2Kqs∅ (r)δZ=-4πρکه در آن qs پارامتر حایل سازی بوده ودارای بعد عکس طول میباشد و بصورت
(2-7) qs=2πe2KdNsdEfداد میشودکه در آنK=ksc+kins2 تعریف میگردد.
معادله متناظر(2-5) در سه بعد برای سیستمهای خطی و همگن بصورت زیر میباشد.
(2-8) ∇2∅-Qs2 ∅=4πρextKمیباشد که در آن Qs به عنوان پارامتر حایل سازی در سه بعد تعریف میشود. زمانیکه Ze را به عنوان بار نقطهای خارجی و در مبداء در نظر میگیریم جواب معادله (2-8) به شکل آشنای (پتانسیل حایل) زیر بدست میآید.
(2-9) ∅=ZeKRe-QsRبرای پیدا کردن پتانسیل کولمبی حایل در کاربردهای دو بعدی از بسط فوریه تابع بسل که با معادله
(2-10) ∅r,z=qAqzj0(qr)dqبیان میشود استفاده میگردد ]8[. که در آن j0 تابع بسل با مرتبه صفر میباشدAqz تابعی از zو q بوده و بیانگر میانگین توزیع الکترون تابع دلتا میباشد و با رابطه Aq=Aq(0) داده میشود.
ضریب بسط فوریه پتانسیل، Aq در صغحه الکترون بصورت زیر بدست میآید ]8.[
(2-11) Aq=Zekeqzq+q برای مقادیر بزرگr، که qs r≥0 شکل مجانبی پتانسیل متوسط دیده شده توسط الکترون با رابطهی
(2-12) ∅r=Zekq2sr31+qsz0داده میشود، با توجه به این معادله، پتانسیل با توان 3 مکان رابطه عکس دارد، پتانسیل برای مورد 3 بعدی بصورت نمایی افت میکند. قطبش القایی توسط یک موًلفه از میدان الکتریکی اعمالی Fq,ω =F0exp⁡(iq.r-iω t) در صفحهی z=0، بصورت زیر بیان میشود
(2-13) Ρq,ω =χq,ω Fq,ω δ(z)در عبارت فوق χ قطبش پذیری لایه بوده که به وسیلهی رابطه ارنریج و کرن (1959) بیان می شود[ 8 ].
(2-14) χq,ω =e2q2L2limα→0f0Ek-f0(Ek+q)Ek+q-Ek-kω -ihαدر رابطه فوق f0 تابع احتمال فرمی دیراک، L2 بهنجارش سطح و جمع بر روی تمام حالتهای بردار موج تک الکترونیk با انرژی Ek میباشد.
برای گاز الکترونی دو بعدی همسانگرد با تراز انرژی Ek=ℏ2k22m وبردار موج فرمی Kf، در دمای صفر مطلق معادله (2-14) محاسبه و با تعریف χ=χ1+iχ2 بصورت زیر بیان میگردد (استرن، 1978)
(2-15 الف) {χ1=2me2Nsℏ2kfq3{qkf-C-[(q2kf-mkfωqℏ)2-1]12- C+[(Q2KF+mkfωqℏ)2-1]12و (2-15 ب) χ2=2me2Nsℏ2kfq3{qkf-D-[(q2kf-mkfωqℏ)2-1]12- D+[(q2KF+mkfωqℏ)2-1]12}که در آن (2-15 ج) D±=0 , q2kf±mkfωqℏ>1 و C±=sgnq2kf±mkfωqℏو C±=0 , D±=1 , q2kf±mkfωqℏ<1 نتایج فوق کاملا کلی بوده و حالتهای خاص را میتوان از آن نتیجه گرفت. آسانترین حالت، طول موجهای بلند و حالت ایستا میباشد، در این وضعیت برای q~0 و ω=0(2-16) ρind=-iq.p=-q2χq∅rδz=Nse2EF∅(r)δzبدست میآید که در توافق با معادله (2-5) میباشد ]8[. در بیشتر موارد بجای δz از g(z) استفاده میشود.
ثابت دی الکتریک برای سیستمهای فیزیکی مورد نظر ما توابعی غیر موضعی میباشد (داهلی و شام 1977:اج یولازو مارادیودین 1978 آ و 1978 ب)[8]. در صورتیکه لایه معکوس یک سطح باردار در صفحهی z=0 و احاطه شده در محیطی همگن، با ثابت دی الکتریک k باشد میتوان به شکل سادهتری بیان کرد.
در این حالت ثابت دی الکتریکی برای برانگیختی طولی در صفحه الکترونها بصورت زیر تعریف میگردد ]8[.
(2-17) kq,ω=k+2πβχ(q,ω) که β2=q2-kω2c2. نتایج برای میدانهای استاتیکی بصورت زیر در میآید.
(2-18) kq,0=k1+qsq ,q≤2kF =k1+qsq1-1-[2kFQ]212 ,q>2kF برای مقادیر کوچک q ثابت دی الکتریک فوق با روابط بدست آمده قبلی یکسان میگردد و
برایq>2kF اثرات حایل سازی سریعا کاهش پیدا میکند.
2-6 ترازهای مقید
ساده ترین ترازهای مقید در نیمه رسانا آنهایی میباشند که به ناخالصی کولمبی واقع در یک محیط با ثابت دی الکتریک κsc و جرم موٌثر همسانگرد m قرار دارد وابسته هستند.
برای مثال، برای یک نوار انرژی سهمی شکل، ترازها بصورت طیف هیدروژنی میباشد ] 8[.
(2-19) En=-me42κscℏ2n2 , n=1,2,… اگر یک ناخالصی با بار الکتریکی e در سطح یک نیمه رسانا و یا مرز بین نیمه رسانا و عایق قرار داده شود، پتانسیل کولمبی الکترون بصورت زیر میباشد
( 2-20) v=-e2/κRدر صورتیکه ارتفاع سد پتانسیل بسیار بزرگ در نظر گرفته شود بطوریکه الکترون از عایق دور نگه داشته شود، بنابراین در تقریب مرتبهی اول میتوان فرض کرد که تابع موج روی مرز صفر شود.
حال اگر از پتانسیل تصویری و از خمیدگی نوار انرژی در نزدیکی مرز صرفنظر گردد، طیف انرژی مجددا بصورت طیف هیدروژنی خواهد شد
(2-21) En=-me42κscℏ2n2 ≡Ryn2 , n=2,3,…در صورتیکه میدان الکتریکی سطحی اعمال شود زیر نوار انرژی ایجاد خواهد شد، و در صورتیکه تنها پایینترین زیر نوارهای انرژی نقش اصلی را داشته باشند میتوان مساله را بصورت 2 بعدی بررسی نمود.
دراین صورت مراکز کولمبی در صفحهی z=0 واقع خواهند شد و طیف انرژی بصورت زیر در خواهد آمد ]8[.
(2-22) En=-me42Kℏ2(n-1/2 )2و n=1و2…بررسی رفتار واقعیتر از ترازهای مقید در حضور فصل مشترک و میدان الکتریکی توسط مارتین و والیس در سال 1976 انجام شده است ]8[. آنها با استفاده از روش وردشی، انرژی بستگی وابسته به یک تک زیر نوار در لایه معکوس si-sio2 را بهصورت تابعی از میدان الکتریکی محاسبه نمودهاند. شکل (2-4) تغییرات انرژی بستگی بر حسب فاصلهی ناخالصی از مرز را که توسط لیپاری در سال 1978 با روش بسط تابع موج بر حسب هماهنگ کروی بدست آمده را نشان میدهد.

شکل2-4: انرژی بستگی از الکترونهای تراز سیلیسیوم با بار الکتریکی مثبت e که با فاصلهی d از صفحهی si-sio2 قرار دارد انرژی بر حسب واحد ریدبرگRy*~43mevو فاصله بر واحد شعاع بوهرa*~2.2nmرسم شده است.
2-7 ساختار درون نواری
در این بخش روشهای مورد استفاده جهت محاسبهی انرژی و توابع موج الکترونها در لایههای معکوس نیمهرساناها بحث میشود. برای تشریح الکترونها در حضور پتانسیل تک الکترونی خود سازگار و وجود فصل مشترک عایق-نیمهرسانا، سادهترین راه، تقریب هارتری میباشد. الکترونها در نزدیکی فصل مشترک عایق-نیمهرسانا در یک پتانسیل بغرنج (پیچیده) حرکت میکنند. یک طرف فصل مشترک الکترونها پتانسیل دورهای نیمهرسانا را میبینند. این پتانسیل دورهای ناشی از برهمنهی: میدان الکتریکی با تغییرات آهسته ناشی از اعمال ولتاژ خارجی، تفاوت تابع کار (gate) و( substrat) و همچنین هر گونه بار ثابت موجود در محیط میباشد. طرف دیگر فصل مشترک الکترونها پتانسیل عایق را میبینند. این پتانسیل معمولاً بیشکل است. معمولاً یک پتانسیل بسیار بزرگ نیز سبب میگردد تا الکترونها دور از عایق نگه داشته شوند. در یک بررسی دقیق و کامل میبایست کلیهی عوامل تأثیر گذار در نظر گرفته شوند. در تقریب هارتری میتوان فرض کرد که هر الکترون در پتانسیل متوسط ایجاد شده توسط تمام الکترونها حرکت میکند و از اندرکنشهای بس ذرهای صرفنظر کرده از تقریب جرم مؤثر استفاده شده و همچنین فرض میشود که پتانسیلی که الکترونها را از عایق دور نگه میدارد بسیار بزرگ بوده و در نتیجه تابع موج در فصل مشترک عایق-نیمه رسانا (z=0) حذف میگردد. نوار انرژی را سهمی در نظر گرفته و فرض میشود که الکترونها در حداقل نوار رسانش قرار دارند.
عملگر انرژی جنبشی برای این سیستم به صورت زیر نوشته میشود:
(2-23) T=-ℏ2i,jwij∂2∂xi∂xj در رابطهی فوق wij ها عناصر تانسور جرم مؤثر وارون میباشند. از آنجایی که انرژی پتانسیل فقط تابع z میباشد، تابع موج را میتوان بهصورت حاصلضرب تابع بلاخ و تابعی که فقط به z وابسته است و همچنین یک تابع موج تخت که بیانگر حرکت آزاد در صفحهی xy است، نوشت]8[.
(2-24)
ψx,y,z=ξizeik1x+ik2ye-iw13w33k1+w23w33k2zuα(R) در رابطهی فوق (uα(R تابع بلاخ میباشد. با جایگذاری تابع موج فوق در معادله شرودینگر و جدا سازی متغییرها خواهید دید که تابعξiz در معادلهی زیر صدق میکند.
(2-25) ℏ22mz∂2ξi∂z2+Ei-V(z)ξiz=0 در رابطهی فوق mz=w3,3-1 است. شرایط مرزی ایجاب میکند کهξiها در Z=0 و در Z→∞ صفر شود. همچنین میتوان از شرط بهنجارش استفاده نمود و ترازهای انرژی را بهدست آورد.
(2-26) 0∞ξi2zdz=1(2-27) Ek1, k2=Ei+ℏ22w11-w132w33k12+2w12-w13w23w33k1k2+w32-w232w33k22 در رابطهی فوق iبیانگر شمارهی زیر نوار subband میباشد. انرژی پتانسیل V(z) که در معادلهی شرودینگر (2-25) ظاهر شده است را میتوان به صورت زیر بیان نمود.
(2-28) Vz=Vdz+Vsz+VIzدر رابطهی فوق
Vdz بیانگر انرژی پتانسیل ناشی از بارهای ثابت فضایی
Vsz بیانگر انرژی پتانسیل ناشی از بارهای القا شده در لایه
وVIz بیانگر بارهای تصویری واقع در فصل مشترک عایق-نیمه رسانا میباشد.
Vsz بهصورت یک رابطهی انتگرالی که به تابع موج( ξi2) وابسته است ، میباشد]8[.
این پتانسیل باعث میشود که معادلهی شرودینگر یک مسألهی ویژه مقداری غیرخطی شود. اینچنین معادلاتی معمولاً به روش تکرار حل میشوند. بدین صورت که یک پتانسیلی را حدس زده، تابع موج را حساب کرده و با استفاده از این تابع موج مجدداً انرژی پتانسیل را محاسبه مینمایند، این روش آنقدر تکرار میگردد تا مطلوبترین تابع موج که متناظر با Vsz مورد نظر باشد بدست آید.
2-8 جوابهای تقریبی برای تابع موج و انرژی :
در این بخش روشهای تقریبی جهت تعیین تابع موج و انرژی الکترونها بیان میگردد.
1-تقریب پتانسیل مثلثی 2-جوابهای وردشی
1 ) تقریب پتانسیل مثلثی: اگر از پتانسیل تصویری در معادلهی)2-28( صرفنظر شود، بقیهی جملات به صورت خطی در فصل مشترک افزایش مییابند و سپس به یک مقدار ثابت میرسند. در تقریب پتانسیل مثلثی، پتانسیل Vz به صورت زیر تقریب زده میشود،
(2-29) Vz=0 z<0eFz z>0 در رابطهی فوق F میدان مؤثر میباشد]8[.
با جایگذاری انرژی پتانسیل فوق در معادلهی شرودینگر (2-25) و استفاده از شرایط مرزی ξi→0 ( وقتی که Z→∞ و Z→0) تابع موج، برحسب توابع ایری بدست میآیند.
(2-30) ξiz=Ai2mzeFℏ2(Z-EieF) در رابطهی فوق Ei بیانگر انرژی بوده و بهصورت مجانبی بدست میآید.
(2-31) Ei≃ℏ22mz133πef2(i+34)23 i=0,1,2,… 2) تابع موج وردشی برای پایینترین زیر لایه
در صورتیکه بتوان برای این سیستمها توابع موج را بصورت تحلیلی پیدا کرد خواص فیزیکی لایههای نازک نسبت به حالتی که تابع موج به صورت عددی بدست آید سادهتر قابل محاسبه خواهند بود. نخستین بار Fong و Howard در سال 1966 تابع زیر را برای سیستمهای دو بعدی ارائه دادند]8[.
(2-32) ξ0z=b3212ze-12bz متوسط نفوذ بار به درون نیمهرسانا با توجه به تابع موج فوق در z0=3b بدست میآید. در صورتیکه سد پتانسیل نامحدود باشد، همین تابع موج برای الکترونهای پایینترین زیر لایهی هلیوم مایع نیز قابل اعمال میباشد. پارامتر b در معادله (2-32) با حداقل کردن انرژی کل سیستم بدست میآید. با توجه به شکل ساده تابع موج، مقادیر چشمداشتی هامیلتونی قابل محاسبه میباشد.
(2-33) 〈T〉=ℏ2b28mz(2-34) Vd=12πe2Ndeplkscb-24πe2NAkscb2(2-35) Vs=33πe2Ns4ksb(2-36) VI=δke2b8ksc جملات فوق به ترتیب عبارتند از: مقدار چشمداشتی انرژی جنبشی، انرژی پتانسیل اندرکنش یک الکترون با الکترونهای لایهی معکوس و انرژی پتانسیل تصویری. با توجه به عبارات فوق انرژی پایینترین زیر لایه بهصورت زیر بدست میآید.
(2-27) E0=T+Vd+Vs+VI انرژی با ازای یک الکترون که بایستی حداقل شود عبارت است از:
(2-38) EN=〈T〉+Vd+12Vs+VI ضریب 12 بدلیل عدم دوباره شماری اندرکنش الکترون-الکترون میباشد. در صورتیکه پتانسیل تصویری و دومین جمله در Vd صرفنظر شود، مقدارb به صورت مقابل بدست میآید،
(2-39) b=48πmze2N*kscℏ213(2-40) N*=Ndepl+1133Ns در رابطهی فوق Ndepl، تعداد بارها بر واحد حجم در لایهی تهی و Ns، غلظت کل الکترونهای لایهی معکوس میباشد. این امکان نیز وجود دارد که انرژی تبادلی به جملات هامیلتونی فوق اضافه گردد(1997Chaplir). در این وضعیت انرژی به ازای هر الکترون در صورتیکه از تابع موج (2-32) استفاده شود بهصورت زیر بدست میآید،
(2-41) EA=-4e2kf3πkscbkf+δkbkf در رابطهی فوق kf بردار موج فرمی، δk ضریبی که در پتانسیل تصویری ظاهر میشود و و توابعی هستند که توسط Strenمحاسبه شدند.
شکل(2-5)، نحوه تغییرات مقادیر E0 وz0 را در حضور و عدم حضور جملات تصویری و تبادلی نشان میدهد.شکل 2- 5 : مقادیر E0 و z0را در حضور و عدم حضورجملات تصویری را نشان میدهد.
2-9 اثرات بس ذرهای
در بخش قبل ساختار زیر لایه در تقریب هارتری بحث شد. این تقریب تا زمانی صحیح است که غلظت الکترونها زیاد باشد، به عبارت دیگر تا زمانی که متوسط انرژی جنبشی الکترونها از متوسط انرژی اندرکنش آنها بسیار بزرگتر باشد. این شرط را معمولاً بهصورت rs≪1 بیان میکنند. در این عبارت rs بیانگر شعاع کرهای است که تنها شامل یک الکترون باشد. میتوان نشان داد که این نتیجه (شرط) برای سیستمهای دو بعدی نیز صحیح است. بنابراین تقریب هارتری برای سیستمهای دو بعدی نیمهرسانا با گاف انرژی کوچک همانند Insb وInAs خوب عمل میکند زیرا این سیستمها دارای جرم مؤثر کوچک، ثابت دیالکتریک بزرگ و گاف انرژی کوچک میباشند. ( برای این ساختارها rs≪1است). برای لایههای معکوس بر روی سطح سیلیکون ( بدلیل بزرگ بودن جرم مؤثر )، rs از یک بزرگتر شده و در نتیجه اثرات بس ذرهای همانند تبادل و correlation (همبستگی) نقش مهمی را بازی میکنند.
2-10 گذارهای نوری درون نواری
یکی از راههای مطالعهی ساختار زیر لایهها مشاهدهی گذارهای نوری درون نواری میباشد. در این قسمت گذارهای نوری در حضور میدان مغناطیسی بررسی میگردد.
وقتی که یک میدان مغناطیسی در راستای محور y (موازی سطح) اعمال شود، الکترونهای متحرک در راستای مثبت و منفی محور x تحت تأثیر نیروی لورنتس قرار گرفته و ساختار زیر نواری اصلاح میگردد.
معمولاً در لایههای معکوس، شعاع حرکت سیکلوترونی از ضخامت لایهی معکوس بزرگتر میباشد و در نتیجه میدان مغناطیسی را میتوان بهصورت یک اختلال کوچک در نظر گرفت. در صورتیکه میدان مغناطیسی خمیده باشد، مؤلفهی عمودی میدان سبب کوانتیدگی حرکت الکترون در راستای موازی سطح شده و ترازهای گسستهی لاندائو بدست میآیند.
در تقریب هارتری هامیلتونی به صورت زیر نوشته میشود.
(2-42)H=12mt (Px+ecHyz)2+12mt (Py+ecHzx)2+12mtPz2+V(z)در رابطهی فوق از پیمانهی A=Hyz, HZX, 0 استفاده شدهاست. با در نظر گرفتن کوچکترین مرتبهی Hy، هامیلتونی مؤثر برای حرکت موازی سطح الکترونهای زیر لایهیnام بهصورت مقابل بدست میآید.
(2-43) H=12mt (Px+ecHyznn)2+12mt (Py+ecHzx)2+En+ℏ22mtly4(z2)nn-(znn)2در رابطهی فوق ly2=chehy میباشد. پس از حل معادله شرودینگر هامیلتونی فوق ترازهای لاندایًو بهصورت زیر بدست میآید.
(2-44) EnN=ℏωcN+12+ℏ22mtly4[z2)nn-(znn)2+Enوتابع موج بهصورت
(2-45) ψnNXr,z=1Lexp-iXylz2-iznnx-Xly2×χNx-Xξn(z)در عبارت فوق lz2=ℏceHZ و ωc=eHzmtc وχN(x) تابع موج مربوط به ترازهای لاندائو میباشد. ضریب
exp⁡(-iznn(x-X)/ly2) ناشی از جابهجایی مرکز سیکلوترونی در فضای K میباشد. در صورتیکه Hy تا مرتبهی دوم در نظر گرفته شود، جملهی زیر باید به معادلهی (2-41) اضافه گردد.
(2-46) pxmtℏ2mtly4m≠nzmn2En-Emجملات بالا سبب افزایش جرم مؤثر در راستای محور X با اندازهی زیر میشود.
(2-47) mtmx(Hy)=1-2ℏ2mtly2m≠0zmn2Em-E02-11 مغناطش در مواد
میدانیم که مواد از اتمها تشکیل شدهاند هر اتم را میتوان به صورت الکترونهایی که دور هسته مرکزی دارای بار مثبت میچرخند، در نظر گرفت. الکترونها اسپین نیز دارند که میتوان آن را حرکتی به دور محور الکترون تصور کرد، بنابراین چه در جهت ساعتگرد و چه پاد ساعتگرد به دور هسته بچرخند میدان مغناطیسی تولید میکنند. میدان مغناطیسی داخلی Bi ناشی از هر دوی این حرکتهای الکترونی مشابه میدان مغناطیسی ناشی از حلقه جریان است. نتیجه این جریان حلقوی معادل یک گشتاور مغناطیسی برابر m=IbSan میباشد که در آن S مساحت حلقه و Ibجریان است.
اگر میدان خارجی B به ماده اعمال نشود، مجموع گشتاورهای دو قطبی m صفر است، زیرا که این دو قطبیها بصورت کاتورهای قرار میگیرند. اعمال میدان خارجی B باعث میشود گشتاور دو قطبی الکترونی کم و بیش با میدان Bهمراستا شوند، طوری که دیگر گشتاور خالص صفر نشود.
مغناطش M، بر حسب آمپر بر متر، با گشتاور دو قطبی مغناطیسی در واحد حجم برابر است. اگر در حجم Δν ، Nاتم وجود داشته باشد، و گشتاور دو قطبی k امین اتم mk باشد، آنگاه
(2-45) M=limΔν→0k=1NmkΔν مادهای که در آن M صفر نیست، ماده مغناطیده نام دارد. گشتاور دو قطبی معادل حجم دیفرانسیل عبارت است از m=Mdv. توجه کنید که میدان در مختصات بدون پریم و چشمه با مختصات پریم دار مشخص میشود. پتانسیل مغناطیسی برداری ناشی از dm برابر است با
(2-48) dA=μ0M×aR4πR2dv =μ0M×R4πR3dv با توجه به رابطهی
(2-49) RR3=∇1Rداریم
(2-50) A=μ04πM×∇1Rdv و با استفاده از رابطه
(2-51) ∇×fF=f∇×F+(∇f)×Fداریم
(2-52) M×∇1R=1R∇×M-∇×MR با جایگذاری این معادله در (2-50) داریم
(2-53) A=μ04π∇×MRdv-μ04π∇×MRdv اکنون اتحاد برداری زیر را به کار میبریم
(2-54) ∇×Fdv=-F×dS وA را به صورت زیر بدست میآید
(2-55) A=μ04π∇×MRdv+μ04πM×anRds که به رابطه زیر منجر میشود
(2-56) A=μ04πJbR dv+μ04πKbRds که بدست میآوریم
(2-57) Jb= ∇×M (2-58) Kb=M×an و به ترتیب چگالی جریان حجمی یا چگالی جریان حجمی مغناطش ( بر حسب آمپر بر متر مربع ) و چگالی جریان سطحی ( بر حسب آمپر بر متر)، و an بردار یکه عمود بر سطح است. معادله (2-56) نشان میدهد که یک جسم مغناطیده به خاطر داشتن یک چگالی جربان حجمی Jb در داخل و یک چگالی جریان سطحی Kb بر روی سطح میدان تولید میکند. بردار M همتای P مواد دی الکتریک است و گاهی چگالی قطبش مغناطیسی خوانده میشود. از طرف دیگر، M با H نیز متناظر است، زیرا هر دو یکای یکسانی دارد.
از همین حیث J= ∇×H و Jb= ∇×M همچنین Jbو Kb جسم مغناطیده شبیه ρpV وσps یک جسم قطبیده است. از معادلات بالا میتوان دریافت که Jb و Kb را میتوان از M به دست آورد، به همین خاطر Jb و Kb معمولا به کار برده نمیشود.
در فضای آزاد M=0 و داریم
(2-59) ∇×H=Jf (2-60) ∇×Bμ0=Jf که در آن Jf چگالی جریان آزاد است. در یک محیط مادی با M≠0 ، B تغییر میکند، طوری که
(2-61) ∇×Bμ0=Jf+Jb=J=∇×H+∇×Mیا (2-62) B=μ0(H+M) این رابطه برای تمام مواد چه خطی و چه غیر خطی معتبر است. برای محیطهای خطی M (بر حسب A/m) با H تناسب خطی دارد یعنی
(2-63) M=χmH که در آن χm کمیتی بدون بعد (نسبت M به H ) است و پذیرفتاری مغناطیسی نامیده میشود. این کمیت میزان پذیرش میدان مغناطیسی توسط ماده (یا حساسیت ماده به میدان مغناطیسی ) را نشان میدهد. با جایگذاری معادله (2-63) در (2-62) داریم
(2-64) B=μ01+χmH=μHیا (2-65 الف) B=μ0μrHکه در آن (2-65 ب) μr=1+χm= μμ0 که μ=μ0μr تراوایی ماده نامیده میشود و یکای آن هنری بر متر است. هنری یکای القاکنایی است، کمیت بدون بعد μr نسبت تراوایی ماده به تراوایی فضای آزاد را بیان میکند و تراوایی نسبی ماده نامیده میشود. باید به خاطر داشت که معادلات بالا فقط برای مواد خطی و همسانگرد میباشد، اگر ماده ناهمسانگرد باشد (مثل فریت) معادله (2-60) همچنان برقرار است ولی معادلات (2-61) تا (2-63) دیگر برقرار نخواهد بود در این حالت μ مقدار ندارد و برای میدانهای B ، H با M موازی نیست.

فصل سوم
بررسی نظری گاز الکترونی دو بعدی
3-1مقدمه
در این فصل به بررسی تآثیر میدان مغناطیس خمیده بر گاز الکترونی دو بعدی پرداخته و نخست با حل معادله شرودینگر ترازهای انرژی را تعیین کرده و آنگاه ویژگیهای ترمودینامیکی این سیستم را بررسی میکنیم. گاز الکترونی را در ناحیهای با پهنای ناچیز در نظر میگیریم.
چگونگی جهت گیری حالت اسپینیبا توجه به راستای میدان خارجی تعیین میشود. در این سیستم فرضی، الکترونها در دو بعد آزادی حرکت داشته اما در راستای سوم توسط یک پتانسیل محدود میشود ]3[.
3-2 هامیلتونی تک ذرات
برای غلظتهای الکترونی کم گاز الکترونی شبه دو بعدی (Q2DEG) را میتوان بصورت یک سیستم ذرهای مستقل توصیف کرد و هم چنین میتوان از تقریب تک ذرهای برای مطالهی آن استفاده کرد. بنابراین در حضور میدان مغناطیسی خمیده که دارای موًلفههای مستقل و بصورت B=(Bx,0,Bz) میباشد، هامیلتونی به شکل زیر نوشته میشود.
(3-1) H=12μe(P+eA)2-gμBσ∙B+V(z) در رابطه فوق اولین جمله انرژی جنبشی و دومین جمله انرژی برهمکنش زیمن میباشد. سومین جمله بیانگر انرژی پتانسیل تحدیدی میباشد و فرض میشود که بصورت چاه مربعی باشد.Vz=0برای Z≤δc و Vz=V0برای Z>δ2 بیان شده است.
δ و V0 به ترتیب پهنا و ارتفاع چاه پتانسیل میباشد. با تعریف پتانسیل برداری بصورت
A=(-BZy,-BXz,0) هامیلتونی به شکل زیر در میآید.
(3-2) H=Py22μe+12μeωz2(y-yc)2+gμBσxBx+σzBz+Px22μe+12μeωx2Z2-ωxzPy+V(z) بدست میآید که در آن yc=lz2kx و lz2=ℏμeωz و ωx=eBxμeωz=eBzμe و σi معرف ماتریس پائولی میباشد .همچنین میتوان هامیلتونی را بصورت H=H2D+Hz که در آن H2D معرف موًلفهی هامیلتونی در صفحهی موازی با سطح ، و Hz معرف هامیلتونی در جهت z میباشد. شکل صریح H2D و Hz بصورت زیر است.
(3-3) H2D=py22μe+μeωz22y-yc+gμB(σxBx+σzBz)و
(3-4) Hz=Pz22μe+μeωx2z22-ωxzPy+V(z) تاًثیر جملهی ωxzPy برداشتن تبهگنی ترازهای متقاطع میباشد [16]. بنابراین در ادامه بحث از این جمله صرف نظر میگردد. در صورت نیاز میتوان آنرا بصورت یک اختلال در نظر گرفت. بنابراین Hz بصورت زیر در میآید .
(3-5) Hz=Pz22μe+U(z) که U(z) به عنوان پتانسیل موًثر معرفی میشود و بجای μeωx2z22+V(z) نوشته شده است.

این نوشته در مقالات ارسال شده است. افزودن پیوند یکتا به علاقه‌مندی‌ها.

دیدگاهتان را بنویسید

نشانی ایمیل شما منتشر نخواهد شد. بخش‌های موردنیاز علامت‌گذاری شده‌اند *