ماتریس سختی برای یک پی صلب مستطیلی مستقر بر محیط ‌لایه‌ای‌ نیم بینهایت با رفتار ایزوتروپ جانبی

به نام خداوند جان و خرد

وزارت علوم، تحقیقات و فناوری
پایاننامه
مقطع کارشناسی ارشد رشته عمران- سازه
ماتریس سختی برای یک پی صلب مستطیلی مستقر بر محیط ‌لایه‌ای‌ نیم بینهایت با رفتار ایزوتروپ جانبی
:استاد راهنما
دکتر مرتضی اسکندری قادی
:استاد مشاور
مهندس عزیزالله اردشیر بهرستاقی
نگارنده :
پرهام ضیغمی
248602539116000زمستان 1391
تقدیم، تشکر و قدردانیسپاس خدای را که سخنوران، در ستودن او بمانند و شمارندگان، شمردن نعمت های او ندانند و کوشندگان، حق او را گزاردن نتوانند.
با سپاس از سه وجود مقدس :
آنان که ناتوان شدند تا ما به توانایی برسیم، موهایشان سپید شد تا ما روسفید شویم و عاشقانه سوختند تا گرمابخش وجود ما و روشنگر راهمان باشند.
پدرانمان ، مادرانمان ، استادانمان …
از استاد با کمالات و شایسته؛ جناب آقای دکتر اسکندری که در کمال سعه صدر، با حسن خلق و فروتنی، از هیچ کمکی در این عرصه بر من دریغ ننمودند و زحمت راهنمایی این رساله را بر عهده گرفتند و از استاد صبور، جناب آقای مهندس اردشیر، که زحمت مشاوره این رساله را متقبل شدند کمال تشکر و قدردانی را دارم.
همچنین از استاد فرزانه جناب آقای دکتر واثقی که قبول زحمت فرمودند و در جلسه دفاع حضور یافته و اینجانب را از نظرات ارزشمند خود بهره مند ساختند، سپاسگزارم.

چکیدهدر این پایان ‌نامه، ماتریس سختی یک شالوده صلب مستطیلی مستقر بر یک محیط لایه ای متصل به یک نیم فضای همگن آن هم با رفتار ایزوتروپ جانبی که تحت نیروهای قائم، افقی و گشتاور خمشی در حالت استاتیکی قرار دارد، به دست می‌آید. این ماتریس سختی در تحلیل اندرکنش استاتیکی سازه و خاک مورد استفاده قرار می گیرد. به منظور رسیدن به هدف پایان نامه از روش تابع پتانسیل، استفاده از سری فوریه و تبدیل هنکل، ارتباط ماتریسی لایه ها و روش‌های عددی استفاده می‌شود. با بکارگیری قضیه تبدیل معکوس هنکل و استفاده از سری فوریه، توابع گرین تنش‌ها و تغییرمکان‌ها در فضای واقعی به دست می‌آیند.
سپس با تغییر دستگاه مختصات از استوانه‌ای به دکارتی، توابع گرین تغییر‌مکان و تنش در دستگاه مختصات دکارتی به‌دست آمده و با انتقال دستگاه مختصات از مبداء به یک نقطه سطحی دلخواه، توابع تغییرمکان و تنش برای بارگذاری خارج از مبداء مختصات به‌دست می‌آیند. بدین ترتیب توابع گرین برای باردلخواه تعیین می‌شوند. با استفاده از توابع گرین تغییرمکان و تنش، این توابع برای نیروی موثر بر یک سطح مربع مستطیلی تعیین می‌شوند. به منظور مقایسه و بررسی صحت نتایج به دست آمده با کارهای انجام ‌شده‌ قبلی، محیط برای حالت نیم‌فضای همگن ساده می‌شود.
با نوشتن معادلات به فرمت اجزاء محدود و استفاده از المان جدید به نام المان گرادیانی پویا، تنش تماسی قائم و افقی در هر گره مربوط به شالوده چنان تعیین می‌شوند که شرط تغییرمکان یکنواخت و یا چرخش یکنواخت در هر نقطه از صفحه صلب را ارضاء نماید. دستگاه معادلات حاکم بر تنش تماسی قائم و افقی به صورت عددی حل می‌شود. با استفاده از تنش زیر شالوده صلب، اندازه نیروی تماسی برای تغییرمکان قائم و افقی ثابت و همچنین لنگرخمشی برای دوران یکنواخت به‌دست می‌آیند. ماتریس سختی وظیفه تبدیل بردار مجموعه تغییر مکان و دوران به بردار نیروهای تماسی وگشتاور خمشی را بر عهده دارد و بر این اساس بدست می آید.
فهرست مطالب TOC \o “1-3” \h \z \u
چکیدهبمقدمه………………………………………………………………………………………………………………………………………….ز
فصل اول. معادلات تعادل در محیط‏های ایزوتروپ جانبی11-1-مقدمه21-2-بیان مسأله و معادلات حاکم51-3-توابع پتانسیل9
1-4-شرایط مرزی13فصل دوم. HYPERLINK \l “_Toc334902097″توابع گرین در حالت کلی……………………………………………………………………………………………………………………….25
2-1-مقدمه…………………………………………………………………………………………………………………………………………26
HYPERLINK \l “_Toc334902094″2-2-حالت 272-3-تبدیل دستگاه مختصات قطبی به دستگاه مختصات دکارتی و انتقال محورها30
فصل سوم..ماتریس سختی شالوده صلب مستطیلی با استفاده از توابع گرین……………………………………………………………………..33
3-1-مقدمه34
3-2- بیان مسأله ومعادلات حاکم در حالت شالوده صلب مستطیلی……………………………………………………………….343-2-1-توابع شکل مورد استفاده383-2-1-1-توابع شکل المان های لبه ای 8 گره ای393-2-1-2-توابع شکل المان های میانی 8 گره ای413-2-1-3-توابع شکل المان های گوشه 8 گره ای413-2-1-4-فلوچارت برنامه نویسی برای تحلیل مسأله44فصل چهارم نتایج عددی47فصل پنجم نتیجه‏گیری و پیشنهادات775-1-مقدمه و نتیجه گیری785-2-پیشنهادات79فهرست مراجع80
فهرست شکل‌ها
TOC \h \z \c “شکل 1-” شکل 1- 1- شکل شماتیک ساختمان، شالوده و زمین زیر آنها4شکل 1- 2- شکل شماتیک مدل اجزاء محدود ساختمان، شالوده و زمین زیر آنها4شکل 1- 3- شکل شماتیک مدل اجزاء محدود ساختمان و شالوده و توابع امپدانس معادل خاک5شکل 1- 4- نیم فضای لایه‏ای متشکل از لایه‏ها با رفتار ایزوتروپ جانبی6شکل 1- 5 – نیم‏‏‏‏‏ فضای‏ ایزوتروپ جانبی لایه ای‏ تحت اثر نیروی دلخواه در سطح…..13شکل 1- 6-خواص هندسی لایه ام17شکل 2- 1- نیم فضای همگن با رفتار ایزوتروپ جانبی تحت نیروی متمرکز دلخواه استاتیکی27شکل 2- 2-تبدیل مختصات از دستگاه استوانه ای‏ به دستگاه مختصات دکارتی و انتقال محورها30شکل 3- 1– صفحه صلب تحت تغییر مکان صلب در امتداد 36شکل 3- 2- صفحه صلب تحت تغییر مکان صلب در امتداد 36شکل 3- 3- صفحه صلب تحت خمش37شکل 3- 4 -نحوه المان بندی تنش‏ها‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏در زیر پی صلب38شکل 3-5- توابع شکل المان‏های‏ لبه 8 گرهی 40شکل 3-6- توابع شکل المان‏های‏ میانی 8 گرهی42شکل 3- 7- توابع شکل المان‏های‏ گوشه 8 گرهی 43شکل 3- 8 -تابع 44 TOC \h \z \c “شکل 1-” شکل 4- 1- تغییر مکان در و بر حسب عمق ناشی از نیروی یکنواخت قائم با شدت واحد در حالت استاتیکی وارد بر سطح مستطیلی به طول و عرض 53شکل 4- 2- تغییر مکان در و بر حسب عمق ناشی از نیروی یکنواخت قائم با شدت واحد در حالت استاتیکی وارد بر سطح مربعی به اضلاع 54شکل 4- 3- تغییر مکان در و بر حسب عمق ناشی از نیروی یکنواخت افقی با شدت واحد در حالت استاتیکی وارد بر سطح مستطیلی به طول و عرض 55شکل 4- 4- تغییر مکان در و بر حسب عمق ناشی از نیروی یکنواخت افقی با شدت واحد در حالت استاتیکی وارد بر سطح مربعی به اضلاع 56شکل 4- 5 – تغییر مکان در و بر حسب فاصله افقی ناشی از نیروی یکنواخت قائم با شدت واحد در حالت استاتیکی وارد بر سطح مستطیلی به طولوعرض …..57شکل 4- 6- تغییر مکان در و بر حسب فاصله افقی ناشی از نیروی یکنواخت قائم با شدت واحد در حالت استاتیکی وارد بر سطح مربعی به اضلاع 58شکل 4- 7- تغییر مکان در و بر حسب فاصله افقی ناشی از نیروی یکنواخت افقی با شدت واحد در حالت استاتیکی وارد بر سطح مستطیلی به طولوعرض 59شکل 4- 8- تغییر مکان در و بر حسب فاصله افقی ناشی از نیروی یکنواخت افقی با شدت واحد در حالت استاتیکی وارد بر سطح مربعی به اضلاع 60شکل 4- 9- تنش در و بر حسب عمق ناشی از نیروی یکنواخت قائم با شدت واحد در حالت استاتیکی وارد بر سطح مستطیلی به طولوعرض 61شکل 4- 10- تنش در و بر حسب عمق ناشی از نیروی یکنواخت قائم با شدت واحد در حالت استاتیکی وارد بر سطح مربعی به اضلاع 62شکل 4- 11- تنش در و بر حسب عمق ناشی از نیروی یکنواخت افقی با شدت واحد در حالت استاتیکی وارد بر سطح مستطیلی به طولوعرض 63شکل 4- 12 – تنش در و بر حسب عمق ناشی از نیروی یکنواخت افقی با شدت واحد در حالت استاتیکی وارد بر سطح مربعی به اضلاع 64شکل 4-13- تنش در و بر حسب فاصله افقی ناشی از نیروی یکنواخت قائم با شدت واحد در حالت استاتیکی وارد بر سطح مستطیلی به طولوعرض 65شکل 4-14- تنش در و بر حسب فاصله افقی ناشی از نیروی یکنواخت قائم با شدت واحد در حالت استاتیکی وارد بر سطح مربعی به اضلاع 66شکل 4- 15 – تنش در و بر حسب فاصله افقی ناشی از نیروی یکنواخت افقی با شدت واحد در حالت استاتیکی وارد بر سطح مستطیلی به طول وعرض67شکل 4- 16 – تنش در و بر حسب فاصله افقی ناشی از نیروی یکنواخت افقی با شدت واحد در حالت استاتیکی وارد بر سطح مربعی به اضلاع 68شکل 4- 17- تنش سه بعدی در سطح نسبت بهناشی از تغییر مکان افقی ثابت یک صفحه صلب مربعی به ضلع برای در حالت استاتیکی 69شکل 4- 18- تنش سه بعدی در سطح نسبت بهناشی از تغییر مکان افقی ثابت یک صفحه صلب مربعی به ضلع برای در حالت استاتیکی 70شکل 4- 19- تنش سه بعدی در سطح نسبت بهناشی از تغییر مکان افقی ثابت یک صفحه صلب مربعی به ضلع برای در حالت استاتیکی 71شکل 4- 20- تنش سه بعدی در سطح نسبت بهناشی از تغییر مکان افقی ثابت یک صفحه صلب مربعی به ضلع برای در حالت استاتیکی 72شکل 4- 21- تنش سه بعدی در سطح نسبت بهناشی از تغییر مکان قائم ثابت یک صفحه صلب مربعی به ضلع برای در حالت استاتیکی 73شکل 4- 22- تنش سه بعدی در سطح نسبت بهناشی از تغییر مکان قائم ثابت یک صفحه صلب مربعی به ضلع برای در حالت استاتیکی 74شکل 4- 23- تنش سه بعدی در سطح نسبت بهناشی از تغییر مکان قائم ثابت یک صفحه صلب مربعی به ضلع برای در حالت استاتیکی 75شکل 4- 24- تنش سه بعدی در سطح نسبت بهناشی از تغییر مکان قائم ثابت یک صفحه صلب مربعی به ضلع برای در حالت استاتیکی 76فهرست جدول‌ها
TOC \h \z \c “جدول 3-” جدول 4- 1- ضرایب ارتجاعی مصالح انتخاب شده49جدول 4- 2- نحوه قرارگیری مصالح مختلف برای تعیین جواب عددی50
جدول 4- 3- سختی یک صفحه مربعی به طول و عرض در محیط های متفاوت52

MACROBUTTON MTEditEquationSection2 Equation Chapter 1 Section 1 SEQ MTEqn \r \h \* MERGEFORMAT SEQ MTSec \r 1 \h \* MERGEFORMAT SEQ MTChap \r 1 \h \* MERGEFORMAT MACROBUTTON MTEditEquationSection2 Equation Chapter 1 Section 1 SEQ MTEqn \r \h \* MERGEFORMAT SEQ MTSec \r 1 \h \* MERGEFORMAT SEQ MTChap \r 1 \h \* MERGEFORMAT مقدمهدر این پایان ‌نامه ابتدا پاسخ محیط نیم‏‏‏‏‏ بینهایت لایه ای‏ با رفتار ایزوتروپ جانبی تحت اثر نیروی متمرکز سطحی دلخواه در حالت استاتیکی در محدوده‏‏‏‏ی‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏ خطی- ارتجاعی به دست ‏می‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏آید. سپس ماتریس سختی پی صلب مستطیلی مستقر بر محیط مذکور در حالت استاتیکی تعیین می‌شود. برای‏ حل، ابتدا معادلات تعادل در فصل اول در دستگاه مختصات استوانه‌ای‏ برای‏ هر‏‏‏‏یک از لایه‏ها نوشته شده و سپس با استفاده از روابط تنش-کرنش و کرنش- تغییرمکان، معادلات برحسب تغییرمکان‌ها ‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏نوشته می‌شوند. این معادلات به صورت دستگاه معادلات دیفرانسیل با مشتقات جزئی ‏می‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏باشند. به منظور مجزاسازی آن‏ها، از دو تابع پتانسیل اسکالر در هر لایه استفاده ‏می‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏شود. معادلات حاکم بر توابع پتانسیل، معادلات دیفرانسیل با مشتقات جزئی از مرتبه 4 و 2 ‏می‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏باشند. برای‏ حل معادلات حاکم بر توابع پتانسیل در هر لایه با توجه به شرط منظم بودن از تبدیل انتگرالی هنکل نسبت به مختصه شعاعی و تبدیل فوریه بر حسب مختصه آزیموتی استفاده کرده و جواب در حالت کلی برای‏ کلیه لایه‌ها ‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏ تعمیم داده می‏شود.
در ادامه، شرایط مرزی در سطح آزاد نیم‏‏‏‏‏ فضا و شرایط پیوستگی بین لایه‌ها‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏ نوشته شده و با استفاده از شرایط پیوستگی، معادلات ارتباطی بین ضرایب مجهول توابع پتانسیل لایه‏ها ‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏که خود ناشی از انتگرال گیری می باشند، بدست ‏می‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏آیند. با برقراری رابطه بازگشتی بین ضرایب لایه‏ها‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏، کلیه ضرایب به جز ضرایب نیم‏‏‏‏‏ فضای‏ تحتانی حذف شده و ضرایب نیم‏‏‏‏‏ فضای‏ تحتانی به کمک شرایط مرزی در سطح آزاد تعیین ‏می‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏شوند و از آن بقیه ثابت‌ها‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏ با استفاده از ارتباط بین لایه‌ها‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏ (شرایط پیوستگی) بدست ‏می‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏آیند. سپس، با استفاده از روابط تنش- تابع پتانسیل و تغییر مکان- تابع پتانسیل، تنش‌ها ‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏و تغییرمکان‌ها‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏ در فضای‏ هنکل به دست آمده و با کمک تبدیل معکوس هنکل و سری فوریه، تنش‌ها‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏ و تغییر مکان‌ها‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏ در فضای‏ واقعی به دست می‏آیند.
در فصل دوم با تغییر دستگاه مختصات از استوانه‌ای‏ به دکارتی، توابع گرین تغییر‌مکان و تنش در دستگاه مختصات دکارتی به‌دست آمده و با انتقال دستگاه مختصات از مبداء به‏‏‏‏ یک نقطه سطحی دلخواه، توابع تغییرمکان و تنش برای‏ بارگذاری خارج از مبداء مختصات بدست می‌آیند. بدین ترتیب توابع گرین برای‏ بار دلخواه تعیین می‌شوند. با استفاده از توابع گرین تغییرمکان و تنش، این توابع برای‏ نیروی موثر بر‏‏‏‏ یک سطح مربع مستطیل تعیین می‌شوند.
در فصل سوم با نوشتن معادلات به فرمت اجزاء محدود و استفاده از المانی جدید به نام المان گرادیانی پویا، تنش تماسی قائم و افقی در هر گره مربوط به شالوده چنان تعیین می‌شوند که شرط تغییرمکان صلب و‏‏‏‏ یا دوران صلب در هر نقطه از صفحه را ارضاء نماید. دستگاه معادلات حاکم بر تنش تماسی قائم و افقی به صورت عددی حل می‌شود. با استفاده از تنش‏های‏ تماسی نیروهای‏ کل تماسی و گشتاور خمشی کل در محل تماس شالوده و نیم‏‏‏‏‏ فضای‏ لایه ای‏ به دست ‏می‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏آید. ماتریس تبدیل بردار تغییر مکان‏ها ‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏و دوران صلب به نیروهای‏ افقی، قائم و گشتاور خمشی را ماتریس سختی نیم‏‏‏‏‏ فضا برای‏ شالوده ‏می‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏نامیم. این ماتریس با برقراری ارتباط اخیرالذکر بدست ‏می‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏آید. ماتریس سختی ‏می‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏تواند جایگزین خاک زیر شالوده شده و به افزایش دقت در آنالیز سازه‏های‏ سنگین مستقر بر محیط‏های‏ ایزوتروپ جانبی لایه ای‏  کمک کند.
فصل اولمعادلات تعادلدر محیط‏های‏ ایزوتروپ جانبی لایه ای
1-1- مقدمهتحلیل استاتیکی و دینامیکی سازه‏های‏ سنگین مستقر بر زمین (شکل 1-1) نیاز به فهم چگونگی انتقال نیرو از سازه به خاک و جنبه‏های‏ مختلف آن را دارد، چه در غیر این صورت نتایج تحلیل سازه ‏می‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏تواند با دقت کم همراه باشد. در این موارد، همواره برای‏ داشتن طرح مطمئن نیاز به ساده سازی‌های‏ محافظه کارانه و در نتیجه غیراقتصادی می‌باشد. یکی از راه‌های‏ در نظر گرفتن اندرکنش خاک و سازه، المان‌بندی محیط زمین زیر ساختمان به روش اجزاء ‌محدود (شکل 1-2) می‌باشد. تحلیل سازه به همراه محیط زیرین مطابق این روش اولاً بسیار پرهزینه بوده و ثانیاً به علت عدم توانایی المان‌بندی زمین تا بی‌نهایت ممکن است از دقت مناسب برخوردار نباشد. بسیاری از مصالح در طبیعت و نیز ساخته‏های‏ مصنوعی رفتار ایزوتروپ جانبی دارند. از آنجمله می توان به رفتار اعضای‏ مستقیماً برگرفته از تنه درختان، محیط خاکی زیر ساختمانها ‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏و صفحات چند لایه نام برد .اهمیت بررسی پاسخ این مصالح از دیر باز مورد توجه بوده بطوری که میشل در سال 1900 میلادی به بررسی یک نیم فضای ایزوتروپ جانبی تحت نیروهای سطحی دلخواه پرداخته است [19] . لخنیتسکی در سال 1940 محیط ایزوتروپ جانبی را در حالت متقارن محوری و بدون پیچش در نظر گرفته و معادلات درگیر حاکم بر مسئله را با معرفی یک تابع پتانسیل به صورت مجزا و قابل حل درآورده است [17] . نواکی تابع پتانسیل لخنیتسکی را مجدداًٌ به دست آورده و ادعا کرده است که این جواب محدود به مسائل متقارن نیست [20] . هو محیط ایزوتروپ جانبی را در حالت کلی مورد توجه قرار داده و تابع پتانسیل لخنیسکی را برای‏ حالت کلی تکمیل کرده است [15]. این تابع هم اکنون در ادبیات مکانیک محیط پیوسته با رفتار ایزوتروپ جانبی به نام تابع لخنیسکی- هو- نواکی مشهور است. بررسی محیط با رفتار ایزوتروپ جانبی به وسیله دیگران همچون ونگ و ونگ [29] ، ایوبنکس و استرنبرگ [14] ، الیوت [7] و پن وچو [24] نیز در حالت استاتیکی بررسی شده است. این محیط در حالت دینامیکی توسط اسکندری قادی [8] ، رحیمیان و همکاران [25] و دیگران مورد توجه قرار گرفته است.
در واقعیت خواص محیط زیر شالوده بر حسب عمق ‏می‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏تواند تغییر کند. در نتیجه به منظور واقعی‌تر کردن تحلیل فوق‌الذکر، در این پایان نامه محیط ایزوتروپ جانبی به عنوان محیط مبنا در نظر گرفته شده و اجتماع لایه ای‏ محیط‏های‏ ایزوتروپ جانبی با خواص متفاوت تحت اثر تغییر مکان صلب صفحه مستطیلی مورد تحلیل قرار ‏می‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏گیرد. با این بررسی تنش‏های‏ تماسی بین شالوده مستطیلی و نیم‏‏‏‏‏ فضای‏ لایه ای‏ ناشی از تغییر مکان‏‏‏‏ یا دوران صلب شالوده به دست آیند. تنش تماسی در لبه‏های‏ شالوده صلب رفتاری تکین از خود نشان ‏می‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏دهد و درک این مفهوم به طراحی سازه‏های‏ سنگین و آنالیز نشیمن آن بسیار کمک ‏می‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏کند. به علاوه، با تعیین نیروهای‏ تماسی کل بین شالوده و نیم‏‏‏‏‏ فضا بردار مجموع نیروها ‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏و گشتاورهای‏ تماسی بدست ‏می‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏آیند. مجموعه تغییر مکان‏ها ‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏و دوران صلب شالوده نیز‏‏‏‏ یک بردار با همان بُعد بردار نیروها‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏ تشکیل ‏می‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏دهد. ماتریس تبدیل بردار تغییر مکان به بردار نیروها‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏ را ماتریس سختی و معکوس این ماتریس،‏‏‏‏ یعنی ماتریس تبدیل بردار نیروها ‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏به بردار تغییر مکان را ماتریس نر‏می‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏ می‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏نامند. درایه‏های‏ ماتریس سختی پارامترهای‏ متمرکز جایگزین محیط لایه ای‏ ‏می‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏باشند. این پارامترها‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏ که همان سختی فنرهای‏ معرف محیط لایه ای‏ ‏می‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏باشند (شکل 1- 3)، اثر محیط لایه ای‏ روی شالوده و در نتیجه سازه روی شالوده را مدلسازی ‏می‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏کنند. این پارامترها‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏ در متون مرتبط فنر وینکلر نیز نام دارند.

شکل 1- SEQ شکل_1- \* ARABIC 1- شکل شماتیک ساختمان، شالوده و زمین زیر آنها
شکل 1- SEQ شکل_1- \* ARABIC 2- شکل شماتیک مدل اجزاء محدود ساختمان، شالوده و زمین زیر آنها
شکل 1- SEQ شکل_1- \* ARABIC 3- شکل شماتیک مدل اجزاء محدود ساختمان و شالوده و سختی معادل خاک1-2- بیان مساله و معادلات حاکم
یک محیط نیمه متناهی ارتجاعی شامل لایه موازی با خصوصیات مصالح مختلف که همگی دارای‏ رفتار ایزوتروپ جانبی می‌باشند در دستگاه مختصات استوانه‌ای چنان در نظر گرفته می‌شود که محور عمود بر صفحه ایزوتروپی تما‏می‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏لایه‌ها ‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏بوده و جهت مثبت محور به سمت داخل نیم فضا ‏می‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏باشد (شکل 1-4).

شکل 1- SEQ شکل_1- \* ARABIC 4- نیم فضای لایه‏ای متشکل از لایه‏ها‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏ با رفتار ایزوتروپ جانبی در این‌صورت معادلات تعادل بر حسب تنش‌ها ‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏برای یک لایه عمو‏می‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏در غیاب نیروهای‏ حجمی ‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏به صورت زیر نوشته می‌شوند [17] :
(1-1)
که در آن با مؤلفه های‏ تانسور تنش ‏می‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏باشند.
رابطه کرنش- تنش در مصالح ایزوتروپ جانبی برای‏ یک لایه عمو‏می بصورت زیر است [17] :
(1-2)
که در آن داریم:
(1-3)
اگر معرف مدول یانگ در صفحه ایزوتروپی، مدول یانگ عمود بر صفحه ایزوتروپی، ضریب پواسون در صفحه ایزوتروپی (جمع شدگی در امتداد دلخواه در صفحه ایزوتروپی به علت کشش عمود بر امتداد قبلی در همین صفحه)، ضریب پواسون عمود بر صفحه ایزوتروپی (جمع شدگی عمود بر صفحه ایزوتروپی به علت کشش در این صفحه)، مدول برشی در صفحه ایزوتروپی و مدول برشی در صفحات عمود بر صفحه ایزوتروپی باشد، خواهیم داشت:
(1-4)
با استفاده از رابطه (1-2)، رابطه تنش- کرنش به صورت زیر درمی‌آید:
(1-5)
ضرایب با بر حسب به صورت زیر هستند:
(1-6)
که در آن:
(1-7)
از ترکیب روابط (1-4) و (1-6) ‏می‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏توان را برحسب ضرایب مهندسی ، ، ، ، و نوشت :
(1-8)
همچنین رابطه کرنش‏- تغییر مکان در دستگاه مختصات استوانه‌ای به شرح زیر است [18] :
(1-9)
با قرار دادن رابطه (1-9) در رابطه (1-5)، تنش‌ها‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏بر حسب تغییر مکان‌ها‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏به دست ‏می‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏آیند. با قرار دادن روابط تنش-تغییر مکان در معادلات (1-1)، معادلات تعادل بر حسب مولفه‌های‏ بردار تغییر مکان بصورت زیر به دست می‌آیند:
(1-10)
1-3- توابع پتانسیلمعادلات تعادل مطابق (1-10) یک دستگاه معادلات دیفرانسیل درگیر با مشتقات جزیی می‌باشند. به منظور مجزا سازی این معادلات از دو تابع پتانسیلوکه به توابع پتانسیل لخنیستکی- هو- نواکی شهرت دارند استفاده ‏می‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏شود. مولفه‌های‏ بردار تغییر مکان بر حسب توابع پتانسیل و در دستگاه مختصات استوانه‌ای‏ به صورت زیر نوشته می‌شوند [8] :
(1-11)
که در آن:
(1-12)
(1-13)
با قرار دادن روابط (1-11) در معادلات حرکت (1-10)، دو معادله دیفرانسیل کاملاً مستقل از هم حاکم بر توابع پتانسیلو به صورت زیر درمی‌آیند:
(1-14)
(1-15)
که در آن:
(1-16)
(1-17)
پارامترهای و ریشه های معادله زیر هستند:
(1-18)
و می‌توانند اعداد مختلط باشند اما نمی‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏توانند اعداد موهو‏می‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏خالص باشند [17] .
به منظور حل معادلات (1- 14) و (1- 15) ، ‏می‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏توان سری فوریه توابع و را نسبت به نوشت. سری فوریه مختلط این توابع به صورت زیر هستند [26] :
(1-19) (1-20)
که در آن و ضرایب ام سری فوریه توابع و هستند :
(1-21)
با قرار دادن روابط (1- 19) و (1- 20) به ترتیب در معادلات (1- 14) و (1- 15) این معادلات به صورت زیر نوشته ‏می‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏شوند:
(1-22)
(1-23)
که در آن:
(1-24)
با توجه به هندسه و شرایط مسأله در دور دست بسیار مناسب ‏می‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏باشد که از تبدیل هنکل مرتبه ام نسبت به امتداد شعاعی به شرح زیر استفاده شود [27] :
(1-25)
و تبدیل معکوس هنکل آن عبارت است از [28] :
(1-26)
که در آن تابع بسل نوع اول از مرتبه می‌باشد. با قرار دادن رابطه (1-25) در معادلات (1-22) و (1-23)، این معادلات به صورت زیر درمی‌آیند:
(1-27)
(1-28)
که در آن:
(1-29)
معادله (1-27) یک معادله دیفرانسیل معمولی مرتبه 4 با ضرایب ثابت بوده و جواب آن به شکل زیر می‌باشد:
(1-30)
با قرار دادن (1-30) در (1-27) می‌توان به دست آورد:
(1-31)
که در آن:
(1-32)
بنابراین همانگونه که در رابطه (1-30) نشان داده شده، به صورت زیر درمی‌آید:
(1-33)
که در آن [4] :
(1-34)
به طور مشابه ‏می‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏توان نشان داد که جواب معادله (1- 28) عبارت است از :
(1-35)
که در آن:
(1-36)
در معادلات (1-33) و (1-35) ، ، ، ، وتوابعی مجهول می‌باشند که با نوشتن شرایط مرزی و شرایط پیوستگی به دست می‏آیند.
1-4 – شرایط مرزی :
مطابق شکل (1-5) محیطی سه بعدی، لایه ای و هر لایه با خاصیت ایزوتروپ جانبی متفاوت از بقیه لایه ها


ماتریس سختی برای یک پی صلب مستطیلی مستقر بر محیط ‌لایه‌ای‌ نیم بینهایت با رفتار ایزوتروپ جانبی پایان نامه ها
قیمت: 11200 تومان

این نوشته در پایان نامه ها ارسال شده است. افزودن پیوند یکتا به علاقه‌مندی‌ها.

دیدگاهتان را بنویسید

نشانی ایمیل شما منتشر نخواهد شد. بخش‌های موردنیاز علامت‌گذاری شده‌اند *