*378

دانشکده علوم پایه
گروه فیزیک
پایان نامه کارشناسی ارشد در گرایش اتمی و مولکولی
عنوان:
بررسی پدیده دوپایایی نوری در سیستمهای کوانتومی مختلف
دانشجو:
مهدی نورمحمدی
اساتید راهنما:
دکتر اکبرجعفری
دکتر رحیم نادرعلی
شهریور 91
” حق چاپ و انتشار مطالب این پایان نامه برای دانشگاه ارومیه محفوظ است.”

اهداء:
تقدیم به شهدای علمی سرزمینم
و تمامی کسانی که در راه آنانند…
تقدیر و تشکر:
با تشکر فراوان از تمامی اساتیدی که راهنمایم بودند، استاد جعفری و استاد نادرعلی، اساتید اخلاق و راهنمای من در این پروژه،
و سپاس و قدردانی از پدر، مادر و همسرم که اسطوره صبر وبردباری من هستند.
و همچنین تقدیم به فرزندم
فهرست
چکیده…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………..1
مقدمه ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. 2
فصل اول
مفاهیم بنیادی ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. 4
اختلال………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… 4
پذیرفتاری …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. 8
ماتریس چگالی ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. 10
اختلال و معادله حرکت ماتریس چگالی…………………………………………………………………………………………………………………..16
رابطه بین پذیرفتاری ، ضریب شکست غیر خطی و شدت …………………………………………………………………………………….22
فصل دوم
تعریف دوپایایی …………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. 25
ابزار نوری و شرایط مرزی………………………………………………………………………………………………………………………………………..25
دوپایایی جذبی ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………….27
دوپایایی شکست …………………………………………………………………………………………………………………………………………………….32
فصل سوم
دوپایایی در سیستم اتمی دو ترازی ………………………………………………………………………………………………………………………35
ابزار نوری و شرایط ورزی………………………………………………………………………………………………………………………………………..43
فصل چهارم
دوپایایی در سیستم اتمی سه ترازی ……………………………………………………………………………………………………………….. 50
سیستم اتمی سه ترازی آبشاری………………………………………………………………………………………………………………………….50
سیستم اتمی Λ- شکل……………………………………………………………………………………………………………………………………….56
اثر پدیده دوپلر بر روی دوپایایی اتمهای Λ- شکل ………………………………………………………………………………………….61
تغییر معادلات لیوویل در سیستم اتمی سهترازی Λ- شکل……………………………………………………………………………..65
کنترل دوپایایی در سیستم اتمی V- شکل……………………………………………………………………………………………………….66
فصل پنجم
دوپایایی در سیستم اتمی پنج ترازی ………………………………………………………………………………………………………………. 72
سیستم اتمی کوبراک- رایس……………………………………………………………………………………………………………………………..72
کنترل دوپایایی نوری در سیستم اتمی M- شکل……………………………………………………………………………………………80
نقش تغییر فاز در دوپایایی سیستم اتمی M- شکل…………………………………………………………………………………………87
نتیجه گیری……………………………………………………………………………………………………………………………………………………….89
مراجع…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………91
چکیده
در بعضی از سیستمهای اپتیکی غیر خطی اگر نور لیزر با شدت بالایی اعمال شود، به ازای یک شدت ورودی، سیستم دارای دو شدت خروجی خواهد بود. جمله دوپایداری نوری بخاطر این خاصیت از سیستم برای این پدیده استفاده می شود. سیستم هایی با چند پایایی نوری نیز وجود دارند که در این سیستم ها به ازاء یک شدت ورودی معین چندین شدت خروجی میتواند وجود داشته باشد. در این پایان نامه هدف بررسی چندپایایی نوری است، اما بخاطر اهمیت و کاربرد فراوان دوپایداری نوری در سوئیچ زنی به این موضوع نیز پرداخته میشود.
در این تحقیق رفتار دوپایایی نوری یک سیستم پنج ترازی М- شکل در حضور میدان های همدوس لیزری بررسی شده است. نشان داده شده که آستانه دوپایایی به شدت میدان های اعمالی بر سیستم وابسته است، همچنین با تغییر در شدت میدانها ی جفت کننده چند پایایی را نیز میتوان مشاهده کرد. در آخر، منحنیهای جذب و پاشندگی با تغییر در شدت میدانها ی جفت کننده بررسی شده است. و به بررسی اثر فاز میدانهای کنترلی بر روی دوپایایی پرداخته شده است.
مقدمه
در سالهای اخیر، تعداد زیادی از پدیده های اپتیک کوانتومی برپایه همدوسی و تداخل کوانتومی، مورد توجه محققان این رشته بوده است.[1] از جمله آنها میتوان به لیزرزایی بدون وارونی جمعیت، شفافیت القایی الکترومغناطیسی، حذف جذب، دوپایایی نوری و غیر خطیت کر اشاره کرد.[2-4] یکی از این پدیده ها دوپایایی نوری در اتم های چند ترازی است که درون یک کاواک قرار داده شده است. دوپایایی نوری به علت کاربردهای گسترده آن، مثل کاربرد آن در ترانزیستورهای نوری، المان های حافظه سیستم و سوئیچ های تمام نوری مورد مطالعه قرار گرفته است.[5-7]
در این پایان نامه ابتدا به تعریف پدیده دوپایایی نوری با استفاده از روابط شدتها پرداخته میشود. و سعی میشود به یک دید کلی از دوپایداری نوری برسیم. البته برای بررسی این پدیده در سیستمهای اتمی مختلف به روابطی از مکانیک کوانتومی و اپتیک غیر خطی نیاز خواهیم داشت که به بررسی اجمالی این روابط در فصل دوم نیز پرداخته میشود. مزیت دیگر این فصل آن است که دارای یک پیوستگی بین روابط کوانتومی که از قبل با آنها آشنا هستیم و روابط اپتیک غیر خطی خواهد بود.
سپس به بررسی روابط اپتیک غیر خطی که در پدیده دوپایایی کاربرد دارند پرداخته میشود وسپس رفتار دوپایایی نوری سیستمهای اتمی مختلف مورد بررسی قرار میگیرد. ابتدا در فصل سوم از یک سیستم دوترازی استفاده میشود. در سیستم دو ترازی با محدودیتهای از قبیل اختلاف فاز محدود برای ایجاد دوپایایی، روبرو هستیم. و سپس در فصل سوم سیستم سه ترازی مطالعه میشود که با استفاده از کنترل فاز بین دو میدان کاوشگر و کنترلی، در حضور اثر تداخل کوانتومی، میتوان سیستم را از حالت دوپایا به حالت چندپایا برد.
در فصل چهارم دوپایایی نوری در سیستمهای اتمی سه ترازی درون مشددهای نوری بطور تئوریکی مطالعه شده است .یکی از فواید بکارگیری سیستم اتمی سه ترازی بجای دوترازی این است که اتم ها بصورت یک محیط غیرخطی در یک مشدد نوری، بکارگیری همدوسی اتمی ایجاد شده در سیستم اتمی سه ترازی را که جذب، پاشندگی و غیرخطیت سیستم را به شدت تحت تاثیر قرار می دهد ممکن می سازد و بخوبی معلوم شده است که همدوسی ناشی از گسیل خودبخودی می تواند با گسیل یک تراز تحریکی به دو تراز اتمی نزدیک به هم یا دو تراز نزدیک به هم به یک تراز تحریکی ایجاد شود. این همدوسی در یک سیستم اتمی نوع آبشاری میتواند در مورد ترازهای اتمی تقریباً هم فاصله اتفاق بیافتد. ترازهای نزدیک تبهگن، یک جمله همدوسی ناشی از اندرکنش با خلاء میدان تابشی دارند.
در فصل پنج رفتار دوپایایی نوری را در سیستمهای اتمی پنج ترازی در حضور میدان های همدوس لیزری بررسی می کنیم. سیستم پنج تراز ی که تا کنون دوپایایی آن بررسی شده است سیستم کوبراک- رایس است. علاوه بر آن در این فصل پدیده دو پایایی نوری در یک سیستم اتمی پنج ترازی -M شکل با سه میدان جفت کننده و یک میدان کاوشگر را در یک کاواک حلقوی یکسویه بررسی میکنیم سیستم اتمی پنج ترازی- M شکل بیشتر از جنبههای نشر خودبخودی ترازها و فوتو آشکار ساز با طول موج پایین مورد توجه بوده است. نشان می دهیم که آستانه دوپایایی به شدت میدان های اعمالی بر سیستم وابسته است، همچنین با تغییر در شدت میدانها ی جفت کننده به چند پایایی نیز میرسیم.
با توجه به تشابه بسیاری از روابط و نتایج رفتار دوپایایی نوری در سیستم چهار ترازی و سایر سیستم های اتمی بررسی شده، بخاطر اختصار و جلوگیری از تکرار، از نوشتن بخشی با عنوان رفتار دوپایایی سیستمهای چهارترازی خودداری کردهایم. اما بخاطر جدید بودن و مطالعه سیستم های پنجترازی در ماههای اخیر، این سیستمها نیز بررسی شده است.
در بررسی دوپایایی نوری در انواع سیستم های نوری، در مورد جذب و پاشندگی اتمها بحث خواهد شد و منحنیهای جذب و پاشندگی را با تغییر در شدت میدانهای جفت کننده بررسی میشود.
فصل اول
مفاهیم بنیادی
مقدمه
این فصل را به مفاهیمی از مکانیک کوانتومی اختصاص می دهیم که در محاسبات مورد نیاز هستند. هدف از این کار آشنایی با مسیری مشخص برای مطالعه پدیده دوپایایی نوری است، نه مطالعه قوانین کوانتومی، لذا در بعضی موارد به ذکر مختصری از قوانین مکانیک کوانتومی اکتفا میشود. سعی میشود آنجایی که نقش مهمی در محاسبات بعدی را دارد، بیشتر توضیح داده میشود.
1-1 اختلال
یکی از قوانین اسا سی مکانیک کوانتومی اینست که می توان تمام ویژگیهای یک سیستم اتمی را بر اساس تابع موج اتمی توصیف کرد که از معادله شرودینگر بصورت زیر بدست میآیند:
(1-1) iℏ∂Ψ∂t=H Ψویژه حالتهای یک سیستم اتمی و همچنین ویژه مقادیر یک سیستم اتمی را می توان از معادله شرودینگر بدست آورد.
H عملگر هامیلتونی است که برای یک سیستم اتمی دارای برهمکنش، شامل دو جمله خواهدبود.
(1-2) H=H0+λV(t)H0 هامیلتونی اتم آزاد و λV(t) هامیلتونی برهمکنش اتم است. λ پارامتر اختلال نامیده می شود که بیانگر شدت اختلال است و عددی بین صفر تا یک را دارد. λ=1 برای یک بر همکنش کامل در نظر گرفته می شود.
درصورتی که اتم بدون برهمکنش در نظرگرفته شود، جوابهای معادله شرودینگر بصورت زیر هستند:
(1-3) Ψnr,t=unre-iωntکه شامل دو قسمت زمانی و فضایی است. قسمت فضایی در معادله ویژه مقداری زیر که معادله مستقل از زمان شرودینگر نامیده می شود، صدق می کند
(1-4) H0unr=Enunrو En=ℏωn ویژه مقادیر معین انرژی اتم هستند.
جوابهای قسمت فضایی یک مجموعه متعامد کاملی را تشکیل می دهند و شرط تعامد زیر را ارضاء میکنند
(1-5) um*und3r=δmnبرای یک اتم در برهمکنش با میدان الکتریکی، هامیلتونی برهمکنشی بصورت زیر می باشد:
(1-6) V(t)=-μ . E(t)که μ گشتاور دوقطبی اتم است و بصورت زیر تعریف میشود:
(1-7) μ=-er(t)جوابهای معادله شرودینگر با در نظر گرفتن اختلال بصورت زیر است:
(1-8) Ψ(r,t)=Ψ(r,t)(0)+λΨ(r,t)(1)+λ2Ψ(r,t)(2)+…ΨN قسمتی از جواب معادله شرودینگر است که در انرژی بر همکنش V از مرتبه N ام است.
برای بدست آوردن مرتبه های مختلف جواب معادله شرودینگر معادله ( 1- 8) را در معادله ( 1- 1) قرار می دهیم و تمام جملات متناسب با توان یکسان از λ را مساوی هم قرار می دهیم، برای λ ی با توان صفر داریم:
(1-9) iℏ(∂Ψ0∂t)=H0Ψ(0)
که جواب معادله شرودینگر برای اتم بدون برهمکنش است. برای سایر مرتبه های اختلال، یک جواب کلی به صورت زیر بدست می آید:
(1-10) iℏ∂ΨN∂t=H0Ψ(N)+VΨ(N-1)فرض می کنیم جواب معادله شرودینگر در غیاب جمله برهمکنشی بصورت زیر است:
(1-11) Ψ(r,t)(0)=ugre-iEgt/ℏکه در اینجا Eg و ug ویژه مقدار انرژی و ویژه تابع فضایی اتم در حالت پایه می باشند. با توجه به اینکه ویژه توابع انرژی اتم بدون برهمکنش مجموعه کامل و متعامدی را تشکیل می دهند و می توان هرتابعی را بر حسب آنها بسط داد، تابع موج مرتبه N ام از برهم کنش را به وسیله آنها میتوان بصورت زیر بسط داد.
(1-12) Ψ(r,t)(N)=lalNtulre-iωltکه ضریب alNt ، دامنه احتمال آن است که اتم در مرتبه N ام اختلال، در لحظه t و در ویژه حالت l باشد.
با قرار دادن معادله ( 1- 12) در معادله ( 1- 10) ، دستگاه معادلاتی بر حسب دامنه های احتمال بدست می آید:
(1-13) iℏlalNulre-iωlt=lal(N-1)Vulre-iωltاین معادله دامنه های احتمال مرتبه N ام را به دامنه های احتمال مرتبه (N-1) ام مرتبط می سازد.
با ضرب دوطرف معادله( 1-13) در um* و انتگرال روی تمام فضا و با استفاده از شرط تعامد توابع پایه معادلات زیر بدست میآیند:
(1-14) am(N)=(iℏ)-1lae(N-1)Vmleiωmltکه در آن ωml=ωm-ωl و Vml به شکل زیر تعریف میشود:
(1-15) Vml=<umVul> =um*V und3r که در واقع عناصر ماتریسی هامیلتونی اختلال هستند.
برای مشخص کردن دامنه های مرتبه اول al1t فرض می کنیم سیستم اتمی در مرتبه صفرم ( بدون اختلال) در حالت پایه، g باشد، در نتیجه al0=δlg می باشد.
با استفاده از معادلات (1- 3) و ( 1- 15) عناصر ماتریسی هامیلتونی اختلال را بصورت زیر میتوان نوشت:
(1-16) Vml=-μml .E(t)که در آن عبارت μml به شکل زیر نوشته میشود:
(1-17) μml=um*μVld3r= <umμun>و گشتاور دو قطبی گذار نامیده می شود.
حال با جایگذاری روابط اخیر در معادله (1- 14)، دامنه احتمال با استفاده از انتگرال گیری بدست میآید، با فرض اینکه حد پایین انتگرال صفر است.
(1-18- الف) an(N)t=(iℏ)-1e-∞tVml(t)ae(N-1)(t)eiωmlt(1-18- ب) an1t=1ℏmμmg. E(t)ωmgeiωmgtدوباره از معادله (1- 14) استفاده می کنیم و با استفاده از دامنه احتمال مرتبه اول، دامنه احتمال مرتبه دوم به دست میآید:
(1-19) an2t=1ℏ2pqmμnm . E(ωq)μmg . Eωpωng-ωp-ωqωmg-ωpei(ωng-ωp-ωq)tاین عمل را تکرار می کنیم و دامنه احتمال مرتبه سوم را حساب می کنیم
(1-20) aν3t=1ℏ3pqrmnμνnEωrμnm .Eωqμmg . Eωpωνg-ωp-ωq-ωrωng-ωp-ωq(ωmg-ωp)ei(ωνg-ωp-ωq-ωr)t
و این عمل برای بدست آوردن دامنه احتمال مرتبه های بالاتر، تکرار میشود.
1-2 پذیرفتاری
نتایج به دست آمده از بخش قبل برای محاسبه پذیرفتاری یا همان ویژگیهای نوری یک سیستم مادی به کار برده میشود.
مقدار چشمداشتی گشتاور دو قطبی الکتریکی عبارت است از:
(1-21) <P>= <ΨμΨ>Ψ توسط بسط اختلال با λ=1 ، بیان می شود، قسمتی از <p> که رابطه خطی با میدان دارد، با رابطه زیر بیان میشود:
(1-22) <P(1)> = <Ψ(0)μΨ1>+<Ψ(1)|μ|Ψ0>با جایگذاری Ψ(0) و Ψ(1) از روابط (1- 11) ، (1- 12) ، (1- 18) مقدار چشمداشتی مرتبه اول گشتاور دو قطبی الکتریکی بصورت زیر می شود:
(1-23) <P(1)> =1ℏpm ( μgmμmg . EωP(ωmg-ωp)e-iωpt+[μmg . EωP]*μmg(ωmg*-ωp)eiωpt )بسامد گذار ωmg بصورت موهومی در نظر گرفته شده است و روی تمام قسمتهای مثبت ومنفی بسامد ωp جمع بسته شده است.
اگر در جمله دوم ωp را به -ωp تغیر دهیم، نتیجه ساده تر خواهد شد.
(1-24) <P(1)> =1ℏpm ( μgmμmg . EωP(ωmg-ωp)+[μmg .EωP]μmg(ωmg*+ωp) )e-iωptقطبش خطی را بصورت p(1)=N<p(1)> در نظر می گیریم که N چگالی تعداد اتمهاست. همچنین برای پذیرفتاری خطی داریم:
(1-25) pi1ωp=jχij(1)Ej(ωp)و در نتیجه:
(1-26) χij1ωp=mNℏ (μgmiμmgjωmg-ωp+μgmjμmgiωmg*+ωp)قطبش p(t) یا همان گشتاور دوقطبی در واحد حجم ماده بستگی به شدت میدان نوری اعمال شده دارد، در اپتیک خطی این وابستگی خطی است یعنی قطبش متناسب توان اول شدت میدان نوری است، این تناسب با ضریبی بنام پذیرفتاری خطی به تساوی تبدیل می شود.
(1-27) p(t)=χ(1)E(t)در اپتیک غیر خطی قطبش متناسب با توانهای بالاتر شدت میدان نوری اعمال شده خواهد بود و رابطه بین قطبش و میدان نوری به صورت زیر خواهد بود:
(1-28) p(t)=χ(1)E(t)+χ(2)E(t)+χ(3)E(t)+…=p(t)(1)+p(t)(2)+p(t)(3)+…کمیتهای χ(2) و χ(3) به ترتیب پذیرفتاری نوری غیر خطی مرتبه دوم و سوم هستند. χ(1) یک تانسور مرتبه دو وχ(2) یک تانسور مرتبه سه و… می باشند. همچنین p(t)(2) قطبش غیر خطی مرتبه دوم و p(t)(3) قطبش غیر خطی مرتبه سوم هستند. پذیرفتاری مرتبه دوم برای بسیاری از مواد قابل صرف نظر کردن است، زیرا برای بلورهای اتفاق می افتد که دارای مرکز تقارن نباشند، در صورتی که بسیاری از مواد دارای مرکز تقارن هستند.
1-3 ماتریس چگالی :
از یک سیستم کوانتومی شروع می کنیم و فرض میکنیم که در حالت کوانتومی خاص مانند s قرار دارد، تابع موج این حالت تمام خصوصیات فیزیکی سیستم را در بر دارد و در رابطه شرودینگر صدق می کند:
(1-29) iℏ(∂Ψs r,t∂t)=HΨs(r,t)که H هامیلتونی سیستم است وشامل دو قسمتH0 هامیلتونی اتم بدون اندرکنش و Vt هامیلتونی اندرکنش اتم، می باشد.
(1-30) H=H0+V(t)از آنجایی که ویژه حالتهای انرژی هامیلتونی بدون برهمکنش سیستم اتمی، یک مجموعه کامل از توابع پایه راست هنجار را تشکیل می دهند، می توان توابع موج سیستم با تحول زمانی را برحسب آنها بسط داد. یعنی:
(1-31) Ψsr,t=nCnst un(r)که در آن un(r) ها ویژه حالتهای انرژی معادله شرودینگر مستقل از زمان هستند که در رابطه H0unr=Enunrو نیز در رابطه راست هنجاری صدق می کند:
(1-32) um*runrd3r=δmnدامنه احتمال آنکه اتم در لحظه t در ویژه حالت s باشد، با ضریب Cns(t) نشان داده شده است. و برای مشخص کردن آنها بسط (1- 31) را در معادله شرودینگر قرار می دهیم:
(1-32) iℏndCns(t)dt= nCnstHun(r)طرفین رابطه بالا را در um*(r) ضرب می کنیم و روی تمام فضا انتگرال می گیریم، سمت چپ با استفاده از شرط تعامد به یک جمله کاهش می یابد و به شکل زیر به دست می آید:
(1-33) iℏddtCmst=nHmnCns(t)که در آن Hmn عناصر ماتریسی هامیلتونی بوده و که به صورت زیر نوشته می شوند:
(1-34) Hmn=um*rHunrd3rلزوم تعریف ماتریس چگالی زمانی دیده میشود که معادلات بالا نتوانند جواب معادله شرودینگر را بدست آورند. وقتی که سیستم متشکل از چندین ذره باشد یا وقتی که سیستم اثرات ناهمدوسی مثل گسیل خودبخودی داشته باشد، عملاً معادله شرودینگر کارآیی ندارد.
مجموعهای از سیستمهای اتمی را که همگی در یک حالت کوانتومی یکسان مثل |Ψs> باشند را مجموعه خالص می نامیم و همچنین مجموعهای از سیستمها ی اتمی که در حالتهای کوانتومی مختلفی باشند مثلاً 10% آنها در حالت |Ψs1> و70% آنها در حالت |Ψs2> و20% آنها در حالت |Ψs3> با شند را مجموعه آمیخته می نامیم. در مجموعه آمیخته درصد حالتها را وزن آماری می نامند.
برای بدست آوردن مقدار چشمداشتی یک کمیت فیزیکی وقتی سیستم در یک حالت کوانتومی قرار داشت از رابطه زیر استفاده می کنیم:
(1-35) <A> =<ΨAΨ>ولی در مجموعه سیستهایی که هر کدام یک حالت کوانتومی دارند، مقدار چشمداشتی را بصورت زیر تعریف می کنیم:
(1-36) A=iωi<ΨiAΨi>و آن را متوسط مجموعهای مشاهده پذیر A مینامیم.
می توانیم متوسط مجموعه ای را برحسب ویژه حالتهای یک مشاهده پذیر دیگر مثل B بنویسیم
(1-37) A=ib , b”ωi<Ψi | b><b |A|b”><b”|Ψi>و با کمی جابجایی داریم:
(1-38) A=b, b”ωi<b”| Ψi><Ψi |b><b|A| b”>حال با تعریف ماتریس چگالی بصورت زیر رابطه بالا را ساده تر میکنیم:
(1-39) ρ=iωi |Ψi><Ψi |در نتیجه:
(1-40) A=b,b”<b”ρb><bAb” >=b”<b”ρAb”>=Tr(ρA)عملگر Tr(M) ، رد ما تریس M است و بصورت TrM= nMnn تعریف میشود.
در اینجا ما هم ماتریس چگالی را تعریف کردیم و هم یک رابطه مفید برای متوسط مجموعه ای یک مشاهده پذیر با استفاده از مجموعه سیستمهای کوانتومی را به دست آوردیم.
برای مجموعه خالص ماتریس چگالی بصورت زیر میباشد:
(1-41) ρ=|Ψi><Ψi|و برای مجموعه آمیخته بصورت زیر می باشد:
(1-42) ρ=iωi| Ψi><Ψi|حال برای اینکه اطلاعاتی از سیستم را در زمانهای مختلف داشته باشیم و برای به دست آوردن تحول زمانی مقدار چشمداشتی به فکر تحول زمانی ماتریس چگالی می افتیم.
از رابطه ماتریس چگالی نسبت به زمان مشتق می گیریم و در iℏ ضرب می کنیم.
(1-43) iℏ∂ρ∂t=iℏ iωi∂∂tΨir,t><Ψir,t+ Ψir,t>∂∂t<Ψir,t] با یادآوری معادله شرودینگر، رابطه بالا ساده تر نیز خواهد شد:
(1-44-الف) iℏ∂ρ∂t=iωi (H Ψir,t><Ψir,t-|Ψi(r,t)><Ψir,t|H )(1-44- ب) iℏ∂ρ∂t=Hρ- ρH(1-44- پ) ∂ρ∂t=1iℏH , ρ , ρmn=1iℏ[H , ρ]mnاین معادله برای زمانی است که اتمها در حالت همدوس باشند اما در حضور اثرات ناهمدوسی مثل گسیل خودبخودی و یا برهمکنش ناشی از برخورد اتمها این اثرات بصورت پدیدارشناختی به معادله بالا اضافه می شوند که به معادله لیوویل معروف است. پدیدارشناختی یعنی با شناخت سیستم ومتناسب با اثرات ناهمدوسی جملاتی ازمعادله بالا کم یا زیاد می شود.
روشهای مختلفی وجود دارد که جملات ناهمدوسی را به معادله بالا اضافه کنیم اما در بیشتر مواقع فرآیندهای واپاشی بصورت زیر به معادله بالا اضافه میشود. برای عناصر غیر قطری ماتریس چگالی جملات پدیدار شناختی بصورت زیر است:
(1-45) ρmn=1iℏ[H,ρ]mn-γmn ρmnجمله دوم بصورت پدیدار شناختی اضافه شده و بیانگر اینست که آهنگ گذار ρmn با ضریب γmn که آهنگ واپاشی از تراز m به تراز n است، کاهش می یابد. فرض کرده ایم که γmn=γnm . و برای عناصر قطری ماتریس چگالی معادلات حرکت ماتریس چگالی یا همان تحول زمانی ماتریس چگالی با این فرض که واپاشی جمعیت از ترازهای بالا به ترازهای پایین مجاز است، بصورت زیر است:
(1-46) ρnn=1iℏ[H,ρ]nn+Em>EnΓnmΓmm-Em<EnΓmnΓnnکه Γnm آهنگ واپاشی جمعیت هر اتم از تراز m به تراز n است.
رابطه بین آهنگ میرایی γnm برای عناصر غیر قطری و Γn وΓm آهنگ میرایی عناصر قطری بصورت زیر است:
(1-47) γnm=12(Γn+Γm)که Γn و Γm آهنگ واپاشی جمعیت از ترازهای m,n به سایر ترازها هستند و برای آنها داریم:
(1-48) Γn=n (En<En)Γn nکه بیشتر آهنگهای واپاشی را بررسی می کنیم تا درک بهتری از جملات پدیدار شناختی داشته باشیم.
فرض کنیم نیمه عمر تراز n ام بصورتη=1Γn باشد، احتمال ماندن در تراز n ام بصورت زیر است:
(1-49) |Cnt|2=|Cn0|2e-Γntو دامنه احتمال ماندن در تراز n ام بصورت بصورت زیر است:
(1-50) Cnt=Cn0 e-iωnte-Γnt2برای تراز m ام هم این رابطه را نوشته میشود
(1-51) Cmt=Cm0 e-iωmte-Γmt2حال همدوسی بین ترازهای m,n را بصورت زیر تعبیر میشود:
(1-52) Cn*tCmt=Cn*0Cm0e-iωnmte-Γn+Γmt2میانگین مجموعه ای Cn*Cm همان عنصر غیر قطری ماتریس چگالی ρmn است. آشکار است که عامل میرا کننده آن 12 (Γn+Γm) است که آن را γmn در نظر گرفتیم.
1-4 اختلال و معادله حرکت ماتریس چگالی:
حل دقیق معادله لیوویل که همان معادله حرکت ماتریس چگالی با جملات پدیدار شناختی است، امکان پذیر نیست. بنابراین از روش اختلال برای حل آن استفاده می کنیم. هامیلتونی دارای دو جمله شامل H0 هامیلتونی اتم بدون اندرکنش و V(t) ، هامیلتونی اندرکنش اتم با میدان خارجی است.
(1-53) H=H0+V(t)هامیلتونی اندر کنش با استفاده از تقریب دو قطبی بصورت V=-μ . E(t) می باشد، که μ=-er عملگر گشتاور دوقطبی اتم است.
وقتی هامیلتونی (1- 53) را در معادله لیوویل قرار می دهیم، جابجایی [H , ρ] به دو جمله تبدیل می شود.
یعنی
(1-54) [H ,ρ]nm=[H0+Vt, ρ]nm=[H0 , ρ]nm+[Vt,ρ]nmبرای بررسی عبارت اول سمت راست تساوی، فرض می کنیم معادله ویژه مقداری و غیر اختلالی بصورت H0un=Enun باشد، که un ویژه توابع انرژی هامیلتونی غیر اختلالی H0 هستند و En ویژه مقادیر انرژی آن، نمایش ماتریسی هامیلتونی غیر اختلالی بصورت زیر است:
(1-55) HO ,nm= Enδnmبا این وجود می توان جمله غیر اختلالی را به صورت ساده زیر نوشت:
(1-56- الف) [H0 ,ρ]nm=(H0ρ-ρH0)nm= νH0,nνρνm-ρnνH0,νm
(1-56- ب) [H0 ,ρ]nm= νEnδnνρνm-ρnνEmδνm=Enρnm-Emρnm=(En-Em)ρnmکه اگر آن را بر حسب بسامد گذار بنویسیم، داریم:
(1-57) [H0,ρ]nm=ℏωnmρnmبا این تغیرات وآنچه که در قبل در مورد آهنگ های گذار بحث کردیم، معادله حرکت ماتریس چگالی به شکل ساده زیر تبدیل می شوند:
(1-58) ρnm=-iωnmρnm-iℏ[V,ρ]nm-γnmρnmکه در آن جمله دوم مربوط به جابجایی ماتریس چگالی وهامیاتونی اختلالی است واز رابطه زیر به دست می آید:
(1-59) [V,ρ]nm=ν(Vnνρνm-ρnνVνm)دراین بخش تحول زمانی سیستم را در تصویر شرودینگر بحث کردیم، در حالی که گاهی اوقات، تصویر برهمکنش معادلات را ساده تر می کند. ارتباط بین معادلات حرکت ماتریس چگالی در دو تصویر شرودینگر و برهمکنش بصورت زیر می باشد:
(1-60) ρnm=σnme-iωnmtکه σnm عناصر ماتریس چگالی در تصویر برهمکنش می باشند وطبق آن معادله لیوویل بصورت زیر در می آید :
(1-61) σnm=-iωnm σnm-iℏυVnυρυm-ρnυVυm-γnmσnmاز تصویر برهمکنش در بعضی موارد استفاده خواهیم کرد، اما در اینجا برای حل اختلالی معادلات حرکت ماتریس چگالی لازم است در همان تصویر شرودینگر بمانیم. بعداز ساده سازی معادله لیوویل می خواهیم آن را حل کنیم، اما همیشه قادر به حل تحلیلی این معادله نیستیم. برای حل آن، ماتریس اختلال را برحسب مرتبه های بزرگی اختلال بسط می دهیم و از λVij به جای Vij استفاده می کنیم، که λ مرتبه اختلال را نشان می دهد وعددی بین صفر تا یک را اختیار می کند. با این توصیف جوابی که برای معادله لیوویل به دست می آوریم نیز بصورت زیر خواهد بود:
(1-62) ρnm=ρnm(0)+λρnm(1)+λ2ρnm(2)+…این جواب را در معادله لیوویل قرار می دهیم وضرایب هر توانی از λ در دو طرف تساوی را مساوی هم قرار می دهیم و در نتیجه داریم:
(1-63-الف) ρnm(0)=-iωnmρnm(0)-γnmρnm(0) (1-63-ب) ρnm(1)=-iωnm+γnmρnm1-1iℏ [V,ρ0]nm(1-63-پ) ρnm(2)=-iωnm+γnmρnm2-1iℏ [V,ρ1]nm
و به همین ترتیب برای مراتب بالاتر ادامه می یابد. ρnm0 جواب حالت پایا می باشد. که در این حالت برابر صفر است و در رابطه ρnm(0)=0 برای n≠m صدق می کند.
برای به دست آوردن جواب مرتبه اول داریم
(1-64) ρnm(1)=-iωnm+γnmρnm1تغیر متغیر زیر را انجام می دهیم:
(1-65) ρnm(1)=Snm(1)e-iωnm+γnmtاز این رابطه مشتق می گیریم
(1-66) ρnm(1)=-iωnm+γnmSnm(1)e-iωnm+γnmt+Snm(1)e-iωnm+γnmtکه اگر آن را مساوی دومین رابطه معادلات بالا قرار دهیم برای S(t) خواهیم داشت :
(1-67) Snm(1)=-1iℏ [V,ρ0]nmeiωnm+γnmtو با انتگرال گیری خواهیم داشت:
(1-68) Snm(1)=-∞t-1iℏ [V,ρ0]nmeiωnm+γnmt dt حال S(t) بدست آمده را در معادله بالای صفحه قرار می دهیم و ρnm1(t) را به دست می آوریم:
(1-69) ρnm(1)=-∞t-1iℏ [V,ρ0]nmeiωnm+γnm(t –t)dt برای تصحیحات مرتبه های بالاتر عباراتی مشابه ρnm1(t) بدست میآید. در حالت کلی برای تصحیح مرتبه q ام خواهیم داشت:
(1-70) ρnm(q)=-∞t-1iℏ [V,ρq-1]nmeiωnm+γnm(t –t)dt برای ساده سازی رابطه بالا، میدان اعمال شده را بصورت زیر نشان می دهیم:
(1-71) E(t)=pE(ωp)e-iωptهمچنین اگر عبارت شامل جابجایی ظاهر شده در تصحیحات مرتبه اول را نیز ساده ترکنیم، خواهیم داشت:
(1-72-الف) [V,ρ0]nm=ν(Vnνtρνm(0)-ρnν(0)Vνmt)=-ν(μnνρνm(0)-ρnν(0)μνm).E(t)(1-72-ب) [V,ρ0]nm=-ρmm0-ρnn0μnm.E(t)حال اگر دو رابطه بالا را در معادله مربوط به ρnm1(t) قرار دهیم، در نهایت تصحیح مرتبه اول ماتریس چگالی را بصورت زیر یدست می آوریم:
(1-73) ρnm(1)=1ℏρmm0-ρnn0pμnm.Eωpe-iωptωnm-ωp-iγnmبه همین ترتیب با اعمال روابطی مشابه آنچه که برای تصصیح مرتبه اول ماتریس چگالی بکار بردیم، برای تصحیح مرتبه های دوم و سوم عمل می کنیم و در نهایت بدست میآوریم
ρnm(2)=νpqe-i(ωp+ωq)t ×ρmm0-ρνν0ℏ2μnν.Eωqμνm.Eωpωnm-ωp-ωq-iγnmωνm-ωp-iγνm-ρνν0-ρnn0ℏ2μnν.Eωpμνm.Eωqωnm-ωp-ωq-iγnmωnν-ωp-iγnν=νpqKnmνe-i(ωp+ωq)t(1-74)
تکرار عبارت داخل دو آکولاد در مرتبههای بالاتر معادلات حرکت ماتریس چگالی باعث می شود که برای مختصر نویسی آن را با Knmν نشان داده ایم ، با این وجود برای مرتبه سوم داریم
(1-75) ρnm(3)=νlpqrμnν.EωrKνmlωnm-ωp-ωq-ωr-iγnm-μνm.EωrKnνlωnm-ωp-ωq-ωr-iγnme-i(ωp+ωq+ωr)t1-5 رابطه بین پذیرفتاری ، ضریب شکست غیر خطی و شدت:
توصیفی از ضریب شکست وابسته به شدت میدان میتواند درک ما از پدیدههای که این ضریب شکست منجر به آن میشود عمیق تر کند.
ضریب شکست بسیاری از مواد را با رابطه زیر می توات توصیف کرد

Author:

دیدگاهتان را بنویسید

نشانی ایمیل شما منتشر نخواهد شد. بخش‌های موردنیاز علامت‌گذاری شده‌اند *